第一篇：2014届高考数学理科试题大冲关：7.4基本不等式
2014届高考数学理科试题大冲关：基本不等式
一、选择题
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为()
A．2
C．12B．4 D．6
142．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋()ab
7A.2
9C.2B．4 D．5
3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是()
A．(－∞，－1]
C．[－1,3]B．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
xz4．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则()yA．最小值为8
1C．最小值为8B．最大值为81D．最大值为8
215．已知x>0，y>0，且＋1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()xy
A．m≥4或m≤－2
C．－2 11k6．设a>0，b>0，且不等式＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于()aba＋b A．0 C．－4 二、填空题 117．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋＋4y2)·的最小值为________． yx28．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x)＝的图象交于P，Q两x 点，则线段PQ长的最小值是____．B．4 D．－2 9．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则c＋2a＋2________． ac 三、解答题 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． ab411．已知a，b>0，求证：.baa＋b 12．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完． (1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数． (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 详解答案 一、选择题 1．解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0.∴2x＋y＝2.则9x＋3y＝32x＋3y≥3·3＝23＝29＝6.＋ 1当且仅当32x＝3y即x＝，y＝1时取得等号． 2 答案：D 141141b4a12．解析：依题意得＝a＋b)＝＋(＋)]≥(5＋2ab2ab2ab2 a＋b＝2b4aaba>0，b>09＝，当且仅当ab2 24149，即a＝，b33ab2 答案：C 3．解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)． 如果x>1，则log2x＋logx2≥2，如果0 xzxzxz114．解析：≤.＝yx＋2zx＋4xz＋4zx4z8＋4zx x4z当且仅当＝，x＝2z时取等号． zx 答案：D 215．解析：∵x>0，y>0，且＝1，xy 214yx∴x＋2y＝(x＋2y)()＝44＋xyxy4yx8，当且仅当4y2＝x2，xyxy 21x＝2y时取等号，又1，此时x＝4，y＝2，xy ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4 a＋b2a＋b2ba11k6．解析：0得k≥－＝2≥4(a＝b时取等号)，所aba＋bababab a＋b2a＋b2 以－≤－4，因此要使k≥恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.abab 答案：C 二、填空题 1117．解析：(x2)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋1＋4＋2yxxy4x2y2＝9，当且仅当4x2y2xy ＝1 xy|xy|时等号成立． 2 答案：9 8．解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，244则m＞0，n＞0，n＝，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋≥16(当且仅当m2＝，即mmm m2时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.答案：4 9．解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，4ac－1因此有0，4a 1从而c＝>0，4a ∴c＋2a＋221(8a)＋(＋4a2)≥2×4＋2＝10，aca4a 2a＝8a，当且仅当14a＝4a，2 1，即a＝时取等号．故所求的最小值为10.2 答案：10 三、解答题 10．解：(1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥16xy 即xy≥8xy，∴xy≥8，即xy≥64.当且仅当2x＝8y 即x＝16，y＝4时，“＝”成立． ∴xy的最小值为64.(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，28∴2x＋8y＝xy，即＝1.yx 282x8y∴x＋y＝(x＋y()＝10≥10＋2yxyx18 yx 2x8y＝x＝2y＝12时“＝”成立． yx ∴x＋y的最小值为18.ab11．证明：∵≥2ba ba ＝2>0，a＋b≥ab>0，ab 2ab＝4.abab∴()(a＋b)≥ba ab4∴＋.baa＋b abb＝a当且仅当，取等号． a＝b 即a＝b时，不等式等号成立． k12．解：(1)由题意可设3－x＝t＝0，x＝1代入，得k＝2.t＋1 2∴x＝3－.t＋1 当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，2∴年生产成本为32x＋3＝32(3)＋3.t＋1 当销售x(万件)时，年销售收入为 21150%[32(3－＋3]＋t.2t＋1 由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得 －t2＋98t＋35年利润y＝t≥0)． 2t＋1 －t2＋98t＋35t＋132(2)y＝50－(＋)≤50－ 22t＋1t＋1 t＋13250－216＝42(万元)，2t＋1t＋132，即t＝7时，ymax＝42，2t＋1 ∴当促销费定在7万元时，年利润最大． XX届高考数学第一轮不等式专项复习教 案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址课 件www.xiexiebang.com 第六章不等式 ●网络体系总览 ●考点目标定位 .理解不等式的性质及应用.2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●复习方略指南 本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意： .复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.6.1不等式的性质 ●知识梳理 .比较准则：a－b＞0a＞b； a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.2.基本性质：（1）a＞bb＜a.（2）a＞b，b＞ca＞c.（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.（5）a＞b＞0 ＞（n∈N，n＞1）；a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a＞b，ab＞0 ＜，不能弱化条件得a＞b ＜，也不能强化条件得a＞b＞0 ＜.4.要正确处理带等号的情况.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c.5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质（5）中的指数n可以推广到任意正数的情形.特别提示 不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“”型.要注意二者的区别.●点击双基 .若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是 A.＞ B.2a＞2b c.|a|＞|b| D.（）a＞（）b 解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a•＜b•，即＞成立； 由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.又（）x是减函数，所以（）a＞（）b成立.故不成立的是B.答案：B 2.（XX年春季北京，7）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 A.0 B.1 c.2 D.3 解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出－＞0.bc－ad＞0，两端同除以ab，得－＞0.同样由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.ab＞0.答案：D 3.设α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范围是 A.（0，） B.（－，） c.（0，π） D.（－，π） 解析：由题设得0＜2α＜π，0≤≤.∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.答案：D 4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，的由大到小的顺序是____________.解析：特殊值法即可 答案：＞＞＞ 5.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________.解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0.b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a ●典例剖析 【例1】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.剖析：∵a+b，a－b的范围已知，∴要求2a+3b的取值范围，只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.解：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴解得 ∴－＜（a+b）＜，－2＜－（a－b）＜－1.∴－＜（a+b）－（a－b）＜，即－＜2a+3b＜.评述：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3，① 2＜a－b＜4.② ①+②得1＜2a＜7.③ 由②得－4＜b－a＜－2.④ ①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.⑤ ③+⑤得－＜2a+3b＜.思考讨论 .评述中解法错在何处? 2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题： 已知函数f（x）=ax2－c，满足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值.答案：20－1 【例2】（XX年福建，3）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则 A.“p或q”为假 B.“p且q”为真 c.p真q假 D.p假q真 剖析：只需弄清命题p、q的真假即可.解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假.又函数y=的定义域为|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.∴x≤－1或x≥3.∴q为真.答案：D 【例3】比较1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.解：（1+logx3）－2logx2=logx.当或即0＜x＜1或x＞时，有logx＞0，1+logx3＞2logx2.当①或②时，logx＜0.解①得无解，解②得1＜x＜，即当1＜x＜时，有logx＜0，1+logx3＜2logx2.当x=1，即x=时，有logx=0.∴1+logx3=2logx2.综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2； 当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2； 当x=时，1+logx3=2logx2.评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.深化拓展 函数f（x）=x2+（b－1）x+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.当t＜x1时，比较t2+bt+c与x1的大小.提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.把t2+bt+c与x1作差即可.答案：t2+bt+c＞x1.●闯关训练 夯实基础 .（XX年辽宁，2）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式： ①loga（1+a）＜loga（1+）；②loga（1+a）＞loga（1+）；③a1+a＜a1；④a1+a＞a.其中成立的是 A.①③ B.①④ c.②③ D.②④ 解析：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+.∴loga（1+a）＞loga（1+）.又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.故②与④成立.答案：D 2.若p=a+（a＞2），q=2，则 A.p＞q B.p＜q c.p≥q D.p≤q 解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.答案：A 3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，c=，D=则A、B、c、D按从小到大的顺序排列起来是____________.解析：取特殊值a=－，计算可得A=，B=，c=，D=.∴D＜B＜A＜c.答案：D＜B＜A＜c 4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：（－3，3） 5.已知a＞2，b＞2，试比较a+b与ab的大小.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.6.设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，求证：A≥B.证明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x） =x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）.由x∈R+，x－n＞0，得 当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0； 当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.培养能力 7.设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.解：∵0＜x＜1，∴①当3a＞1，即a＞时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）| =3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）.∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］ =3log3a（1－x2）＞0.综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.8.设a1≈，令a2=1+.（1）证明介于a1、a2之间； （2）求a1、a2中哪一个更接近于； （3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.（1）证明：（－a1）（－a2）=（－a1）•（－1－）=＜0.∴介于a1、a2之间.（2）解：|－a2|=|－1－|=|| =|－a1|＜|－a1|.∴a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，则a3比a2更接近于.由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.探究创新 9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小.解：设f（x）=（1+x）n－（1+nx），则（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.由（x）=0得x=0.当x∈（－1，0）时，（x）＜0，f（x）在（－1，0）上递减.当x∈（0，+∞）时，（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增.∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0.∴（1+x）n≥1+nx.评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.●思悟小结 .不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.●教师下载中心 教学点睛 .加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd.3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.拓展题例 【例1】已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.（1）比较m+n与0的大小； （2）比较f（）与f（）的大小.剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.解：（1）∵f（m）=f（n），∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.∴log22（m+1）=log22（n+1）.∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，log2（m+1）（n+1）•log2=0.∵m＜n，∴≠1.∴log2（m+1）（n+1）=0.∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.当m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）时，由函数y=f（x）的单调性知x∈（－1，0］时，f（x）为减函数，x∈［0，+∞）时，f（x）为增函数，f（m）≠f（n）.∴－1＜m＜0，n＞0.∴m•n＜0.∴m+n=－mn＞0.（2）f（）=|log2|=－log2=log2，f（）=|log2|=log2.－==－＞0.∴f（）＞f（）.【例2】某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？ 解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2.一张全票价格为a元，那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.∴当x＞1.25时，y1＜y2； 当x＜1.25时，y1＞y2.又因x为正整数，所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社； 当x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.课 件www.xiexiebang.com 2011年—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案） 8．立体几何 【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 【2016，11】平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（） （A） （B） （C） （D） 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） （A） （B） （C） （D） 【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（） （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 ...6 .4 【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()． A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()． A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A．6 B．9 C．12 D．15 【2012，11】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（） A． B． C． D． 【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（） 二、填空题 【2011，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。 三、解答题 【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值． 【2016，18】如图，在以为顶点的五面体中，面 为正方形，且二面 角与二面角都是． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【2015，18】如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，.（I）证明：平面⊥平面； （II）求直线与直线所成角的余弦值.【2014，19】如图三棱柱中，侧面为菱形，.(Ⅰ) 证明：； （Ⅱ）若，AB=BC 求二面角的余弦值.【2013，18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 【2012，19】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。 （1）证明：DC1⊥BC； （2）求二面角A1－BD－C1的大小。 【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 2011年—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案） 8．立体几何（解析版） 【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 （7）【解析】由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，，故选B； 【2016，11】平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（） （A） （B） （C） （D） 【解析】：如图所示： ∵，∴若设平面平面，则 又∵平面∥平面，结合平面平面 ∴，故，同理可得： 故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小． 而（均为面对交线），因此，即． 故选A． 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） （A） （B） （C） （D） 【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的后的三视图 表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A． 【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛 解析：，圆锥底面半径，米堆体积，堆放的米约有，选（B）.【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（） （A）1（B）2（C）4（D）8 解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都，圆柱的高为，其表面积为，解得，故选（B）.【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 ...6 .4 【答案】C 【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，其中，故最长的棱的长度为，选C 【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()． A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 答案：A 解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图． BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为(cm3)，故选A.【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()． A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.故选A.【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（） A．6 B．9 C．12 D．15 【解析】由三视图可知，该几何体为 三棱锥A-BCD，底面△BCD为 底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD⊥底面BCD，AO⊥底面BCD，因此此几何体的体积为，故选择B。 【2012，11】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（） A． B． C． D． 【解析】如图所示，根据球的性质，知平面，则。 在直角中，，所以。 因此三棱锥S－ABC的体积，故选择A。 【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（） 解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选D 二、填空题 【2011，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。 解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=,OM=，.三、解答题 【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值． （18）【解析】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，又∵，、平面，∴平面，又平面，∴平面平面． （2）取中点，中点，连接，∵，∴四边形为平行四边形，∴，由（1）知，平面，∴平面，又、平面，∴，又∵，∴，∴、、两两垂直，∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，∴、、、，∴、、，设为平面的法向量，由，得，令，则，可得平面的一个法向量，∵，∴，又知平面，平面，∴，又，∴平面，即是平面的一个法向量，∴，由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为． 【2016，18】如图，在以为顶点的五面体中，面 为正方形，且二面 角与二面角都是． （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【解析】：⑴ ∵为正方形，∴，∵，∴，∵ ∴面，面，∴平面平面 ⑵ 由⑴知，∵，平面，平面 ∴平面，平面 ∵面面 ∴，∴ ∴四边形为等腰梯形 以为原点，如图建立坐标系，设，，设面法向量为，即，设面法向量为，.即，设二面角的大小为.，二面角的余弦值为 【2015，18】如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，.（I）证明：平面⊥平面； （II）求直线与直线所成角的余弦值.解：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，.在菱形中，不妨设，由，可得，由⊥平面，可知.又，所以，且.在中，可得,故.在中，可得.在直角梯形中，由，，可得.因为，所以，又，则平面.因为平面，所以平面⊥平面.……6分 （Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，，，.故.所以直线与直线所成的角的余弦值为.……12分 【2014，19】如图三棱柱中，侧面为菱形，.(Ⅰ) 证明：； （Ⅱ）若，AB=BC 求二面角的余弦值.【解析】：(Ⅰ)连结，交于O，连结AO．因为侧面为菱形，所以^，且O为与的中点．又，所以平面，故=又，故 ………6分 （Ⅱ）因为且O为的中点，所以AO=CO= 又因为AB=BC=，所以 故OA⊥OB^，从而OA，OB，两两互相垂直． 以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-． 因为，所以为等边三角形．又AB=BC=，则，，设是平面的法向量，则，即 所以可取 设是平面的法向量，则，同理可取 则，所以二面角的余弦值为.【2013，18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． (1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直． 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)． 则＝(1,0，)，＝＝(－1，0)，＝(0，)． 设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n＝(，1，－1)． 故cos〈n，〉＝＝.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.【2012，19】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。 （1）证明：DC1⊥BC； （2）求二面角A1－BD－C1的大小。 【解析】（1）在中，得：，同理：，得：。 又DC1⊥BD，所以平面。 而平面，所以。 （2）解法一：（几何法） 由面。 取的中点，连接。 因为，所以，因为面面，所以面，从而，又DC1⊥BD，所以面，因为平面，所以。 由，BD⊥DC1，所以为二面角A1－BD－C1的平面角。 设，则，在直角△，，所以。 因此二面角的大小为。 解法二：（向量法） 由面 。又平面，所以，以C点为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系。 不妨设AA1=2，则AC=BC=AA1=1，从而A1（1，0，2），D（1，0，1），B（0，1，0），C1（0，0，2），所以。 设平面的法向量为，则，所以，即，令，则。 设平面的法向量为，则，所以，即，令，则。 所以，解得。 因为二面角为锐角，因此二面角的大小为。 【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （18）解：（I）因为，由余弦定理得.从而，故.又底面，可得.所以平面.故.（II）如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则 即.因此可取.设平面的法向量为，则，可取..故二面角的余弦值为. 课时提升作业(七十九) 一、选择题 221.a+b与2a+2b-2的大小关系是() 2222(A)a+b>2a+2b-2(B)a+b<2a+2b-2 2222(C)a+b≤2a+2b-2(D)a+b≥2a+2b- 22.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,则a,b,c的取值范围是() (A)a>0,b>0,c<0(B)a>0,b<0,c<0 (C)a<0,b<0,c<0(D)a>0,b>0,c>0 3.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()(A)a+b>2 (B)(a-b)+ 222 ≥2(C)a+b+c>ab+bc+ca (D)|a-b|≤|a-c|+|c-b| 二、填空题 4.若x+y+z=1,且x,y,z∈R,则x+y+z与的大小关系为.5.(2013·西安模拟)已知a>b>0,c>d>0,m= 为.6.若x≥4,则 三、解答题 7.(2013·南昌检测)(1)求证:a+b+3≥ab+22222-,n=,则m与n的大小关系- -.(a+b).(2)a,b分别取何值时,上面不等式取等号.33228.(2013·苏州模拟)设a≥b>0,求证:3a+2b≥3ab+2ab.9.已知a>b>0,求证:<-<.10.(2013·无锡模拟)设a,b,c是不全相等的正实数.求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.++>3.11.(2013·济宁模拟)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:12.证明不等式:a+b+c≥ab+bc+ca≥abc(a+b+c).答案解析 444222222 1.【解析】选D.∵a+b-2a-2b+2=(a-1)+(b-1)≥0,∴a+b≥2a+2b-2.2.【解析】选D.由abc>0,知a,b,c要么同时大于零,要么有两个负,一个正,下面利用反证法说明.不妨假222222 设a>0,b<0,c<0.由a+b+c>0知a>-(b+c),又b+c<0,22∴a(b+c)<-(b+c),从而-a(b+c)>(b+c),又由ab+bc+ca>0,知bc>-a(b+c),222∴bc>(b+c),即b+bc+c<0,即(b+)+2<0,与平方和不小于0矛盾,故假设错误,故a>0,b>0,c>0.≥(当且仅当a=b时取等号),而a,b是互不相等的正3.【解析】选B.选项A,如果a,b是正数,则数,故正确; 选项B,a-b不一定是正数,故不正确; 选项C,a+b+c=(a+b+c+a+b+c)≥(2ab+2ca+2bc)=ab+bc+ca,而a,b,c是互不相等的正数,故正确;选项D,|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|,当且仅当a-c与c-b同号时取等号,故正确.4.【解析】x+y+z-=(3x+3y+3z-1)=[3x+3y+3z-(x+y+z)] =[(x-y)+(y-z)+(z-x)]≥0 即x+y+z≥.答案:x+y+z≥ 5.【解析】∵a>b>0,c>d>0,∴m=ac+bd-2 n=ac+bd-bc-ad,∴m-n=bc+ad-2∴m≥n,又∵m>0,n>0,∴m≥n.答案:m≥n 6.【解析】要比较可比较令M=N=M=2x-5+2 =2x-5+2 N=2x-5+2 =2x-5+2.******222222, =(-)≥0, 2-与>0, >0.,与+-的大小., +++ ∵x-5x+4 7.【解析】(1)a+b+3=≥ab++≥ab+2222+-<<+-,.+a++b=ab+(a+b).(2)当且仅当时等号成立,即a=b=时不等式取等号.332222228.【证明】3a+2b-(3ab+2ab)=3a(a-b)+2b(b-a)=(3a-2b)(a-b).2222因为a≥b>0,故a-b≥0,3a-2b>2a-2b=2(a+b)(a-b)≥0,223322所以(3a-2b)(a-b)≥0,即3a+2b≥3ab+2ab.9.【证明】要证原不等式组成立, 只需证即证（只需证即证)<(<<1<-2 +>2,+>2,+>2, ∴+++ ++>6, ∴++>3成立.方法二:∵a,b,c全不相等, ∴与,与,与全不相等, ∴+>2,+>2,+>2, 三式相加得+++ ++>6,∴(+-1)+（+-1)+(+-1)>3, 即+4+4>3.224422442212.【证明】∵a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac,444222222∴2(a+b+c)≥2(ab+bc+ac),444222222即a+b+c≥ab+bc+ac.22222又ab+bc≥2abc,22222bc+ac≥2abc,22222ab+ac≥2abc,222222222∴2(ab+bc+ac)≥2(abc+abc+abc),222222即ab+bc+ac≥abc(a+b+c).所以原不等式成立. 2005年高考理科数学上海卷试题及答案 一、填空题（） 1.函数的反函数________________ 2.方程的解是___________________ 3.直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是______________ 4.在的展开式中，的系数是15，则实数______________ 5.若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是____ 6.将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是______ 7.计算：______________ 8.某班有50名学生，其15人选修A课程，另外35人选修B课程从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是____________（结果用分数表示） 9.在中，若，，则的面积S=_________ 10.函数的图像与直线又且仅有两个不同的交点，则的取值范围是____________ 11.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、、用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的一个是四棱柱，则的取值范围是_______ 12.用n个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵对第行，记 例如：用1，2，3可得数阵如下，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，___________________ 二、选择题（） 13.若函数，则该函数在上是 (A)单调递减无最小值 (B)单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D)单调递增有最大值 14.已知集合，则等于 (A) (B) (C) (D) 15.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 (A)又且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在16.设定义域为为R的函数，则关于的方程有7个不同的实数解得充要条件是 (A)且 (B)且 (C)且 (D)且 三、解答题 17.已知直四棱柱中，底面是直角梯形，，，求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示） 18.证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解 19.点A、B分别是椭圆长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上，且位于x轴上方，（1）求P点的坐标； （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值 20.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到那一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分 对定义域是.的函数.，规定：函数 （1）若函数，写出函数的解析式； （2）求问题（1）中函数的值域； （3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明 22.在直角坐标平面中，已知点，，其中n是正整数对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点 （1）求向量的坐标； （2）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图像，其中是以3位周期的周期函数，且当时，求以曲线C为图像的函数在上的解析式； （3）对任意偶数n，用n表示向量的坐标 2005年高考理科数学上海卷试题及答案 参考答案 1.2.x=0 3.x+2y－4=0 4.－ 5.6.7.3 8.9.10.11.解析：①拼成一个三棱柱时，只有一种一种情况，就是将上下底面对接，其全面积为 ②拼成一个四棱柱，有三种情况，就是分别让边长为所在的侧面重合，其上下底面积之和都是，但侧面积分别为：，显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为： 由题意，得 解得 12.－1080 13.A 14.B 15.B 16.C 17.[解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC 所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC=.又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H,得∠CHB=90°,CH=2,HB=3,∴CB=.又在Rt△CBC1中,可得BC1=,在△ABC1中,cos∠C1BA=,∴∠C1BA=arccos 异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos 另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1(0,1,2),B(2,4,0),∴=(－2,－3,2),=(0,－1,0),设与所成的角为θ,则cosθ==,θ= arccos.异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos 18.[解] 原方程化简为,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1－i,∴x2+y2=1且2x=－1,解得x=－且y=±,∴原方程的解是z=－±i.19.[解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4) 设点P(x,y),则={x+6,y},={x－4,y},由已知可得 则2x2+9x－18=0,解得x=或x=－6.由于y>0,只能x=,于是y=.∴点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是x－y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.于是=,又－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有 d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－x2=(x－)2+15,由于－6≤m≤6,∴当x=时,d取得最小值 20.[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1.由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.∴到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21.[解] (1) (2) 当x≠1时,h(x)= =x－1++2,若x>1时,则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 若x<1时,则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(－∞,0]∪{1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α= 则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x－sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)（cos2x－sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x,α=,g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1－sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)（1－sin2x)=cos4x.22.[解](1)设点A0(x,y),A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2－x,4－y),A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),∴={2,4}.(2) ∵={2,4},∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此,曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(－2,1]时,g(x)=lg(x+2)－4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4.另解设点A0(x,y),A2(x2,y2),于是x2－x=2,y2－y=4,若3< x2≤6,则0< x2－3≤3,于是f(x2)=f(x2－3)=lg(x2－3).当1< x≤4时,则3< x2≤6,y+4=lg(x－1).∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x－1)－4.(3) =,由于,得 =2() =2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n－1})=2{,}={n,}第二篇：XX届高考数学第一轮不等式专项复习教案
第三篇：11-17届高考全国Ⅰ卷理科数学分类（含答案）立体几何
第四篇：高考理科练习(选修4-5第2节证明不等式的基本方法)
第五篇：高考卷 05高考理科数学（上海卷）试题及答案
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