第一篇:§2.5.2不等式的证明 分析法和综合法
高一数学【学案】第二章《不等式—*不等式的证明》
§*2.5.2不等式的证明(2)—分析法和综合法
1.掌握用比较法证明简单不等式; ...
2.掌握用分析法证明简单不等式
....
问1什么是分析法?如何运用分析法证明不等式?
问2什么是综合法?如何运用综合法证明不等式?
[*分析法]
例1(人教B版选修4-5P22例4)
例2(P47例2)用分析法证明:
已知xy
022
例8(人教B版选修4-5P21例2)
已知a,b,c为正数,求证:
a3b3c3
(1)abc;3
当且仅当abc时等号成立.(2)abc3
例9(人教B版选修4-5P21例2)
已知abc1,xyz1,求证:axbycz1.222222
111例10已知:a,b,c同号且互不相等,abc1.求证:9.abc
1.用综合法证明:如果a,b为正数,则ab
1ba4.abab
x212.用综合法证明:如果x为实数,则.41x2
3.用分析法证明:如果a,b为正数,且a
b,则
2ab.ab
a214.用分析法或综合法证明:121.a1
5.2
a2b2b2c2c2a2
abc.6.设a,b,c为正数,求证:abc
7.已知a0,b0,求证:ababab.3-553223
第二篇:2、综合法和分析法证明不等式
南化一中高三数学第一轮复习讲义55第六章《不等式》
§6.2综合法和分析法证明不等式
【复习目标】
1. 熟悉证明不等式的综合法、分析法,并能应用其证明不等式;
2. 理解分析法的实质是“执果索因”;注意用分析法证明不等式的表述格式;
3. 对于较复杂的不等式,能综合使用各种方法给予证明。
【重点难点】
综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确,因此我们经常用分析法寻找解题的思路,再用综合法表述。分析法是“执果索因”,综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。
【课前预习】
1.“a>1”是“11”的()a
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条
2.a3)
3.证明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.4.设a,b,c∈R+,则三个数a1,b1,c1的值,则()bca
A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于
2【典型例题】
113 xy
abcac.(2)设a,b,c都是正数,求证:ca例1(1)已知x,yR,且2xy
1,求证:
第55课:§6.2综合法和分析法证明不等式《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 例2已知a>0,b>0,2c>a+b.求证:c-c2ab 1.设a32,b5,c76, 则a,b,c大小顺序是 A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b 2.设0 A.b<2ab C.2ab 3.a>b>1,P=lgalgb,Q= 12(lgalgb),R=lg(ab 2) A.R 【本课小结】 【课后作业】 1. 已知:a,b,c为正实数.求证:bc aacab bcabc.11 2. 设x>0,y>0,证明:(x2y2)2(x3y3)3.3. 已知a>0,b>0,且a2+b2 2=1,求证:ab2≤32 4.4. 若x、y是正实数,x+y=1,求证:(1+11 x)(1+y)≥9.-()()() 2.4不等式的证明(2)综合法与分析法。 【知识要点】 综合法:从已知出发,通过一系列正确的推理,得出结论的证明方法。(由因导果)分析法:从要证明的结论出发,寻找使命题成立的充分条件。(执果素因)分析法书写格式: 题目:已知A,求证B。 证明:要证B成立,只要证B1成立;要证B1成立,只要证B2成立;只要证A成立。而A是成立的,所以B成立。 注意: 1.在具体处理问题时,常常是先用分析法分析,再用综合法证明,二种方法结合使用。 2.如果采用分析法证明时,要注意书写的要求。 【基础训练】 1.判断下列推理是否正确: (1)若a¹b,要证明a2+b2<1+a2b2,由于2ab (2)要证|a+b|?|a||b|,只要证(|a+b|)?(|a|2|b|)。() 2(3)要证a 2.某工厂第二年增长率为a,第三年增长率为b,这两年的平均增长率为x,则() a+ba+ba+ba+b(A)x³(B)x>(C)x£(D)x< 2222 1a+b 3.若a>b>1,P=Q,则()(lga+lgb),R=lg22 (A)R 骣骣骣111 4.设a,b,c为正数,且a+b+c=1,若M=-1-1-1,则()c 桫桫桫ab (A)0?M 【精选例题】 11(B)#M881(C)1?M8(D)M³8 例1.设x?R,0a<1,求证:logaax+a-(x2) 解法指导:用综合法证明,也可采用分析法证之,要证logaa+a 只要证logaa+a(x-x2) 18(x-x2)骣1 8÷ 2a<1,所以只要证a+a2-x2>2a。证明:因为a>0,所以ax>0,a-x> 0,所以ax+a-x匙,骣1÷11又因为x-x2=-çx-÷+,0 4ì1ïïx=2a,由于ï2不成立,所以上式等号不能成立,íï2ïïîx=-x18 22所以所以logaax+a-x 1例2.设a,bR,c0,求证:|ab|2(1c)|a|2(1)|b|2。c 解法指导:可以采用先分析后综合的方法处理。11方法一:原不等式a2b22aba2ca2b2b2ca2b22ab cc 12ab。因为c 0,所以ca2b2)2)2c方法二:用分析法写(略)。 1125例3.设x,y是正数,且xy1,求证:(x)2(y)2。xy2 11解法指导:如果用基本不等式x2,y2,则只能得出左边大于4的结论,而xy 得不出要证明的结论。这时可以考虑用分析法处理。证明:原不等式x2 (12xy)(11117117222y(xy)1x2y22 x2y22117)。22xy2 (xy)21117,所以(12xy)(122)成因为设x,y是正数,且xy1,所以xy44xy2 立。故要不得证不等式成立。 思考:还有其它方法吗? 11111因为2(x)2(y)2(x)(y)125。xyxyxy22 变题1:设x,y是正数,且xy1,求证:(证明:(略)111)(1)9。22xy 1125变题2:设x,y是正数,且xy1,求证:(x)(y)。xy4 1125xy125证明:要证(x)(y)成立,只要证:xy,xy4yxxy4 因为 x,y是正数,所以只要证4(x2y2x2y21)25xy,又因为xy1,所以只要 33332332 证4(xy12xy1)25xyxyxy20(xy)220 488 (xy)2***332 ,所以(xy)22()220。又因为xy8848844 【能力训练】 一、填空题 222 21.已知a,bÎR+,则下列不等式: (1)a+b+(a骣1b)ç+çç桫a1÷2+2 ÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。 bb+m2.设a,b,mÎR+,若<成立,则a,b的大小关系为____________。aa+m 二、选择题 3.(2004年辽宁)对于0 11+111+a ①loga(1+a) ④a1+a>a1+ 1a其中成立的是________.4.(2005年山东)0a1,下列不等式一定成立的是() (A)log(1a)(1a)log(1a)(1a)2(B)log(1a)(1a)log(1a)(1a) (C)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a) (D)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a) 三、解答题 5.设g(x)=a b),求证|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.设n>0,求证 : 7.若a,b,c均为大于1的数,且ab=10,求证:logac+logbc 4lgc.118.已知命题:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab (1)证明这个命题为真命题; (2)如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,推广上述命题,并加以证明; (3)将上述命题推广为关于n个正数的命题(不必证明)。 不等式的证明—比较法,综合法,分析法 典型问题: (一)比较法证明不等式 amamam1,求证:1.已知a,b,m,nR,且bnbn bn 2.a,b,m,nR 3.ab,求证:abmnbmn1a2abab1b2mnnm 21a20,求证:()21b2()a 3322ab0ababab4.已知,求证: (二)综合法证明不等式 a,b,cR1.设,3332222222(abc)abacbabccacb6abc.求证: a,b,cR2.已知,且abc1,求证: 1119(1)abc 12418(2)abc 1b)(1c)(3)(1a)(8abc111(1)(1)(1)8(4)abc (三)分析法证明不等式 1.证明:3222722x3y3已知x0,y0xy2.ab0abab 3.设,求证: 4.若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证:logaclogbc4lgc 41ab.5.已知a0,b0,ab,且abab,求证:33322 6.实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,求证: a,bR,2cab,求证: 7.已知bac3a.2 (1)cab cabaccab.2(2)c2222(ab)ab(ab)ab8.已知a0,b0,ab 8a28b9.已知a,b,cR,且ab+bc+ca=1,abc3(abc)求证:bcacab 不等式的证明(分析法与综合法)B 一、选择题 1、若a、bR,cQ,则使acbc成立的充分条件是()A.a>b>0,c<0B.a>b,a>0,c>0C.b>a>0,c<0D.b>a>0,c>0 2、若a>b,m>0,则下列不等式恒成立的是()A.(am)2(bm)2B. bmb C.(am)3(bm)3D. ama 3已知0 a (xy)<0B.0 a (xy)<1C.1 a (xy)< 2D.loga(xy)>24、设x,y,z∈(-,0),则三数x+,y+,z+中()A.都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一个不大于-2D.只少有一个不大于-2 △ 5、设函数f(x x1,在f(x)的定义域内任取x1 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0 xx2f(x)f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正确的是()0④f(122x2x1 A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△ 6、已知a,b∈R,则下列个式中成立的是() A.cos2lgasin2lg(ab) lg(ab)C.a cos2 b sin2 abD.a cos2 b sin2 ab 二、填空题 7、若a>0且a≠1,则loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空) a8、设x,y∈R,且x+y=3,则3x3y的最小值___________。△ 9、已知x,y∈R,且 xy≥x+y+1,则 x+y的最小值______________。△ 10、设x,y∈R,0<θ<π,则 三、解答题 11、a、b、c、d∈R,求证:a2b2c2d2(ac)2(bd) 2△ 12、设a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ 1、λ2,∈R+,求证:(1a12a2)(☆ 13、设a>0,b>0,c>0, 求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc a1xyxsiny(用不等式填空)xyxsiny1a22)≤(12)41 2不等式的证明(分析法与综合法)B答案; 一、C C D C C A 二、7.>8.69.2+2210.≥ 三、略第三篇:2.4:不等式证明综合法与分析法
第四篇:不等式的证明——比较法、综合法、分析法
第五篇:不等式的证明(分析法与综合法)B