专题四
三角函数与解三角形
第十二讲
解三角形
2019年
1.（全国Ⅱ文15）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.2.（2019全国Ⅰ文11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6
B．5
C．4
D．3
3.（2019北京文15）在△ABC中，a=3，cosB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
4.（2019全国三文18）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，且c=1，求面积的取值范围．
5.（2019天津文16）在中，内角所对的边分别为.已知，.（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.6.（2019江苏15）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．
7.（2019浙江14）在中，，点在线段上，若，则____，________.2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)在中，，则
A．
B．
C．
D．
2．(2018全国卷Ⅲ)的内角，的对边分别为，．若的面积为，则
A．
B．
C．
D．
3．（2017新课标Ⅰ）的内角、、的对边分别为、、．已知，，则=
A．
B．
C．
D．
4．（2016全国I）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，，则=
A．
B．
C．2
D．3
5．（2016全国III）在中，边上的高等于，则
A．
B．
C．
D．
6．（2016山东）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=
A．
B．
C．
D．
7．(2015广东)设的内角的对边分别为，．若，，且，则
A．
B．
C．
D．
8．(2014新课标2)钝角三角形的面积是，，则=
A．5
B．
C．2
D．1
9．（2014重庆）已知的内角，满足=，面积满足，记，分别为，所对的边，则下列不等式一定成立的是
A．
B．
C．
D．
10．（2014江西）在中，，分别为内角，所对的边长，若，则的面积是
A．3
B．
C．
D．
11．（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于
A．
B．
C．
D．
12．（2013新课标1）已知锐角的内角的对边分别为，，则
A．
B．
C．
D．
13．（2013辽宁）在，内角所对的边长分别为．若，且，则=
A．
B．
C．
D．
14．（2013天津）在△ABC中，则=
A．
B．
C．
D．
15．(2013陕西)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
16．(2012广东)在中，若，则
A．
B．
C．
D．
17．（2011辽宁）的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
A．
B．
C．
D．
18．（2011天津）如图，在△中，是边上的点，且，则的值为
A．
B．
C．
D．
19．（2010湖南）在中，角所对的边长分别为．若，则
A．
B．
C．
D．与的大小关系不能确定
二、填空题
20．(2018全国卷Ⅰ)△的内角的对边分别为，已知，则△的面积为__．
21．(2018浙江)在中，角，所对的边分别为，．若，，则=___________，=___________．
22．(2018北京)若的面积为，且为钝角，则=
；的取值范围是
．
23．(2018江苏)在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为
．
24．（2017新课标Ⅱ）的内角,，的对边分别为，，若，则
25．（2017新课标Ⅲ）的内角，的对边分别为，．已知，，则=_______．
26．（2017浙江）已知，． 点为延长线上一点，连结，则的面积是_______，=_______．
27．（2016全国Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则_____．
28．（2015北京）在△中，则=
_________．
29．(2015重庆)设的内角的对边分别为，且，，则=________．
30．（2015安徽）在中，，则
．
31．(2015福建)若锐角的面积为，且，则等于
．
32．(2015新课标1)在平面四边形中，，则的取值范围是_______．
33．（2015天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，则的值为
．
34．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
m．
35．（2014新课标1）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高________．
36．（2014广东）在中，角所对应的边分别为，已知，则
．
37．（2013安徽）设的内角所对边的长分别为．若，则
则角_____．
38．（2013福建）如图中，已知点D在BC边上，ADAC，，则的长为_______________．
39．（2012安徽）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
．
①若；则
②若；则
③若；则
④若；则
⑤若；则
40．（2012北京）在中，若，则=
．
41．（2011新课标）中，则AB+2BC的最大值为____．
42．（2011新课标）中，则的面积为_
__．
43．（2010江苏）在锐角三角形，，分别为内角，所对的边长，则=_______．
44．（2010山东）在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为
．
三、解答题
45．（2018天津）在中，内角，所对的边分别为，．已知．
(1)求角的大小；
(2)设，求和的值．
46．（2017天津）在中，内角所对的边分别为．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
47．（2017山东）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求和．
48．（2015新课标2）中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)
若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
49．（2015新课标1）已知分别是内角的对边，．
（Ⅰ）若，求
（Ⅱ）若，且，求的面积．
50．（2014山东）中，，分别为内角，所对的边长．已知，．
（Ｉ）求的值；
（II）求的面积．
51．（2014安徽）设的内角所对边的长分别是，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
52．（2013新课标1）如图，在中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．
（Ⅰ）若PB=，求PA；
（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
53．（2013新课标2）在内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求△面积的最大值．
54．（2012安徽）设的内角所对边的长分别为，且有
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ)
若，为的中点，求的长．
55．（2012新课标）已知、、分别为三个内角、、的对边，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，的面积为，求、．
56．（2011山东）在中，，分别为内角，所对的边长．已知
．
（I）求的值；
（II）若，的面积．
57．（2011安徽）在中，，分别为内角，所对的边长，=，=，求边BC上的高．
58．（2010陕西）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
59．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=．
（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大？
专题四
三角函数与解三角形
第十二讲
解三角形
答案部分
2019年
1.解析
因为bsinA+acosB=0，所以由正弦定理，可得：，因为，所以可得，可得，因为，所以．
2.解析因为的内角的对边分别为.利用正弦定理将角化为边可得
①
由余弦定理可得
②
由①②消去得，化简得，即.故选A．
3.解析（Ⅰ）由余弦定理，得
．
因为，所以．
解得．则．
（Ⅱ）由，得．
由正弦定理得，．
在中，所以
4.解析（1）由题设及正弦定理得．
因为，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故，由（1）知，所以，故，从而．
因此，面积的取值范围是．
5.解析（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而，故.6.解析
（1）由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.7.解析：在直角三角形ABC中，，，在中，可得；，所以.2010-2018年
1．A【解析】因为，所以由余弦定理，得，所以，故选A．
2．C【解析】根据题意及三角形的面积公式知，所以，所以在中，．故选C．
3．B【解析】由，得，即，所以，因为为三角形的内角，所以，故，即，所以．
由正弦定理得，由为锐角，所以，选B．
4．D【解析】由余弦定理，得，整理得，解得
或
（舍去），故选D．
5．D【解析】设边上的高为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D．
6．C【解析】由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以．
7．C【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．
8．B【解析】，∴，所以或．
当时，此时，易得与“钝角三角形”矛盾；
当时，．
9．A【解析】因为，由
得，即，整理得，又，因此，由
得，即，因此选项C、D不一定成立．又，因此，即，选项A一定成立．又，因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A．
10．C【解析】由可得①，由余弦定理及
可得②．所以由①②得，所以．
11．C【解析】∵，∴
12．D【解析】，由余弦定理解得
13．A【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以．
14．C【解析】由余弦定理可得，再由正弦定理得．
15．B【解析】∵，∴由正弦定理得，∴，∴,∴，∴△ABC是直角三角形．
16．B【解析】由正弦定理得：
17．D【解析】由正弦定理，得，即，∴．
18．D【解析】设，则，，在中，由余弦定理得，则，在中，由正弦定理得，解得．
19．A【解析】因为，所以，所以
因为，所以，所以．故选A．
20．【解析】由得，因为，所以，因为，所以
所以，所以．
21．；3【解析】因为，，所以由正弦定理得
．由余弦定理可得，所以．
22．【解析】的面积，所以，因为，所以．
因为为钝角，所以，所以，所以，故的取值范围为．
23．9【解析】因为，的平分线交于点，所以，由三角形的面积公式可得，化简得，又，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为9．
24．【解析】由正弦定理得
即，所以，又为三角形内角，所以．
25．75°【解析】由正弦定理，即，结合可得，则．
26．,【解析】由余弦定理可得，由
所以，．
因为，所以，所以，27．【解析】∵，所以，所以，由正弦定理得：解得．
28．【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以．
29．4【解析】由及正弦定理知：，又因为，所以；
由余弦定理得：，所以．
30．2【解析】由正弦定理可知：
．
31．7【解析】由已知得的面积为，所以，所以．由余弦定理得，．
32．【解析】如图作，使，作出直线分别交线段、于、两点（不与端点重合），且使，则四边形就是符合题意的四边形，过作的平行线交于点，在中，可求得，在中，可求得，所以的取值范围为．
33．8
【解析】因为，所以，又，解方程组，得，由余弦定理得，所以．
34．【解析】依题意，，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即
m，在中，因为，所以，所以
m．
35．150【解析】在三角形中，在三角形中，解得，在三角形中，故．
36．2【解析】
由得：，即，∴，故．
37．【解析】，所以．
38．【解析】∵
根据余弦定理可得
39．①②③【解析】
①
②
③当时，与矛盾
④取满足得：
⑤取满足得：
40．4【解析】根据余弦定理可得，解得b=4
41．【解析】在中，根据，得，同理，因此
42．【解析】根据得，所以
=．
43．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性．
当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，=
4．（方法二），．
由正弦定理，得：上式=
44．【解析】
由得，即，因，所以.又因为
由正弦定理得，解得，而则,故．
45．【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．
又因为，可得．
(2)在中，由余弦定理及，，有，故．
由，可得．因为，故．
因此，所以，46．【解析】（Ⅰ）由，及，得．
由，及余弦定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，代入，得．
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以．
于是，故．
47．【解析】因为，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所以，由余弦定理，得，所以．
48．【解析】(Ⅰ)
因为，所以．
由正弦定理可得．
(Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得，．
．由(Ⅰ)知，所以．
49．【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得．
又，可得，由余弦定理可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
因为，由勾股定理得．
故，得．
所以的面积为1．
50．【解析】（I）在中，由题意知，又因为，所有，由正弦定理可得．
（II）由得，由，得．
所以
．
因此，的面积．
51．【解析】：（Ⅰ）∵，∴，由正弦定理得
∵，∴．
（Ⅱ）由余弦定理得，由于，∴，故．
52．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得
==，∴PA=；
（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，化简得，∴=，∴=．
53．【解析】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得：，所以，即，因为0，所以，解得B=；
（Ⅱ）由余弦定理得：，即，由不等式得：，当且仅当时，取等号，所以，解得，所以△ABC的面积为=，所以△面积的最大值为．
54．【解析】（Ⅰ）
（II）
在中，55．【解析】（1）由正弦定理得：
（2），解得：．
56．【解析】（I）由正弦定理，设
则
所以
即，化简可得又，所以，因此
（II）由得
由余弦定理
解得．因此．
又因为所以
因此
57．【解析】由，得
再由正弦定理，得
由上述结果知
设边BC上的高为，则有
58．【解析】由题意知海里，在中，由正弦定理得
=（海里），又海里，在中，由余弦定理得
=
30（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要1小时．
59．【解析】（1），同理：，．
AD—AB=DB，故得，解得．
因此，算出的电视塔的高度是124m．
（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大．
因为，则，所以当时，-最大．
故所求的是m．
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