专题十
计数原理
第三十讲
排列与组合一､选择题
1.(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是
A.B.C.D.2.(2017新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有
A.12种
B.18种
C.24种
D.36种
3.(2017山东)从分别标有，,的张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A.B.C.D.4.(2016年全国II)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A.24
B.18
C.12
D.9
5.(2016四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为
A.24
B.48
C.60
D.72
6.(2015四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有
A.144个
B.120个
C.96个
D.72个
7.(2014新课标1)4位同学各自在周六､周日两天中任选一天参加公益活动,则周六､周日都有同学参加公益活动的概率为
A.B.C.D.8.(2014广东)设集合,那么集合A中满足条件“”的元素个数为
A.60
B.90
C.120
D.130
9.(2014安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为的共有
A.24对
B.30对
C.48对
D.60对
10.(2014福建)用代表红球,代表蓝球,代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来,如:“1”表示一个球都不取､“”表示取出一个红球,面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球､从5个无区别的蓝球､5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是
A.B.C.D.11.(2013山东)用0,1,…,9十个数学,可以组成有重复数字的三位数的个数为
A.243
B.252
C.261
D.279
12.(2012新课标)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲､乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有
A.12种
B.10种
C.9种
D.8种
13.(2012浙江)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
14.(2012山东)现有16张不同的卡片,其中红色､黄色､蓝色､绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,并且红色卡片至多1张,不同取法的种数是
A.232
B.252
C.472
D.484
15.(2010天津)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用
A.288种
B.264种
C.240种
D.168种
16.(2010山东)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位､节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
A.36种
B.42种
C.48种
D.54种
17.(2010广东)为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯闪亮只能是红､橙､黄､绿､蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒｡如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是
A.1205秒
B.1200秒
C.1195秒
D.1190秒
18.(2010湖北)现安排甲､乙､丙､丁､戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译､导游､礼仪､司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加｡甲､乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是
A.152
B.126
C.90
D.54
二､填空题
19.(2018全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有___种.(用数字填写答案)
20.(2018浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
21.(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有
种不同的选法.(用数字作答)
22.(2017天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)
23.(2015广东)某高三毕业班有人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了
条毕业留言.(用数字作答)
24(2014浙江)在8张奖券中有一､二､三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有_____种(用数字作答).25.(2014北京)把5件不同产品摆成一排,若产品与产品相邻,且产品与产品不相邻,则不同的摆法有_______种.26.(2014广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为
.27.(2014江西)10件产品中有7件正品､3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________.28.(2013北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少一张,如果分给同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是
.29.(2012湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则
(Ⅰ)4位回文数有
个;
(Ⅱ)位回文数有
个.30.给个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:
由此推断,当时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有
种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有
种,(结果用数值表示)
31.(2013新课标2)从个正整数1,2,…,中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则=________.32.(2013浙江)将六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答).33.(2010浙江)有4位同学在同一天的上､下午参加“身高与体重”､“立定跳远”､“肺活量”､“握力”､“台阶”五个项目的测试,每位同学上､下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上､下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______________种(用数字作答).专题十
计数原理
第三十讲
排列与组合答案部分
1.C【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取两个不同的数有种不同的取法,这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对,所以所求概率,故选C.2.D【解析】由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三份:有种方法,然后进行全排列,由乘法原理,不同的安排方式共有种.故选D.3.C【解析】不放回的抽取2次有,如图
可知与是不同,所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有=40,所求概率为.4.B【解析】由题意可知有6种走法,有3种走法,由乘法计数原理知,共有
种走法,故选B.5.D【解析】由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为1､3､5中任选一个,有
种方法,其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选,进行全排列,有种方法,所以其中奇数的个数为,故选D.6.B【解析】据题意,万位上只能排4､5.若万位上排4,则有个;若万位上排5,则有个.所以共有个,选B.7.D【解析】.8.D【解析】易知1或2或3,下面分三种情况讨论.其一:1,此时,从中任取一个让其等于1或-1,其余等于0,于是有种情况;其二:2,此时,从中任取两个让其都等于1或都等于-1或一个等于1､另一个等于-1,其余等于0,于是有种情况;其三:3,此时,从中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个等于1､另一个等于-1或两个等于-1､另一个等于1,其余等于0,于是有种情况.由于.9.C【解析】直接法:如图,在上底面中选,四个侧面中的面对角线都与它成,共8对,同样对应的也有8对,下底面也有16对,这共有32对;左右侧面与前后侧面中共有16对,所以全部共有48对.间接法:正方体的12条面对角线中,任意两条垂直､平行或成角为,所以成角为的共有.10.A【解析】分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有种不同的取法;第二步,5个无区别的篮球都取出或都不取出,则有种不同的取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球任取0个,1个,…,5个,有种不同的取法,所以所求的取法种数为.11.B【解析】能够组成三位数的个数是9×10×10=900,能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8
=648.故能够组成有重复数字的三位数的个数为.12.A【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地,再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地,共有种.13.D【解析】和为偶数,则4个数都是偶数,都是奇数或者两个奇数两个偶数,则有种取法.14.C【解析】若没有红色卡片,则需从黄､蓝､绿三色卡片中选3张,若都不同色则有=64,若2张同色,则有,若红色1张,其余2张不同色,则有,其余2张同色则有,所以共有64+144+192+72=472.另解1:,答案应选C.另解2:.15.B【解析】B,D,E,F用四种颜色,则有种涂色方法;B,D,E,F用三种颜色,则有种涂色方法;B,D,E,F用两种颜色,则有种涂色方法;所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法.16.B【解析】分两类:一类为甲排在第一位共有种,另一类甲排在第二位共有种,故编排方案共有种,故选B.17.C.【解析】共有5!=120个不同的闪烁,每个闪烁要完成5次闪亮需用时间为5秒,共5120=600秒;每两个闪烁之间的间隔为5秒,共5(120—1)=595秒｡那么需要的时间至少是600+595=1195秒.18.C【解析】由于五个人从事四项工作,而每项工作至少一人,那么每项工作至多两人,因为甲､乙不会开车,所以只能先安排司机,分两类:(1)先从丙､丁､戊三人中任选一人开车;再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作,共有种.(2)先从丙､丁､戊三人中任选两人开车:其余三人从事其他三项工作,共有种.所以,不同安排方案的种数是=126(种).故选C.19.16【解析】通解
可分两种情况:第一种情况,只有1位女生入选,不同的选法有
(种);第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有(种).根据分类加法计数原理知,至少有l位女生人选的不同的选法有16种.优解
从6人中任选3人,不同的选法有(种),从6人中任选3人都是男生,不同的选法有(种),所以至少有1位女生入选的不同的选法有20–4
=16(种).20.1260【解析】若取的4个数字不包括0,则可以组成的四位数的个数为;若取的4个数字包括0,则可以组成的四位数的个数为.综上,一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为+
=720+
540
=1
260.21.660【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有种不同的选法;第二步,从4人中选出队长､副队长各一人,有种不同的选法,根据分步乘法计数原理共有种不同的选法.22.1080【解析】分两种情况,只有一个数字为偶数有个,没有偶数有个,所以共有个.23.1560
【解析】由题意,故全班共写了1560条毕业留言.24.60【解析】分情况:一种情况将有奖的奖券按2张､1张分给4个人中的2个人,种数为;另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人,种数为,则获奖情况总共有36
+24
=60(种).25.36【解析】将A､B捆绑在一起,有种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有种摆法,共有=48种摆法,而A､B､C
3件在一起,且A､B相邻,A､C相邻有CAB､BAC两种情况,将这3件与剩下2件全排列,有种摆法,故A､B相邻,A､C不相邻的摆法由48-12=36.26.【解析】6之前6个数中取3个,6之后3个数中取3个,;
27.【解析】从10件产品中任取4件共有=210种不同取法,因为10件产品中有7件正品､3件次品,所以从中任取4件恰好取到1件次品共有种不同的取法,故所求的概率为.28.96【解析】5张参观券分成4堆,有2个联号有4种分法,每种分法分给4个人有种方法,∴总共有.29.【解析】(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有种.答案:90
(Ⅱ)法一､由上面多组数据研究发现,位回文数和位回文数的个数相同,所以可以算出位回文数的个数.位回文数只用看前位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面项每项有10种情况,所以个数为.法二､可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数｡计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”,因此四位数的回文数有90个按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因此,则答案为.30.21
43【解析】时,黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为2,3,5,8,由此可看出后一个总是前2项之和,故时应为5+8=13,时应为8+13=21;时,所有的着色方案种数为种,∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种.31.8【解析】由题意,解得.32.480【解析】第一类,字母C排在左边第一个位置,有种;第二类,字母C排在左边第二个位置,有种;第三类,字母C排在左边第三个位置,有种,由对称性可知共有2´(++)=480种.33.264【解析】上午的总测试方法有种,我们以依次代表五个测试项目,若上午测试的下午测试,则上午测试的下午只能测试,此种测试方法共有2种;若上午测试的同学下午测试之一,则上午测试中任何一个的下午都可以测试,安排完这个同学后其余两个同学的测试方式就确定了,故共有种测试方法,即下午的测试方法共有11种,根据分步乘法原理,总的测试方法共有种.
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