专题五
平面向量
第十三讲
平面向量的概念与运算
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)在中，为边上的中线，为的中点，则
A．
B．
C．
D．
2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量，满足，则
A．4
B．3
C．2
D．0
3．(2018天津)在如图的平面图形中，已知，，，则的值为
A．
B．
C．
D．0
4．（2017新课标Ⅱ）设非零向量，满足则
A．
B．
C．
D．
5．（2017北京）设,为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2016年天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为
A．
B．
C．
D．
7．（2016全国III卷）已知向量,则
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
8．(2015重庆)已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．
B．
C．
D．
9．（2015陕西）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是
A．
B．
C．
D．
10．（2015新课标2）向量，则
A．
B．
C．
D．
11．（2014新课标1）设分别为的三边的中点，则
A．
B．
C．
D．
12．（2014新课标2）设向量,满足，则
A．1
B．2
C．3
D．5
13．(2014山东)
已知向量.若向量的夹角为，则实数
A．
B．
C．0
D．
14．（2014安徽）设为非零向量，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为
A．
B．
C．
D．0
15．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是
A．
B．
C．
D．
16．（2014浙江）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1
A．若确定，则唯一确定
B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定
D．若确定，则唯一确定
17．(2014重庆)已知向量，,且,则实数
A．
B．
C．
D．
18．（2013福建）在四边形中，,则该四边形的面积为
A．
B．
C．5
D．10
19．（2013浙江）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有．则
A．
B．
C．
D．
20．（2013辽宁）已知点，则与向量同方向的单位向量为
A．
B．
C．
D．
21．（2013湖北）已知点、、、，则向量在方向上的投影为
A．
B．
C．
D．
22．（2013湖南）已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为
A．
B．
C．
D．
23．（2013重庆）在平面上，,.若，则的取值范围是
A、B、C、D、24．（2013广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：
①给定向量，总存在向量，使；
②给定向量和，总存在实数和，使；
③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；
上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
25．（2012陕西）设向量=（1,）与=（1,2）垂直，则等于
A．
B．
C．0
D．－1
26．（2012浙江）设，是两个非零向量
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
27．（2011广东）已知向量=（1,2），=（1,0），=（3,4）．若为实数，则=
A．
B．
C．1
D．2
28．（2011辽宁）已知向量，，则
A．
B．
C．6
D．12
29．（2010辽宁）平面上，三点不共线，设，则△的面积等于
A．
B．
C．
D．
30．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是
A．若与共线，则
B．
C．对任意的，有
D．
二、填空题
31．(2018全国卷Ⅲ)已知向量，．若，则_．
32．(2018北京)设向量，若，则=_______．
33．（2017新课标Ⅰ）已知向量，．若向量与垂直，则=__．
34．（2017新课标Ⅲ）已知向量，且，则=
．
35．（2017天津）在△ABC中，AB=3，AC=2．若，（），且，则的值为
．
36．（2017山东）已知向量，若a∥b，则
．
37．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且，与的夹角为。若=+（，），则=
．
38．（2016年全国I卷高考）设向量，且，则=
．
39．（2016年全国II卷高考）已知向量，且a∥b，则m=____．
40．（2015江苏）已知向量，若（R），则的值为___．
41．（2015湖北）已知向量，则
．
42．(2015新课标1)设向量不平行，向量与平行，则实数=
____．
43．(2015浙江)已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则
．
44．（2014新课标1）已知，是圆上的三点，若，则与的夹角为
．
45．(2014山东)在中,已知,当时,的面积为
．
46．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个
和3个排列而成．记，表示所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）．
①有5个不同的值．
②若则与无关．
③若则与无关．
④若，则．
⑤若，则与的夹角为．
47．(2014北京)已知向量、满足，且()，则_．
48．（2014陕西）设，向量，若，则
_______．
49．（2014四川）平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________．
50．（2013新课标1）已知两个单位向量，的夹角为，若，则_____．
51．(2013新课标2)已知正方形的边长为，为的中点，则__．
52．（2013山东）已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．
53．（2013浙江）设，为单位向量，非零向量，若，的夹角为，则的最大值等于________．
54．（2013天津）在平行四边形ABCD中，AD
=
1，E为CD的中点．
若，则AB的长为
．
55．（2013北京）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若
(λ，μ∈R)，则=
．
56．（2013北京）已知向量，夹角为，且，则
．
57．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），则
（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为____________；
（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为____________．
58．（2012安徽）若平面向量，满足：；则的最小值是．
59．（2011浙江）若平面向量，满足||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是
．
60．（2011江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，，若，则的值为
．
61．（2011新课标）已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量+与向量-垂直，则=_____________．
62．（2011安徽）已知向量满足，且，则与的夹角为
．
63．（2010陕西）已知向量=（2，–1），=（–1，m），=（–1,2），若（+）∥，则=
．
专题五
平面向量
第十三讲
平面向量的概念与运算
答案部分
1．A【解析】通解
如图所示，．故选A．
优解
．故选A．
2．B【解析】，故选B．
3．C【解析】由，可知，∴．
由，可知，∴，故，连接，则，且，∴，∴
．故选C．
4．A【解析】由两边平方得，即，则，故选A．
5．A【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是．因为，则由可知的方向相反，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件．
6．B【解析】设，∴，，∴，故选B.7．A【解析】由题意得，所以，故选A．
8．C【解析】由题意，得，即，所以，所以，故选C．
9．B【解析】对于A选项，设向量、的夹角为，∵，∴A选项正确；对于B选项，∵当向量、反向时，∴B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出，故D选项正确，综上选B．
10．C【解析】由题意可得，所以．故选C．
11．A【解析】．
12．A【解析】由
①，②，①②得．
13．B【解析】由题意得，两边平方化简得，解得，经检验符合题意．
14．B【解析】设，若的表达式中有0个，则，记为，若的表达式中有2个，则，记为，若的表达式中有4个，则，记为，又，所以，，∴，故，设的夹角为，则，即，又，所以．
15．B【解析】对于A，C，D，都有∥，所以只有B成立．
16．B【解析】由于，令，而是任意实数，所以可得的最小值为，即，则知若确定，则唯一确定．
17．C【解析】∵，所以=．解得，选C
18．C【解析】因为，所以，所以四边形的面积为，故选C．
19．D【解析】由题意，设，则，过点作的垂线，垂足为，在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，，于是恒成立，相当于恒成立，整理得恒成立，只需
即可，于是，因此我们得到，即是的中点，故△是等腰三角形，所以．
20．A【解析】，所以，这样同方向的单位向量
是．
21．A【解析】=（2,1），=（5,5），则向量在向量方向上的射影为
22．C【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，又设，代入得，又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即．
23．D【解析】因为⊥，所以可以A为原点，分别以，所在直线为
x轴，y轴建立平面直角坐标系．设B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，则＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．
由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜.所以＜x2＋y2≤2，即.所以||的取值范围是，故选D．
24．B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.25．C【解析】正确的是C．
26．C【解析】，则，所以不垂直，A不正确，同理B也不正确；，则，所以共线，故存在实数，使得，C正确；若，则，此时，所以D不正确．
27．B【解析】，由∥，得，解得
28．D【解析】∵，由，得，∴，解得．
29．C【解析】三角形的面积S=，而
30．B【解析】若与共线，则有，故A正确；
因为，而，所以有，故选项B错误，故选B．
31．【解析】，因为，且，32．【解析】依题意=，根据向量垂直的充要条件可得，所以．
所以，即．
33．7【解析】∵，∴
所以，解得．
34．2【解析】由题意，所以，即．
35．【解析】，,则，．
36．【解析】由可得
37．3【解析】由可得，由=+
得，即
两式相加得，所以
所以．
38．【解析】因为，所以，解得．
39．【解析】由题意，所以．
40．－3【解析】由题意得：
41．9【解析】因为，所以．
42．1【解析】由题意，所以，解得．
43．【解析】由题可知，不妨，设，则，所以，所以．
44．【解析】由，得为的中点，故为圆的直径，所以与的夹角为．
45．【解析】∵，∴由，得，故的面积为．
46．②④【解析】S有下列三种情况：，∵，∴，若，则，与无关，②正确；
若，则，与有关，③错误；
若，则，④正确；
若，则
∴，∴，⑤错误．
47．【解析】∵，∴可令，∵，∴，即，解得得．
48．【解析】∵，∴，∴，∵，∴．
49．2【解析1】
因为，所以，又，所以
即．
【解析2】由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又，故
50．2【解析】=====0，解得=.51．2【解析】在正方形中，，所以．
52．【解析】向量与的夹角为，且所以.由得，即,所以,即，解得．
53．【解析】，所以的最大值为2．
54．【解析】因为E为CD的中点，所以．，因为，所以，即，所以，解得．
55．4【解析】如图建立坐标系，则，由，可得，∴
56．【解析】
57．（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由，得.设与同向的单位向量为，则且，解得故.即与同向的单位向量的坐标为．
（Ⅱ）由，得.设向量与向量的夹角为，则．
58．【解析】
．
59．【解析】如图，向量与在单位圆内，因||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为边的三角形的面积为，故的终点在如图的线段上（∥，且圆心到的距离为），因此夹角的取值范围为．
60．【解析】由题意知，即，即，化简可求得．
61．1【解析】向量+与向量-垂直，∴，化简得，易知，故．
62．【解析】设与的夹角为，由题意有，所以，因此，所以．
63．－1【解析】，由，得，所以=－1．
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