专题七
不等式
第二十一讲
不等式的综合应用
2019年
1.(2019天津理13)设,则的最小值为
.2010-2018年
一､选择题
1.(2018北京)设集合则
A.对任意实数,B.对任意实数,C.当且仅当时,D.当且仅当时,2.(2017天津)已知函数设,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围是
A.B.C.D.3.(2015北京)设是等差数列.下列结论中正确的是
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
4.(2015陕西)设，若，,则下列关系式中正确的是
A.B.C.D.5.(2014重庆)若的最小值是
A.B.C.D.6.(2013福建)若,则的取值范围是
A.B.C.D.7.(2013山东)设正实数满足.则当取得最大值时,的最大值为
A.0
B.1
C.D.3
8.(2013山东)设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为
A.0
B.C.2
D.9.(2012浙江)若正数满足,则的最小值是
A.B.C.5
D.6
10.(2012浙江)若正数满足,则的最小值是
A.B.C.5
D.6
11.(2012陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为和(),其全程的平均时速为,则
A.B.=
C.<<
D.=
12.(2012湖南)已知两条直线:
和:(),与函数的图像从左至右相交于点,与函数的图像从左至右相交于.记线段和在轴上的投影长度分别为,当
变化时,的最小值为
A.B.C.D.13.(2011陕西)设,则下列不等式中正确的是
A.B.C.D.14.(2011上海)若,且,则下列不等式中,恒成立的是
A.B.C.D.二､填空题
15.(2018天津)已知,且,则的最小值为
.16.(2018浙江)已知,函数,当时,不等式的解集是___________.若函数恰有2个零点,则的取值范围是___________.17.(2017北京)已知，且,则的取值范围是_______.18.(2017天津)若，则的最小值为___________.19.(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则的值是
.20.(2017浙江)已知,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则的取值范围是
.21.(2014浙江)已知实数满足，则的最大值是__;
22.(2014辽宁)对于,当非零实数a,b满足,且使最大时,的最小值为
.23.(2014辽宁)对于,当非零实数,满足,且使最大时,的最小值为
.24.(2014湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)､平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为.(Ⅰ)如果不限定车型，则最大车流量为
辆/小时;
(Ⅱ)如果限定车型，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加
辆/小时.25.(2013天津)设a
+
b
=
2,b>0,则当a
=
时,取得最小值.26.(2013四川)已知函数在时取得最小值,则__.27.(2011浙江)若实数满足,则的最大值是____.28.(2011湖南)设,则的最小值为
.29.(2010安徽)若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是
(写出所有正确命题的编号).①;
②;
③;
④;
⑤
专题七
不等式
第二十一讲
不等式的综合应用
答案部分
2019年
1.解析，,则;
由基本不等式,(当且仅当时,即,且时,即或时,等号成立).故的最小值为.2010-2018年
1.D【解析】点在直线上,表示过定点,斜率为的直线,当时,表示过定点,斜率为的直线,不等式表示的区域包含原点,不等式表示的区域不包含原点.直线与直线互相垂直,显然当直线的斜率时,不等式表示的区域不包含点,故排除A;点与点连线的斜率为,当,即时,表示的区域包含点,此时表示的区域也包含点,故排除B;当直线的斜率,即时,表示的区域不包含点,故排除C,故选D.解法二
若,则,解得,所以当且仅当时,.故选D.2.A【解析】解法一
函数的图象如图所示,当的图象经过点时,可知.当的图象与的图象相切时,由,得,由,并结合图象可得,要使恒成立,当时,需满足,即,当时,需满足,所以.解法二
由题意时,的最小值2,所以不等式等价于
在上恒成立.当时,令,得,不符合题意,排除C､D;
当时,令,得,不符合题意,排除B;
选A.3.C
【解析】若是递减的等差数列,则选项都不一定正确.若为公差为0的等差数列,则选项D不正确.对于C选项,由条件可知为公差不为0的正确数列,由等差中项的性质得,由基本不等式得,所以C正确.4.B【解析】∵,∴,又在上单调递增,故,即,∵,∴.5.D【解析】由已知得,且,可知,所以(),.当且仅当时取等号.6.D【解析】本题考查的是均值不等式.因为,即,所以,当且仅当,即时取等号.7.B【解析】由,得.所以,当且仅当,即时取等号此时,.,故选B.8.C【解析】由得，当且仅当即时,有最小值1,将代入原式得,所以,当时有最大值2.故选C.9.C【解析】，.10.C【解析】，.11.A【解析】设从甲地到乙地所走路程为,则.∵,∴,∴.选A.12.B【解析】在同一坐标系中作出,(),图像
如下图,由=
m,得,=,得.依题意得.,.13.B【解】(方法一)已知和,比较与,因为,所以,同理由
得;作差法:,所以,综上可得;故选B.(方法二)取，则，所以.14.D【解析】对于A取,此时,因此A不正确;对于B取,此时,因此B不正确;对于C取,此时,因此C不正确;对于D,∵,∴,∴,D正确.15.【解析】由,得,所以,当且仅当,即时等号成立.16.;【解析】若,则当时,令,得;当时,令,得.综上可知,所以不等式的解集为.令,解得;令,解得或.因为函数恰有2个零点,结合函数的图象(图略)可知或.17.【解析】由题意，且,又时，时，当时，所以取值范围为.18.4【解析】,当且仅当,且,即时取等号.19.30【解析】总费用为,当且仅当,即时等号成立.20.【解析】∵,∴
①当时，所以的最大值,即(舍去)
②当时，此时命题成立.③当时，则
或,解得或,综上可得,实数的取值范围是.21.【解析】由得，则,又,所以,解得,故的最大值为.22.-1【解析】设最大,则必须同号,因为,故有，当且仅当时取等号,此时,所以=.23.-2
【解析】
设,则,因为,所以将代入整理可得①,由解得,当取得最大值时，代入①式得,再由得,所以.当且仅当时等号成立.24.1900
100【解析】(Ⅰ),当且仅当时等号成立.(Ⅱ),当且仅当时等号成立..25.-2【解析】∵=
当且仅当,即时取等号
故取得最小值时,.26.【解析】因为，当且仅当,即,解得.27.【解析】∵,∴,即,∴,.28.9【解析】由柯西不等式可知.29.①③⑤【解析】令,排除②④;由,命题①正确;,命题③正确;,命题⑤正确.
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