专题五
平面向量
第十三讲
平面向量的概念与运算
2019年
1.（2019全国Ⅱ理3）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3
B．-2
C．2
D．3
2.（2019全国Ⅲ理13）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)在中，为边上的中线，为的中点，则
A．
B．
C．
D．
2．(2018北京)设，均为单位向量，则“”是“⊥”的A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量，满足，则
A．4
B．3
C．2
D．0
4．（2017北京）设,为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2016年山东）已知非零向量满足，．若，则实数t的值为
A．4
B．–4
C．
D．–
6．（2016年天津）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为
A．
B．
C．
D．
7．（2016年全国II）已知向量，且，则=
A．
B．
C．6
D．8
8．（2016年全国III）已知向量,则=
A．
B．
C．
D．
9．(2015重庆)若非零向量，满足，且，则与的夹角为
A．
B．
C．
D．
10．（2015陕西）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是
A．
B．
C．
D．
11．（2015安徽）是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
12．（2014新课标1）设分别为的三边的中点，则
A．
B．
C．
D．
13．（2014新课标2）设向量,满足，则
A．1
B．2
C．3
D．5
14．(2014山东)已知向量.若向量的夹角为，则实数
A．
B．
C．0
D．
15．（2014安徽）设为非零向量，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为
A．
B．
C．
D．0
16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是
A．
B．
C．
D．
17．（2014浙江）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1
A．若确定，则唯一确定
B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定
D．若确定，则唯一确定
18．（2014重庆）已知向量，,且，则实数
A．
B．
C．
D．
19．（2013福建）在四边形中，则该四边形的面积为
A．
B．
C．5
D．10
20．（2013浙江）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有．则
A．
B．
C．
D．
21．（2013辽宁）已知点，则与向量同方向的单位向量为
A．
B．
C．
D．
22．（2013湖北）已知点、、、，则向量在方向上的投影为
A．
B．
C．
D．
23．（2013湖南）已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为
A．
B．
C．
D．
24．（2013重庆）在平面上，,．若，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
25．（2013广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：
①给定向量，总存在向量，使；
②给定向量和，总存在实数和，使；
③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；
上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
26．（2012陕西）设向量=（1,）与=（1,2）垂直，则等于
A．
B．
C．0
D．－1
27．（2012浙江）设，是两个非零向量
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
28．（2011广东）已知向量=（1,2），=（1,0），=（3,4）．若为实数，则=
A．
B．
C．1
D．2
29．（2011辽宁）已知向量，，则
A．
B．
C．6
D．12
30．（2010辽宁）平面上，三点不共线，设，则△的面积等于
A．
B．
C．
D．
31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是
A．若与共线，则
B．
C．对任意的，有
D．
二、填空题
32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量，．若，则=
．
33．(2017新课标Ⅰ)已知向量，的夹角为60°，，则=
．
34．(2017浙江)已知向量,满足，则的最小值是，最大值是
．
35．(2017山东)已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是
．
36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则=
．
37．(2016全国I)设向量，且，则=
.38．(2015江苏)已知向量，若（R），则的值为___．
39．（2015湖北）已知向量，则
．
40．(2015新课标Ⅰ)设向量不平行，向量与平行，则实数=
___．
41．（2015浙江）已知是空间单位向量，若空间向量满足，且对于任意，则____，_____，_____．
42．（2014新课标Ⅰ）已知，是圆上的三点，若，则与的夹角为
．
43．(2014山东)在中，已知，当时，的面积为
．
44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个
和3个排列而成．记，表示所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）．
①有5个不同的值．
②若则与无关．
③若则与无关．
④若，则．
⑤若，则与的夹角为．
45．(2014北京)已知向量、满足，且()，则__．
46．（2014陕西）设，向量，若，则
_______．
47．（2014四川）平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________．
48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为，若，则_____．
49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形的边长为,为的中点,则
．
50．（2013山东）已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．
51．（2013浙江）设，为单位向量，非零向量，若，的夹角为，则的最大值等于________．
52．（2013天津）在平行四边形ABCD中，AD
=
1，E为CD的中点．若，则AB的长为
．
53．（2013北京）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若
(λ，μ∈R)，则=
．
54．（2013北京）已知向量，夹角为，且，则
．
55．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），则
（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为____________；
（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为____________。
56．（2012安徽）若平面向量，满足：；则的最小值是．
57．（2011浙江）若平面向量，满足||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是
．
58．（2011江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，，若，则的值为
．
59．（2011新课标）已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量+与向量-垂直，则=_____________．
60．（2011安徽）已知向量满足，且，则与的夹角为
.61．（2010陕西）已知向量=（2，1），=（1，m），=（1,2），若（+）∥，则=
．
三、解答题
62．（2017江苏）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
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