第一篇:不等式的证明(分析法)
不等式的证明(分析法)
1、设a0,b0,P
ab
2,Qab,则P与Q的大小关系是()A、PQB、PQC、PQD、PQ2、已知xlg(a
21a),ylga2
1a),则x与y的大小关系是()A、x>yB、x 3、若ab1,Pgalgb,Q 1a2(lgalgb),Rlg(b 2),则()A、R 4、已知a 2,b,c5,则a,b,c从小到大的顺序是。 5、求证:log 323 26、已知a0,求证:aa3a1a 27、已知xr.0,a0,求证:11axar8、已知x0,y0,求证:(1x)(1y)1xy9、已知ab0,求证:abab bab10、若a1,b1,求证:1ab ab 111、已知a,b,c都为正数,求证:lgab2lgbc2lgca 2lgalgblgc )( 212、设12(1,2,1,2均为正数,且121,求证:(1122)12)1241 213、已知a 2b2 1,x2 y2 1,求证:axby1。(用比较法,综合法,分析法,三角换元 法证明) 14、设a,b为直角三角形的两直角边的长,c为斜边的长,m,n为任意系数,求证: axby 1manbm 2n 2c 参考答案 1、D2、C3、B4、c 不等式·用分析法证明不等式·教案 教学目标 通过教学,学生掌握和应用分析法证明不等式. 教学重点和难点 理解分析法的证题格式并能熟练应用. 教学过程设计 师:我们已经学习了综合法证明不等式.综合法是从已知条件入手去探明解题途径,概括地说,就是“从已知,看已知,逐步推向未知”. 综合法的思路如下:(从上往下看)(用投影片) 师:其中,A表示已知条件,由A可以得到它的许多性质,如B,B1,B2,而由B又可以得到C,由B1还可以得到C1,C2,由B2又可以得到C3,„,而到达结D的只有C,于是我们便找到了A→B→C→D这条通路.当然,有时也可以有其他的途径达到D,比如A→B1→C1→D等. 但是有许多不等式的证明题,已知条件很隐蔽,使用综合法证明有一定困难. 这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手,今天我们介绍用分析法证明不等式,来解决这个问题. (复习了旧知识,并指出单一用综合法证明的不足之处,说明了学习分析法的必要性)分析法是从结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到和已知条件沟通为止,从而找出解题途径.概括地说,就是“从未知,看需知,逐步靠拢已知”. 分析法的思路如下:(从下往上看)(用投影片) 师:欲使结论D成立,可能有C,C1,C2三条途径,而欲使C成立,又有B这条途径,欲使C1成立,又有B1这条途径,欲使C2成立,又有B2,B3两条途径,在B,B1,B2,B3中,只有B可以从A得到,于是便找到了A→B→C→D这条解题途径.(对比综合法叙述分析法及其思路,便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系) 师:用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是:(用投影片)欲证命题B为真,只需证命题B1为真,只需证命题B2为真,„„ 只需证命题A为真,今已知A真,故B必真. 师:在运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的的乱碰,从而加强针对性,较快地探明解题途径. 下面举例说明如何用分析法证明不等式.首先解决刚才提出的问题.(板书) 师:这个题目我们曾经用比较法进行过证明,请同学们考虑用分析法如何证明?(学生讨论,请一学生回答) 生:因为b>0,所以b+1>0,去分母,化为a(b+1)<b(a+1),就是a<b,这个式子就是已知条件,所以求证的不等式成立. (学生理解了分析法的原理,应予以肯定,但这个回答不能作为证明过程,学生往往忽略分析法证明的格式,要及时纠正) 师:这位同学“执果索因”,逐步逆找结论成立的充分条件,直至找到明显成立的不等式为止.很明显,逆找的过程正是把“欲证”由繁化简的过程,因而分析法对于形式复杂的证明题是一种行之有效的方法. 但是作为证明过程,这位同学的回答不符合要求.应该如何证明呢?(请一位同学板书) =(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b) =(a+b)(a2-2ab+b2) =(a+b)(a-b)2. 由a,b∈R+,知a+b>0,又a≠b,则(a-b)2>0,进而(a+b)(a-b)2>0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以a3+b3>a2b-ab2. 生乙:我是用分析法证明的. 证法2: 欲证a3+b3>a2b+ab2,即证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),因为a+b>0,课堂教学设计说明 教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.因此,教师应及时提出问题或引导学生发现问题,然后开拓学生思路,启迪学生智慧,求得问题的解决.一个问题解决后,及时地提出新问题,提高学生的思维层次,逐步由特殊到一般,由具体到抽象,由表面到本质,把学生的思维步步引向深入,直至完成本节课的教学任务.总之,本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始,到问题深化,始终处于积极主动状态. 本节课练中有讲,讲中有练,讲练结合.在讲与练的相互作用下,使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题,先由学生自己解答,然后教师分析与概括.在教师讲解中,又不断提出问题让学生解答和练习,力求在练习中加深理解,尽量改变课堂上教师包办代替的做法. 在安排本节课教学内容时,我注意按认识规律,由浅入深,由易及难,逐渐展开教学内容,让学生形成有序的知识结构. Xupeisen110高中数学 教材:不等式证明三(分析法) 目的:要求学生学会用分析法证明不等式。 过程: 一、介绍“分析法”:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。 二、例 一、求证:372 5证: 5) 22xy 32∵x2y22xyxy成立 3只需证:x2y2 ∴(xy)(xy)22312133 证二:(综合法)∵(x2y2)3x6y63x2y2(x2y2)x6y66x3y3 1x6y62x3y3(x3y3)2 ∵x > 0,y > 0,∴(xy)(xy)22312133 例 三、已知:a + b + c = 0,求证:ab + bc + ca ≤ 0 证一:(综合法)∵a + b + c = 0∴(a + b + c)2 = 0 a2b2c2展开得:abbcca 2例 四、l,2 l周长为l的正方形边长为,截面积为 442 2ll问题只需证:> 24 l2l2 即证:2>16422 两边同乘 411,得:24l2 因此只需证:4 > (显然成立) ll∴ > 也可用比较法(取商)证,也不困难。24 三、作业: 22P18练习1—3及习题6.3余下部分 补充作业: 1.已知0 < < ,证明:2sin2cot 2 1cos∵0 < < ∴sin > 0 略证:只需证:4sincossin 2. 已知a >0(成立)3. 设a, b, c4ab4S 即证:2cosC23sinC 即:3sinCcosC2 即证:sin(C)1(成立)6 分析法证明不等式 已知非零向量a,b,a⊥b,求证|a|+|b|/|a+b|<=√ 2【1】 ∵a⊥b ∴ab=0 又由题设条件可知,a+b≠0(向量) ∴|a+b|≠0.具体的,即是|a+b|>0 【2】 显然,由|a+b|>0可知 原不等式等价于不等式: |a|+|b|≤(√2)|a+b| 该不等式等价于不等式: (|a|+|b|)²≤².整理即是: a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²) 【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b² 又ab=0,故接下来就有】】 a²+b²≤2a²+2b² 0≤a²+b² ∵a,b是非零向量,∴|a|≠0,且|b|≠0.∴a²+b²>0.推上去,可知原不等式成立。 作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法,两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。 注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以pDF格式阅读原文。” 就是在其两边同时除以根号a+根号b,就可以了。 下面我给你介绍一些解不等式的方法 首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式,柯西不等式,还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题) 然后要学会用一些函数的方法,这是解不等式最常见的方法。分析法,综合法,做减法,假设法等等这些事容易的。 在考试的时候方法最多的是用函数的方法做,关键是找到函数的定义域,还有求出它的导函数。找到他的最小值,最大值。 在结合要求的等等 一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。 还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法 这种方法最好,三部曲。你最好把它掌握好。 若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是? 解:ab-3=a+b>=2根号ab 令T=根号ab,T^2-2T-3>=0 T>=3orT<=-1(舍) 即,根号ab>=3,故,ab>=9(当且仅当a=b=3是取等号)。 分析法证明不等式 教学目标: 1.掌握分析法证明不等式; 2.理解分析法实质——执果索因; 3.提高证明不等式证法灵活性.教学重点: 分析法 教学难点: 分析法实质的理解 教学过程: 一.分析法: 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法.例1求证3725 证明:因为和2都是正数,所以为了证明2 只需证明(37)2(2)2 展开得1022120 即22110,2125 因为2125成立,所以 (37)2(2)2成立 即证明了2 注意:①分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,它与 综合法是对立统一的两种方法.综合法是“由因导果” ②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,这只需要证明命题B1为真,从而有„„ 这只需要证明命题B2为真,从而又有„„ 这只需要证明命题A为真 而已知A为真,故B必真 例2证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,LL设截面的周长为L,则周长为L的圆的半径为,截面积为T1()2;周22 LL长为L的正方形边长为,截面积为()2.所以本题只需证明44 LL()2()2.24 说明:对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。 二.课堂练习: 课本P16练习1,2,3 三.课堂小结 师:通过本节学习,要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式,并加深认识不等式证明方法的灵活性,能综合运用证明不等式的各种方法.四.课后作业 P17习题6.34,5,9 五.板书设计第二篇:不等式·用分析法证明不等式
第三篇:不等式证明三(分析法)
第四篇:分析法证明不等式专题
第五篇:分析法证明不等式08