换元法证明不等式（小编整理）

第一篇：换元法证明不等式

换元法证明不等式

已知a,b,c,d都是实数,且满足a^2+b^2=1,c^2+d^2=4,求证:|ac+bd|≤

2a=cosA,b=sinA

c=2cosB,d=2sinB

|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB}=2|cos(A-B)|

<=2

得证

若x+y+z=1，试用换元法证明x²+y²+z²≥1/

3解法一：(换元法)

证明：因为

(x-1/3)^2+(y-1/3)^2+(z-1/3)^2≥0

展开，得

x^2+y^2+z^2-2/3*(x+y+z)+3*1/9≥0

x^2+y^2+z^2-2/3+1/3≥0

x^2+y^2+z^2≥1/3。

其中等号当且仅当x=y=z=1/3时成立

解法二：

因为:x+y+z=

1所以:(x+y+z)²=1

化解为:x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1

又因为：

x²+y²≥2xy;

x²+z²≥2xz;

y²+z²≥2yz;

所以x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1<=3(x²+y²+z²)

固x²+y²+z²≥1/3

例1：已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3

证明：令a=m+1/3，b=n+1/3，c=t+1/3，则m+n+t=0

∴a2+b2+c2=(m+1/3)2+(n+1/3)2+(t+1/3)2

=m2+n2+t2+2(m+n+t)/3+1/3

=m2+n2+t2+1/3

∵m2+n2+t2≥0，∴a2+b2+c2≥1/3得证。

换元的目的：转化、化简已知条件，使已知条件更易于使用。

例2：已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)

证明：令x=a-b，y=b-c，则a-c=x+y且x>0，y>0

∴原不等式转化为：1/x+1/y≥4/(x+y)

因此，只要证明：(x+y)/x+(x+y)/y≥

4只要证：1+y/x+1+x/y≥4

只要证：y/x+x/y≥2，而y/x+x/y≥2恒成立。

∴1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)得证。

换元的目的：

化简、化熟命题，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。

例3：已知(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0，求证：(3-√5)/2≤x2+y2≤(3+√5)/

2证明：令x2+y2=t

由(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0整理得：

(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2

∴(x2+y2)2-3(x2+y2)+1≤0

∴t2-3t+1≤0，解之得：(3-√5)/2≤t≤(3+√5)/2

∴(3-√5)/2≤x2+y2≤(3+√5)/2得证。

换元的目的：转化条件，建立条件与结论间的联系。

例4：已知x-1=(y+1)/2=(z-2)/3，求证：x2+y2+z2≥59/1

4证明：设x-1=(y+1)/2=(z-2)/3=k，则x=k+1，y=2k-1，z=3k+2

∴x2+y2+z2=(k+1)2+(2k-1)2+(3k+2)2

=14k2+10k+6

=14(k2+5k/7)+6

=14(k+5/14)2+59/14≥59/14

∴x2+y2+z2≥59/14得证。

换元的目的：减少未知数的个数，直接利用已知条件。

例5：已知a>0，求证：(a+(a+(a+(a+…+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5

证明：设t1=a0.5，t2=(a+a0.5)0.5，……，tn=(a+(a+(a+(a+…+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5tn=(a+tn-1)0.5

tn2=a+tn-1，且tn>0，而tn>tn-

1∴tn20

∴tn

换元的目的：转换、化简命题

例6：已知a≥c>0，b≥c，求证：√c(a-c)+√c(b-c)≤√ab

证明：要证明原不等式，只要证明：

√c(a-c)/ab+√c(b-c)/ab≤

1只要证明：√(c/b)(1-c/a)+√c/a(1-c/b)≤1

令sinα=√c/b，sinβ=√c/a，且α、β∈(0，π]

只要证明：sinαcosβ+cosαsinβ≤

1只要证明：sin(α+β)≤1，而sin(α+β)≤1显然成立

∴原不等式得证。

换元的目的：利用两个正数的和等于1进行三角换元，可以将原问题得到极大

程度的化简，在各种命题的解题中有着广泛的应用。

例7：已知a2+b2=c2，且a、b、c均为正数，求证：an+bn2且n∈N

证明：设a=csinα，b=ccosα。α∈(0，π/2)

则：an+bn=cnsinnα+cncosnα=cn(sinnα+cosnα)

∵0

第二篇：不等式证明四(换元法)

Xupeisen110高中数学

教材：不等式证明四（换元法）

目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。

过程：

一、提出课题：（换元法）

二、三角换元：

证一：证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设x

则2sin,2ycos2 11212(1cot2)(1tan2)22xysincos

3(2cot2tan2)32

2例三：若x2y21，求证：|x22xyy2|2

证：设xrsin,yrcos,(0r1)，1则|x22xyy2||r2cos22r2cossinr2sin2|

r2|cos2sin2|2r2cos22r22 4

例四：若x > 1，y > 1，求证：xy1(x1)(y1)

证：设xsec2,ysec2,(0,)2)2

小结 若x2y21，则可令x = sec, y = tan(02)。

)。2

若xR，则可令x = tan()。22若x≥1，则可令x = sec(0

三、代数换元：

例六：证明：若a > 0，则a2112a2 2aa

1证：设xa,aya2

21,(a0,x2,y2)2a2121则x2y2aa22 aa

xya11a2222（当a = 1时取“=”）

aa

四、小结：

五、作业：

1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3

第三篇：怎样用换元法证明不等式

怎样用换元法证明不等式

陆世永

我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法,其中有换元法。下面我们探索怎样用换元法证明不等式。

所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征,选择适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证题。其换元的实质是转化,关键是构造和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

一、利用对称性换元,化繁为简

例1设a,b,cR,求证:abcbcacababc.分析:经过观察,我们发现,把a,b,c中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令xbca,ycab,zabc,则原不等式可化为:

xyyzzx8xyz.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。

证明:令xbca,ycab,zabc,则

a

12yz,b12xz,c12xy.a,b,cR,当xyz0时,有

xyyzzx8xyz；

当xyz0时,有x,y,zR(否则x,y,z中必有两个不为正值,不妨设x0, y0,则c0,这与c0矛盾), 因此

yz0,zx2zx0, xy2xy0,yz

2xyyzzx8xyz,综上所述,恒有

xyyzzx8xyz,把x,y,z代入上式得:

abcbcacababc.例2设a,b,cR,求证:

a

bc

a

bc



abbcca



abc2a2

bcabbcca.

分析:类似于例1,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令

xabc,yabc,zabbcca,则原不等式可化为2yzz20.这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。

证明:令xabc,ya2b2c2,zabbcca,则

x

y2z,yz

ab

bcca

0,原不等式可化为:

yyz





x

yz2,将x2y2z,代入上式得:

yyz



y2zyz,yzy2

yzy2zyz0,

2yzz0,又由已知条件可知,2yzz20成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。对于类似于例1与例2的对称不等式，可以结合不等式的具体形式换元，简化不等式的结构，使得不等式容易证明。

二、借助几何图形换元

例3已知a,b,c是ABC三边的长，求证：

abbccaabbcca

.分析:(如图)作ABC的内切圆,设D,E,F为切点,令xBD,yCD,zAE,(其中x,y,zR

则原不等式可转化为:

y2zz

z2

xx

x2



yy2x2y2z.

利用重要不等式:ab2ab可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。

证明:设D,E,F为切点,令xBD,yCD,zAE,则原不等式可转化为:

y2

zz

z2

xx

x2

2x2y2z.1 yy

又因为x,y,zR,则有

y

z

z2y,z

x

x2z,x

y

y2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。

从例3可以看出，在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。

三、借助三角函数的性质换元

例4已知:a1,b0,ab1,求证:0

1a

a

11b1.ab

分析:由于a1,b0,ab1,并且不等式中有a,b,因此我们联想三角函数的平方关系:sec2tan21.经过对比,发现a相当于sec2，b相当于

tan，因而可令：asec2,btan20









.2

证明:令asec2,btan20

1a

1a



, 则 2

ab

1 b

sec1tan

1

2sectansec

sin1，可见原不等式成立。

例5若x2y21,求证:x22xyy2

.分析:由x2y21,知点x,y在圆x2y21的内部或边界上,因此可以考虑变换:xrsin,yrcos 0r1,02.证明:设xrsin,yrcos 0r1,02, 则

x2xyy

rcos2sin2



2

2rcos2

42r



2.从例4，例5可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式。

四、借助均值不等式换元

例6n个正数x1,x2,xn,它们的和是1,求证:

xn1xn1xn

x1

x1x2



x2

x2x3





xn

xnx1



.分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等

式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令x1

x2x3

xnx1

n

x1x2

m1,x2

m2,,xn

mn（其中mi0）.i1

证明:令x1

n

x1x2

m1,x2

x2x3

m2,,xn

xnx1

mn,则

m

i1

i

0.x1

x1x2



x2

x2x3



xn1xn1xn



xn

xnx1

1

xxm1n2n

xnx1



1

xxm2121

x1x2



1

xxm3222

x2x3





x1x2



x2x3

4mn



xnx1

m1m2mn

m1

x1x2



m2

x2x3



xnx1



2x1x2xn

，因而原不等式成立。

例6说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。

第四篇：换元法证明不等式09

换元法证明不等式

教学目标：

增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。教学重点：三角换元 教学过程：

一、提出课题：（换元法）

对所证不等式的题设和结论中的字母作、适当的变换，以达到化难为易的目的，这种方法叫换元法。

二、三角换元：

例

一、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：

1x1y

3

22证一：



1x



12xy(2xy)332yyx



即：

1x



1y

322

证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设x则

1x1y

2sin

sin,ycos







1cos



2(1cot)(1tan

)

3(2cottan

)32

例二：若x2证：设x则|

x

y

1，求证：|x

2xyy|

rsin,2

yrcos,2

(0r1)

2，2

2xyy||rcos2rcossinrsin

|

r

|cos2sin2|2r



cos2

4



2

2r

2

小结：若0≤x≤1，则可令x = sin(0(

2

2)或x = sin2)。

y

若x2若x2

1，则可令1，则可令

x = cos , y = sin(0x = sec, y = tan(0

2

2

2)。2)。

y

若x≥1，则可令x = sec(0若xR，则可令x = tan()。

2

)。

三、小结：

还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。

四、作业：

1．若a

2b

1，求证：asinxbcosx

1n

n

n

2． 若|x|≤1，求证：(1x)(1x)2 3． 已知a＋b=1，求证：a4b4

1a

1b

4． 若正数a、b满足a＋b=1，求证：



4

第五篇：比较法、分析法、综合法、换元法证明不等式

2a b 11ab

2a2 b22ab a2 b1(ab)2

22 2ab整式形

式 ab2 22ab ab2  a bab2 根式形式22 ba2(ab) b a分式形2(a,b同号） ab1 0a2aa 倒数形式1 a0a2a

1.比较法、分析法、换元法

一.比较法（作差比较或作商比较）

1）作差比较法：要证不等式abab，只需证ab0ab0即可。其步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论。

2）作商比较法：若b0，要证不等式ab，只需证

作商、变形、判断与1的大小、得出结论。

222222例1.设abc，求证：bccaabbccaab aa1，欲证ab，需证1。其步骤为：bb

22例2（1）证明不等式ababab

1abba（2）若a>b>0，求证：abab

ba

2abb（3）若a>b>0，求证：a

二.分析法

a3b3ab3()22例2已知a>0，b>0，求证：

2222证法二由(ab)0，得a2abb0，aabbab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(ab)(aabb)ab(ab)，33223322∴ababab，3a3b3ab3ab 22

∴4a4ba3ab3abb(ab)，333223

3a3b3(ab)3

28∴，a3b3ab3()22∴。

2ab练习．1.已知ab0，求证：8aab abab28b2

2.求证

a2b2aa

均值不等式

例3已知a、b、cR，且a+b+c=1。

111(1)(1)(1)8bc求证：（1）a

（2）abc

例4设a、b、c、dR，令sabcdadbbcacdbdac，求证：1

114例5已知a>b>c，求证：abbcac

2.均值换元法：

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。例2.已知a，bR且ab1，求证：a2b2

2225 2

例3.设a，b，c为三角形三边，求证：

4.增量换元法： abc3 bcaacbabc

例4.已知a2，b2，求证：abab