2.3：不等式的证明比较法

第一篇：2.3：不等式的证明比较法

2.3不等式的证明（1）比较法

【知识要点】

1．作差比较法：

ab0ab

理论依据：ab0ab

ab0ab

证明步骤：（1）作差；（2）变形；（3）判断。

1．作商比较法：

aba

b

a

b

a

b11 1理论依据：当a,bR时，abab

证明步骤：（1）判断（判断能否作商）；（2）作商；（3）变形；（4）判断。

【基础训练】

1． 已知a,b(0,)，设A

12a1

2b,B

2ab，则A、B的大小关系为______________。

2． 已知a,b

是两个不相等的正数，M

为______________。

3． 若x³

ab2N，则M与N的大小关系a+b2的大小关系为______________。4．若a>0,b>0，则ab与(ab)

【精选例题】 的大小关系为____________。

例1． 已知a,bR，求证：a2b2c2abbcac。

解法指导：对于二次型的不等式的证明，我们可考虑“作差法、配方法、判别式”。方法一：2(a2b2c2)2(abbcac)abaccb0 所以a2b2c2abbcac。22

2a2bc22abbcaca

22(bc)abcbc222bcbc22bcbc方法二：a22

bc3(bc)a02422

所以a2b2c2abbcac。

方法三：a2b2c2abbcaca2(bc)ab2c2bc

D=(b+c)-4(b+c-bc)0

所以a2b2c2abbcac0，所以a2b2c2abbcac。思考题：已知a,bR，求证：a2b21abab。方法一：作差整理成关于a的二次式，再配方。方法二：作差整理成关于a的二次式，再用证明。

例2．（2000年上海春季高考题）设函数f(x)|lgx|，若0ab且f(a)f(b)，证明：ab1。

解法指导:利用等价命题证明。

证明：f(a)>f(b)?|lga||lgb|?|lga|2|lgb|2?lg2a

?(lga

lgb)(lga-lgb)>0圩lg(ab)lg

ab

<1，所以lg

abab>0

lgb>0，因为0ab，所以0<

<0，所以lg(ab)<0，即得ab<1。

例3．某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦a元/kg，二等小麦b元/kg(ba)。现有一等品小麦xkg，二等品小麦ykg。若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？ 解：平均价格为

ab2

元/kg4。如以此价格统一收购，则收购费用为

ab2

(xy)

元；

而原定方案收购费用为（axby）元。因为(axby)

ab2

(xy)

(ab)(xy)。

又因为ba，所以ab0，所以

（1）若xy，则收购站得利；（2）当xy时，两种方案费用一样；（3）当xy时，则收购站吃亏。

例4．已知函数f(x)logax(a0,a1,xR)，如x1,x2R，判断[f(x1)f(x2)]与

f(x1x2

212)的大小并加以证明。

x1x2

2x1x2

2)logaloga

x1x2

解：[f(x1)f(x2)]—f(=

logax1logax2loga

1因为x1,x2

R，所以

x1x2

x1x2时取等号。

（1）当a1时，12

[f(x1)f(x2)]f(1

x1x2

22)；)。

（2）当0a1时，[f(x1)f(x2)]f（x1x2

【能力训练】

一、选择题： 1．已知a>0,a?1,P（）

（A）P>Q（B）Pa+b”的（）

（A）充分条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既不充分又不必要条件

3．现给出下列三个不等式：

(1)a+1>2a;(2)a+b>2(a-b-

2loga(a-a+1),Q=loga(a-a+1)，则

P与Q的大小关系为

32);(3)(a+b)(c+d)>(ac+bd)，其中恒成立的不等式共有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

4.设复数z1,z2且M=z1z2+z1z2,N=z1z1+z2z2,则M、N的大小关系为（）（A）M³N（B）M>N（C）M£N（D）不能比较大小

二、填空题： 5．若a>0,a刮1,m,n

骣

N

*，则1+am+n_________am+an（比较大小）。

p÷

6．当xÎç。0,÷时，1-cosx________sinx（比较大小）çç桫2÷

7．设x?R+,P

2+

2x-x,Q=(sinx+cosx)，则P、Q之间的大小关系为________。

8．设xÎR，则1+2x4______2x3+x2（比较大小）。

三、解答题： 9．设a,b,c?R+,ab

bc+ac=

1，证明：a+b+c。

10．设a>0,b>0,证明下列不等式。（1）a2+b2+2?2a2b

（2

11．设an是由正数组成的等比数列，log0.5Snlog0.5Sn2

log0.5Sn1。

Sn是其前n项的和。证明：

第二篇：比较法证明不等式

比较法证明不等式

1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-

4下面这个方法算不算“比较法”啊?

作差M=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

构造函数M=f(c)=(a+b)c+ab+4

这是关于c的一次函数(或常函数)，在cOM坐标系内，其图象是直线，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因为a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因为a>-2,b>-2)

所以函数f(c)在c∈(-2,2)上总有f(c)>0

即M>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)²≥0

(2y-1)²≥0

x²-2x+1≥0

4y²-4x+1≥0

x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

x²+4y²+2≥2x+4x

除了比较法还有：

求出中间函数的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x为R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原题得到证明

比较法：

①作差比较，要点是：作差——变形——判断。

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

根据a-b>0a>b，欲证a>b只需证a-b>0;

②作商比较，要点是：作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

当b>0时，a>b>1。

比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)

综合法是从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法。

第三篇：4.1 比较法证明不等式

§4 不等式的证明

4．1 比较法证明不等式

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：选D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小关系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：选D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝2

411P＝>0，a＋a＋123a＋1＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，则()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：选B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，则＝<0，a＋1b＋1a＋1b＋1

11∴a＋1b＋1

an4．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．与n的取值有关

an＋1an解析：选B.an＋1－an＝－ bn＋1＋1bn＋1

a＝，bn＋b＋1bn＋1

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．设x2，y73，z＝6－2，则x，y，z的大小关系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：选D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不确定

解析：选B.∵{an}为等比数列设公比为q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}为等差数列，设公差为d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．设a，b，m均为正数，且，则a与b的大小关系是________． aa＋m

b＋mbma－b解析：>0，a＋maaa＋m

又a，b，m为正数．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，则________1.Bxx－3

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.xx－3

又因为B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．设n∈N，n>1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系是________．

logn＋1n＋2解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n lognn＋1

logn＋1n＋2＋logn＋1n2≤2

logn＋1n2＋2n2＝2

logn＋1n＋122<2＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正数，x、y∈R，且a＋b＝1.求证：ax2＋by2≥(ax＋by)2.证明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，证明：aabbcc≥(abc.3解析：因为f(x)＝

证明：＋＋＝abc3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在题中的地位相当(全对称性)，a－ba不妨设a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c从而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得证．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.abc3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋证明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

当a>b时，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

当a0；

当a＝b时，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.综上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

第四篇：用比较法证明不等式·教案

用比较法证明不等式·教案

北京二十五中 冯睿

教学目标

1．理解，掌握比较法证明不等式．

2．培养渗透转化、分类讨论等数学思想，提高分析、解决问题能力． 3．锻炼学生的思维品质（思维的严谨性、灵活性、深刻性）． 教学重点与难点

求差比较法证明不等式是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进行适当变形，并判断符号是本节课教学难点．

教学过程设计

（一）不等式证明的含义

师：前面我们已经学习了不等式性质．今天我们要以这些性质作为依据研究不等式证明．

什么是不等式证明呢？（板书）1．什么是不等式证明 我们通过具体题说明．

例1 求证：（2x+1）（3x-2）＞（5x＋9）（x-2）． 这道题含量是什么？（学生迟疑，教师给以启发）

师：同学们可以想一想恒等式证明的含义．

生：这道题含义是对任意实数x，这个不等式都成立．

（二）引入比较法证明不等式，理解、认识比较法 师：很好，那么如何证明这个不等式呢？（让学生稍作思考）生：求差．

（学生口述，教师板书）

证明：由于（2x＋1）（3x-2）-（5x+9）（x-2）＝（6x2-x-2）-（5x2-x-18）＝x2+16≥16＞0，则（2x-1）（3x-2）＞（5x+9）（x-2）． 师：怎么想到“求差”的呢？

生：以前比较两个实数大小时曾经用过这种方法．

（学生回答虽较为肤浅，但教师仍应鼓励并进一步引导学生思考）师：在这里用“求差”有什么好处？（学生思考片刻回答）

生：直接证这个不等式有困难，转化为一个一般式子与0比大小比较容易证明．

师：是的，在这里，通过“求差”将不等问题转化为恒等问题；将二个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．

这种证明的依据又是什么呢？ 生：依据是a-b＞0

a＞b，所以要证a＞b，只要证a-b＞0．

师：这种证明的理论依据是a-b＞0 a＞b，由a-b＞0来推a＞b是证明不等式常用方种中的一种，叫比较法，这种比较法不妨称作求差比较法．（板书）2．不等式证明的常用方法（1）比较法（求差比较法）

（三）在求差比较法中，求差后对“差式”适当变形并判断符号的方法 师：下面我们将通过例题来归纳、总结求差比较法证明不等式时，如何对差式变形并判断差式符号．

例2 求证：x2＋3＞3x．

（学生口述解题过程，教师板书）

师：求差后，进行等价变形时用的什么方法？ 生：配方法．

师：为什么用配方法？

生：因为求差后，式子中-3x的符号不确定，所以不容易判断符号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这种差式的符号可以判断．

师：也就是说变形的目的在于能判断差式的符号，这道题用的是配方法． 例3 已知：a，b∈R＋．求证：a5＋b5≥a3b2＋a2b3． 师：这道题含义是什么？

生：对于a，b属于任意正实数，不等式都成立． 师：请同学们考虑如何用比较法证明．（学生口述，教师板书）

证明：a5＋b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（a2b3-b5）=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）=（a＋b）（a-b）2（a2+ab+b2）由于a，b∈R＋，则a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，（a-b）2≥0，所以（a＋b）（a-b）2（a2＋ab＋b2）≥0，即（a5＋b5）（a3b2＋a2b3）≥0． 因此a5＋b5≥a3b2＋a2b3．

师：这道题是用什么方法对差式进行等价变形． 生：对差式进行因式分解． 师：这样变形的目的是什么？

生：将差式因式分解变形为几个因式积的形式，对每个因式进行分析，判断符号，从而使因式积的符号可以判断，差式符号即可判断．

师：说得很好，变形的目的是能判断差式符号，这道题采用的是因式分解的方法，在判断符号时要注意表述严谨、周密，正确判断a，b∈R+范围内每个因式符号．

师：这道题含义是什么？

生：对任意实数x，不等式都成立．（此时有的学生有异议）

生：我觉得应该考虑左式分式有意义的条件． 师：左式分式有意义的条件是什么？ 生：x∈R．

师：对．这道题忽视分式有意义的条件是不对的．只不过在这道题中条件就是x∈R，所以这道题的是对任意实数x，不等式都成立．请证明这道题．

（学生口述，教师板书）

师：这道题又是如何变形的呢？

生：这道题求差后，先通分，然后将分子配方，最后判断符号． 师：通过以上例题，用比较法证明不等式可以归纳为哪些步骤． 生：有三步：（1）求差；（2）变形；（3）判断符号． 师：在这些步骤中哪一步最重要． 生：我认为变形最重要． 师：为什么？

生：因为变形适当才能判断差式符号． 师：怎么就叫“变形适当”？

生：通过变形将差式化为容易判断符号的式子．

师：对．求差后，把所得差式进行合理变形，化为容易判断符号的式子是求差比较证明不等式的关键．在变形中，有哪些具体方法呢？

生：变形时可以用配方法、因式分解、通分．

师：当然，除了这些主要的方法，在今后学习中还要不断积累方法．

（学生审题，考虑片刻）

师：这道题问的是两个式子大小关系，如何判断？

生：可以利用求差比较法证明不等式的方法．先求差，再变形，转化为能与0比大小的式子，就可以判断这两个式子的大小关系．

（学生口述，教师板书）

师：先通分，再对分子进行因式分解，现在如何判断符号呢？（让学生先讨论，再回答）生：需要分类讨论？ 师：为什么要分类讨论？

生：因为分子中国式a-b的符号随着a，b大小关系的不同而有不同的符号．

师：如何分类？

生：分为a＞b，a=b，a＜b三类讨论．（学生口述，教师板书）

由于a，b＜0，则a·b＞0，a2＞0，b2＞0，a＋b＜0，进而2ab＞0，a2＋b2＞0，则（a2＋b2）（a＋b）＜0．

师：这道题在判断符号时用分类讨论，分类讨论是重要的数学思想，要知道为什么分类？怎么分类？分类时要不重不漏．

（四）小结

在了解不等式证明的含义的基础上，今天主要学习了不等式证明常用方法之一，比较法（或称求差比较法）证明不等式，它是不等式证明中最基本、最重要的证明方法．要明确求差比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是求差比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法． 比较法证明不等式除了求差比较法，还有没有其他方式呢？请同学们课下思考研究．

（五）布置作业

用比较法证明下列不等式：

（左式-右式=（q＋1）（q-1）2（q2＋1）（q2＋q＋1））

4．已知a，b∈R＋，求证：aabb≥abba．（此题可用求商比较法证明）课堂教学设计说明

1．本节课是不等式证明的第一节课，因此需要了解不等式证明的含义，在这里是通过具体例题说明的并不需要研究不等式证明的一般定义． 2．例1是一道很简单的题，学生会很自然地使用求差．这时教师引导学生深入思考这种方法正确性的依据以及这种方法中所蕴含的数学思想方法，提高学生对求差比较法的认识，同时使学生感受到浅显、平淡知识中仍有一些值得思索和注意的地方，逐渐培养学生良好思维品质，有利于学生能力提高． 3．例2，例3，例4三道题主要目的在于让学生归纳、总结，求差后对差式变形，并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤．在这里如何对差式变形是难点，应着重解决．首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破．例5带有一些综合性，加强学生对求差比较法认识和掌握，并考查对分类讨论思想的认识，例题设计目的在于突出重点，突破难点．

4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，教师通过设疑、暗示，课堂讨论等多种教学形式和方法，启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．

第五篇：§2.5.1不等式的证明 比较法

高一数学【学案】第二章《不等式—*不等式的证明》

§*2.5.1不等式的证明（1）—比较法

掌握用比较法证明简单不等式

.问1什么是比较法？如何运用比较法证明不等式？

例1（P47例1）比较x2与2x2的大小.例2（人教B版选修4-5P19例2）

已知：b，m1，m2都是正数，ab，m1m2，求证：

am1am2.bm1bm

2例3已知：f(x)x3，若x1,x2R，且x1x2，求证：f(x1)f(x2).8-

高一数学【学案】第二章《不等式—*不等式的证明》 例4设a、bR

例5设a、bR，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)（nN*）.x21n例6设函数f(x)2，求证：对任意不小于3的自然数都有f(n).x1n1

1.比较3x和2x1的大小.2.比较(acbd)和(ab)(cd)的大小.3.用比较法证明：abcabbcac.222222222

a2b2

ab.4.已知a，b为正数，用比较证明：ba

5.设a，b，c为不全相等的正数，用比较法证明：

2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).6.已知xyz1，用比较证明：xyz

2221.3-89-