文科数学2010-2019高考真题分类训练专题九 解析几何第二十五讲 椭圆—后附解析答案

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专题九

解析几何

第二十五讲

椭圆

2019年

1.(2019全国1文12)已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,则C的方程为

A.

B.

C.

D.

2.(2019全国II文9)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=

A.2

B.3

C.4

D.8

3.(2019北京文19)已知椭圆的右焦点为,且经过点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设O为原点,直线与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.

4.(2019江苏16)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的焦点为F1(–1、0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求点E的坐标.

5.(2019浙江15)已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是_______.6.(2019全国II文20)已知是椭圆的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.

(1)若为等边三角形,求C的离心率;

(2)如果存在点P,使得,且的面积等于16,求b的值和a的取值范围.7.(2019天津文19)设椭圆的左焦点为,左顶点为,顶点为B.已知(为原点).(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为,圆同时与轴和直线相切,圆心在直线上,且,求椭圆的方程.8.(2019全国III文15)设为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形,则M的坐标为___________.9.(2019北京文19)已知椭圆的右焦点为,且经过点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设O为原点,直线与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.

2010-2019年

一、选择题

1.(2018全国卷Ⅰ)已知椭圆:的一个焦点为,则的离心率为

A.

B.

C.

D.

2.(2018全国卷Ⅱ)已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为

A.

B.

C.

D.

3.(2018上海)设是椭圆上的动点,则到该椭圆的两个焦点的距离之和为

A.

B.

C.

D.

4.(2017浙江)椭圆的离心率是

A.

B.

C.

D.

5.(2017新课标Ⅲ)已知椭圆:的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为

A.

B.

C.

D.

6.(2017新课标Ⅰ)设、是椭圆:长轴的两个端点,若上存在点满足

=120°,则的取值范围是

A.

B.

C.

D.

7.(2016年全国I卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为

A.

B.

C.

D.

8.(2016年全国III卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C:的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且轴.过点A的直线l与线段交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为

A.

B.

C.

D.

9.(2015新课标1)已知椭圆的中心为坐标原点,离心率为,的右焦点与抛物线:的焦点重合,是的准线与的两个交点,则

A.

B.

C.

D.

10.(2015广东)已知椭圆()的左焦点为,则

A.

B.

C.

D.

11.(2015福建)已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为,直线交椭圆于两点.若,点到直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是

A.

B.

C.

D.

12.(2014福建)设分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是

A.

B.

C.

D.

13.(2013新课标1)已知椭圆的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为

A.+=1

B.+=1

C.+=1

D.+=1

14.(2013广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是

A.

B.

C.

D.

15.(2012新课标)设、是椭圆:的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为

A、B、C、D、二、填空题

16.(2018浙江)已知点,椭圆()上两点,满足,则当=___时,点横坐标的绝对值最大.

17.(2015浙江)椭圆()的右焦点关于直线的对称点在椭圆上,则椭圆的离心率是

18.(2014江西)过点作斜率为的直线与椭圆:相交于两点,若是线段的中点,则椭圆的离心率等于

19.(2014辽宁)已知椭圆:,点与的焦点不重合,若关于的焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则

20.(2014江西)设椭圆的左右焦点为,作作轴的垂线与交于两点,与轴相交于点,若,则椭圆的离心率等于________.

21.(2014安徽)设分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线交椭圆于两点,若轴,则椭圆的方程为____.

22.(2013福建)椭圆的左、右焦点分别为,焦距为.若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于

23.(2012江西)椭圆的左、右顶点分别是,左、右焦点分别是.若成等比数列,则此椭圆的离心率为_________.

24.(2011浙江)设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,若;则点的坐标是

三、解答题

25.(2018江苏)如图,在平面直角坐标系中,椭圆过点,焦点,圆的直径为.

(1)求椭圆及圆的方程;

(2)设直线与圆相切于第一象限内的点.

①若直线与椭圆有且只有一个公共点,求点的坐标;

②直线与椭圆交于两点.若的面积为,求直线的方程.

26.(2018全国卷Ⅲ)已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.

(1)证明:;

(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:

27.(2018北京)已知椭圆的离心率为,焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点,.

(1)求椭圆的方程;

(2)若,求的最大值;

(3)设,直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.若,和点

共线,求.

28.(2018天津)设椭圆的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线与椭圆交于两点,与直线交于点M,且点,均在第四象限.若的面积是面积的2倍,求的值.

29.(2017新课标Ⅱ)设为坐标原点,动点在椭圆:上,过做轴的垂线,垂足为,点满足.

(1)求点的轨迹方程;

(2)设点在直线上,且.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.

30.(2017天津)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为,的面积为.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设点在线段上,延长线段与椭圆交于点,点,在轴上,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为.

(i)求直线的斜率;

(ii)求椭圆的方程.

31.(2017山东)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的离心率为,椭圆截直线所得线段的长度为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)动直线:交椭圆于,两点,交轴于点.点是关于的对称点,的半径为.

设为的中点,与分别相切于点,求的最小值.

32.(2017北京)已知椭圆的两个顶点分别为,焦点在轴上,离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)点为轴上一点,过作轴的垂线交椭圆于不同的两点,过作的垂线交于点.求证:与的面积之比为4:5.

33.(2017江苏)如图,在平面直角坐标系中,椭圆:的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若直线,的交点在椭圆上,求点的坐标.

34.(2016年北京)已知椭圆:过,两点.

(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;

(Ⅱ)设为第三象限内一点且在椭圆上,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:四边形的面积为定值.

35.(2016年全国II卷)已知是椭圆:的左顶点,斜率为的直线交

与,两点,点在上,.(Ⅰ)当时,求的面积;

(Ⅱ)当时,证明:.36.(2016年山东)已知椭圆C:的长轴长为4,焦距为2.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴与点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k',证明为定值;

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

37.(2016年天津)设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率.38.(2015新课标2)已知椭圆:的离心率为,点

在上.

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,线段的中点为.证明:直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

39.(2015天津)已知椭圆的上顶点为,左焦点为,离心率为.

(Ⅰ)求直线的斜率;

(Ⅱ)设直线与椭圆交于点(异于点),故点且垂直于的直线与椭圆交于点(异于点)直线与轴交于点,.

(i)求的值;

(ii)若,求椭圆的方程.

40.(2015陕西)如图,椭圆:(>>0)经过点,且离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点),证明:直线与的斜率之和为2.

41.(2015重庆)如图,椭圆(>>0)的左、右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于两点,且.

(Ⅰ)若|,|,求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)若|,且,试确定椭圆离心率的取值范围.

42.(2014新课标1)

已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)设过点的动直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.

43.(2014浙江)如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限.

(Ⅰ)已知直线的斜率为,用表示点的坐标;

(Ⅱ)若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.

44.(2014新课标2)设,分别是椭圆:的左,右焦点,是上一点且与轴垂直,直线与的另一个交点为.

(Ⅰ)若直线的斜率为,求的离心率;

(Ⅱ)若直线在轴上的截距为2,且,求.

45.(2014安徽)设,分别是椭圆:的左、右焦点,过点的直线交椭圆于两点,(Ⅰ)若的周长为16,求;

(Ⅱ)若,求椭圆的离心率.

46.(2014山东)在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.

(I)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且,直线BD与轴、轴分别交于M,N两点.

(ⅰ)设直线BD,AM的斜率分别为,证明存在常数使得,并求出的值;

(ⅱ)求面积的最大值.

47.(2014湖南)如图5,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.

(I)求的方程;

(Ⅱ)是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.

48.(2014四川)已知椭圆C:()的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.

(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);

(ii)当最小时,求点T的坐标.

49.(2013安徽)已知椭圆的焦距为4,且过点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.50.(2013湖北)如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记,△和△的面积分别为和.

(Ⅰ)当直线与轴重合时,若,求的值;

(Ⅱ)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由.

51.(2013天津)设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x

轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(Ⅰ)

求椭圆的方程;

(Ⅱ)

设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.

52.(2013山东)椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为l.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接.设的角平分线交的长轴于点,求的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点.设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值.

53.(2012北京)已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)当△AMN得面积为时,求的值.54.(2013安徽)如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,=60°.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)已知△的面积为40,求a,b的值.

55.(2012广东)在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为3.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点使得直线:与圆:

相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及相对应的的面积;若不存在,请说明理由.

56.(2011陕西)设椭圆:

过点(0,4),离心率为.

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被所截线段的中点坐标.

57.(2011山东)在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.

(Ⅰ)求的最小值;

(Ⅱ)若∙,(i)求证:直线过定点;

(ii)试问点,能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由.

58.(2010新课标)设,分别是椭圆E:+=1(0﹤﹤1)的左、右焦点,过的直线与E相交于、两点,且,成等差数列.

(Ⅰ)求;

(Ⅱ)若直线的斜率为1,求的值.

59.(2010辽宁)设椭圆:的左焦点为F,过点F的直线与椭圆相交于A,B两点,直线的倾斜角为60o,.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)如果=,求椭圆的方程.

专题九

解析几何

第二十五讲

椭圆

答案部分

2019年

1.如图所示,设,则,所以.由椭圆定义,即.又,所以.因此点A为椭圆的上顶点,设其坐标为.由可得点B的坐标为.因为点B在椭圆上,所以.解得.又,所以.所以椭圆方程为.故选B.2.解析:由题意可得:,解得.故选D.

3.解析(I)由题意得,b2=1,c=1.

所以a2=b2+c2=2.

所以椭圆C的方程为.

(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为.

令y=0,得点M的横坐标.

又,从而.

同理,.

由得.

则,.

所以

又,所以.

解得t=0,所以直线为,所以直线恒过定点(0,0).

4.解析

(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=,AF2⊥x轴,所以DF2=,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为.(2)解法一:由(1)知,椭圆C:,a=2,因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)

2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由,得,解得或.将代入,得,因此.又F2(1,0),所以直线BF2:.由,得,解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以.将代入,得.因此.解法二:由(1)知,椭圆C:.如图所示,联结EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B,所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.因为F1(-1,0),由,得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以.因此.5.解析:设椭圆的右焦点为,连接,线段PF的中点A在以原点O为圆心,2为半径的圆,连接AO,可得,设P的坐标为(m,n),可得,可得,由,可得直线PF的斜率为.

6.解:(1)连结,由为等边三角形可知在中,,于是,故的离心率是.(2)由题意可知,满足条件的点存在当且仅当,,即,①,②,③

由②③及得,又由①知,故.由②③得,所以,从而故.当,时,存在满足条件的点P.所以,的取值范围为.7.解析(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,由已知有,又由,消去得,解得.所以,椭圆的离心率为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,故椭圆方程为.由题意,则直线的方程为.点P的坐标满足,消去并化简,得到,解得,代入到的方程,解得,.因为点在轴上方,所以.由圆心在直线上,可设.因为,且由(Ⅰ)知,故,解得.因为圆与轴相切,所以圆的半径为2,又由圆与相切,得,可得.所以,椭圆的方程为.8.解析

设,椭圆C:的,,由于为上一点且在第一象限,可得,为等腰三角形,可能或,即有,即,;,即,舍去.可得.9.解析(1)设,则.由于,所以切线DA的斜率为,故,整理得

设,同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为.由,可得.于是.设M为线段AB的中点,则.由于,而,与向量平行,所以.解得t=0或.当=0时,=2,所求圆的方程为;

当时,所求圆的方程为.2010-2018年

1.C【解析】不妨设,因为椭圆的一个焦点为,所以,所以,所以的离心率为.故选C.

2.D【解析】由题设知,,所以,.由椭圆的定义得,即,所以,故椭圆的离心率.故选D.

3.C【解析】由题意,.由椭圆的定义可知,到该椭圆的两个焦点的距离之和为,故选C.

4.B【解析】由题意可知,∴,∴离心率,选B.

5.A【解析】以线段为直径的圆是,直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,整理为,即,即,故选A.

6.A【解析】当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,即,得;当,焦点在轴上,要使上存在点满足,则,即,得,故的取值范围为,选A.

7.B【解析】不妨设直线过椭圆的上顶点和左焦点,则直线的方程为,由已知得,解得,又,所以,即,故选B.

8.A【解析】由题意,不妨设点在轴上方,直线的方程为,分别令与,得,设的中点为,由,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A.

9.B【解析】∵抛物线:的焦点坐标为,准线的方程为

①,设椭圆的方程为,所以椭圆的半焦距,又椭圆的离心率为,所以,椭圆的方程为②,联立①②,解得或,所以,选B.

10.B【解析】由题意得:,因为,所以,故选C.

11.A【解析】设椭圆的左焦点为,半焦距为,连结,则四边形为平行四边形,所以,根据椭圆定义,有,所以,解得.因为点到直线:的距离不小于,即,所以,所以,解得,所以,所以椭圆的离心率的取值范围为.

12.D【解析】由题意可设,圆的圆心坐标为,圆心到的距离为,当且仅当时取等号,所以,所以两点间的最大距离是.

13.D【解析】设,则=2,=-2,①

①-②得,∴===,又==,∴=,又9==,解得=9,=18,∴椭圆方程为,故选D.14.D【解析】∵,选D.15.C【解析】是底角为的等腰三角形

16.5【解析】设,由,得,即,.因为点,在椭圆上,所以,得,所以,所以当时,点横坐标的绝对值最大,最大值为2.

17.【解析】设左焦点为,由关于直线的对称点在椭圆上,得,又,所以,不妨设,则,因此,又,由以上二式可得,即,即,所以,.

18.【解析】设,分别代入椭圆方程相减得,根据题意有,且,所以,得,整理,所以.

19.12【解析】设交椭圆于点,连接和,利用中位线定理可得

20.【解析】由题意可得,由题意可知点为的中点,所以点的坐标为,由,所以,整理得,解得.

21.【解析】由题意得通径,∴点B坐标为

将点B坐标带入椭圆方程得,又,解得

∴椭圆方程为.

22.【解析】由题意可知,中,所以有,整理得,故答案为.

23.【解析】由椭圆的性质可知:,.又已知,成等比数列,故,即,则.故.即椭圆的离心率为.

24.【解析】设点的坐标为,点的坐标为.,可得,∵,∴,又点在椭圆上,∴,解得,∴点的坐标是.

25.【解析】(1)因为椭圆的焦点为,可设椭圆的方程为.又点在椭圆上,所以,解得

因此,椭圆的方程为.

因为圆的直径为,所以其方程为.

(2)①设直线与圆相切于,则,所以直线的方程为,即.

由消去,得

.(*)

因为直线与椭圆有且只有一个公共点,所以.

因为,所以.

因此,点的坐标为.

②因为三角形的面积为,所以,从而.

设,由(*)得,所以.

因为,所以,即,解得舍去),则,因此的坐标为.

综上,直线的方程为.

26.【解析】(1)设,则,.

两式相减,并由得.

由题设知,于是.①

由题设得,故.

(2)由题意得,设,则

由(1)及题设得,.

又点在上,所以,从而,.

于是.

同理.

所以.

27.【解析】(1)由题意得,所以,又,所以,所以,所以椭圆的标准方程为.

(2)设直线的方程为,由消去可得,则,即,设,则,则,易得当时,故的最大值为.

(3)设,,则

①,②,又,所以可设,直线的方程为,由消去可得,则,即,又,代入①式可得,所以,所以,同理可得.

故,因为三点共线,所以,将点的坐标代入化简可得,即.

28.【解析】(1)设椭圆的焦距为,由已知得,又由,可得

由,从而.

所以,椭圆的方程为.

(2)设点P的坐标为,点M的坐标为,由题意,点的坐标为

由的面积是面积的2倍,可得,从而,即.

易知直线的方程为,由方程组

消去y,可得.由方程组消去,可得.

由,可得,两边平方,整理得,解得,或.

当时,不合题意,舍去;

当时,,符合题意.

所以,的值为.

29.【解析】(1)设,则,.

由得,.

因为在上,所以.

因此点的轨迹方程为.

(2)由题意知.设,则,,,由得,又由(1)知,故.

所以,即.又过点存在唯一直线垂直与,所以过点且垂直于的直线过的左焦点.

30.【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e.由已知,可得.

又由,可得,即.

又因为,解得.

所以,椭圆的离心率为.

(Ⅱ)(ⅰ)依题意,设直线FP的方程为,则直线FP的斜率为.

由(Ⅰ)知,可得直线AE的方程为,即,与直线FP的方程联立,可解得,即点Q的坐标为.

由已知|FQ|=,有,整理得,所以,即直线FP的斜率为.

(ii)由,可得,故椭圆方程可以表示为.

由(i)得直线FP的方程为,与椭圆方程联立消去,整理得,解得(舍去),或.

因此可得点,进而可得,所以.由已知,线段的长即为与这两条平行直线间的距离,故直线和都垂直于直线.

因为,所以,所以的面积为,同理的面积等于,由四边形的面积为,得,整理得,又由,得.

所以,椭圆的方程为.

31.【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为,得,又当时,得,所以,因此椭圆方程为.

(Ⅱ)设,联立方程

得,由

(*)

且,因此,所以,又,所以

整理得:,因为

所以

令,故

所以.

令,所以.

当时,从而在上单调递增,因此,等号当且仅当时成立,此时,所以,由(*)得

且,故,设,则,所以得最小值为.

从而的最小值为,此时直线的斜率时.

综上所述:当,时,取得最小值为.

32.【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为.

由题意得解得.

所以.

所以椭圆的方程为.

(Ⅱ)设,且,则.

直线的斜率,由,则,故直线的斜率.

所以直线的方程为.

直线的方程为.

联立,解得点的纵坐标.

由点在椭圆上,得.

所以.

又,所以与的面积之比为.

33.【解析】(1)设椭圆的半焦距为.因为椭圆的离心率为,两准线之间的距离为8,所以,解得,于是,因此椭圆的标准方程是.(2)由(1)知,.设,因为点为第一象限的点,故.当时,与相交于,与题设不符.当时,直线的斜率为,直线的斜率为.因为,所以直线的斜率为,直线的斜率为,从而直线的方程:,①

直线的方程:.②

由①②,解得,所以.因为点在椭圆上,由对称性,得,即或.又在椭圆上,故.由,解得;,无解.因此点的坐标为.34.【解析】(I)由题意得,.所以椭圆的方程为.

又,所以离心率.

(II)设(,),则.

又,所以直线的方程为.

令,得,从而.

直线的方程为.

令,得,从而.

所以四边形的面积

从而四边形的面积为定值.

35.【解析】(Ⅰ)设,则由题意知.由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为,又,因此直线的方程为.将代入得,解得或,所以.因此的面积.(Ⅱ)将直线的方程代入得

.由得,故.由题设,直线的方程为,故同理可得.由得,即.设,则是的零点,所以在单调递增,又,因此在有唯一的零点,且零点在内,所以.36.【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,由题意知,所以,所以椭圆C的方程为.(Ⅱ)(i)设,由M(0,),可得

所以直线PM的斜率,直线QM的斜率.此时,所以为定值.(ii)设,直线PA的方程为,直线QB的方程为.联立,整理得.由可得,所以,同理.所以,所以

由,可知k>0,所以,等号当且仅当时取得.此时,即,符号题意.所以直线AB的斜率的最小值为

.37.【解析】(Ⅰ)设,由,即,可得,又,所以,因此,所以椭圆的方程为.(Ⅱ)设直线的斜率为,则直线的方程为,设,由方程组

消去,整理得,解得或,由题意得,从而,由(Ⅰ)知,设,有,由,得,所以,解得,因此直线的方程为,设,由方程组消去,得,在中,即,化简得,即,解得或,所以直线的斜率为或.38.【解析】(Ⅰ)由题意有,解得.

所以的方程为.

(Ⅱ)设直线:,,将代入得.

故,.

于是直线的斜率,即.

所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

39.【解析】(Ⅰ)设,由已知离心率及,又因为,故直线BF的斜率.

(Ⅱ)设点,(i)由(Ⅰ)可得椭圆方程为,直线BF的方程为,将直线方程与椭圆方程联立,消去y,得,解得.因为,所以直线BQ方程为,与椭圆方程联立,消去,整得,解得.又因为,及,可得.

(ii)由(i)有,所以,即,又因为,所以=.

又因为,所以,因此,所以椭圆方程为.

40.【解析】(Ⅰ)由题设知,结合,解得.

所以椭圆的方程式为.

(Ⅱ)由题设知,直线的方程式为,代入,得.

由已知>0.

设,,,则.

从而直线的斜率之和

=

=.

41.【解析】(Ⅰ)由椭圆的定义,故.

设椭圆的半焦距为,由已知,因此,即,从而.故所求椭圆的标准方程为.

(Ⅱ)如题(21)图,由,得.

由椭圆的定义,,进而.

于是.

解得,故.

由勾股定理得,从而,两边除以,得,若记,则上式变成.

由,并注意到关于的单调性,得,即,进而,即.

42.【解析】

(Ⅱ)

43.【解析】(Ⅰ)设直线的方程为,由,消去得,由于直线与椭圆只有一个公共点,故,即,解得点的坐标为,由点在第一象限,故点的坐标为;

(Ⅱ)由于直线过原点,且与垂直,故直线的方程为,所以点到直线的距离,整理得,因为,所以,当且仅当时等号成立,所以点到直线的距离的最大值为.44.【解析】(Ⅰ)根据及题设知

将代入,解得(舍去)

故C的离心率为.(Ⅱ)由题意,原点为的中点,∥轴,所以直线与轴的交点

是线段的中点,故,即

由得。

设,由题意知,则,即

代入C的方程,得。②

将①及代入②得

解得,故.45.【解析】:(Ⅰ)由得。

因为的周长为16,所以由椭圆定义可得

故。

(Ⅱ)设,则且,由椭圆定义可得

在中,由余弦定理可得

化简可得,而,故

于是有,因此,可得

故为等腰直角三角形.从而,所以椭圆的离心率.

46.【解析】(I)由题意知,可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得,因此,可得.因此,所以椭圆C的方程为.(Ⅱ)(ⅰ)设,则,因为直线AB的斜率,又,所以直线AD的斜率,设直线AD的方程为,由题意知,由,可得.所以,因此,由题意知,所以,所以直线BD的方程为,令,得,即.可得.

所以,即.

因此存在常数使得结论成立.(ⅱ)直线BD的方程,令,得,即,由(ⅰ)知,可得的面积,因为,当且仅当时等号成立,此时S取得最大值,所以的面积的最大值为.47.【解析】(I)设的焦距为,由题可得,从而,因为点在双曲线上,所以,由椭圆的定义可得,所以的方程为.(Ⅱ)不存在符合题设条件的直线.(1)若直线垂直于轴,因为与只有一个公共点,所以直线的方程为或,当时,易知所以,此时.当时,同理可得.(2)当直线不垂直于轴,设的方程为,由

可得,当与相交于两点时,设,则满足上述方程的两个实根,从而,于是,由可得,因为直线与只有一个公共点,所以上述方程的判别式,化简可得,因此,于是,即,所以,综合(i)(ii)可知,不存在符合题目条件的直线.

48.【解析】(1)依条件,所以椭圆C的标准方程为

(Ⅱ)设,,又设中点为

(i)因为,所以直线的方程为:

所以

于是,所以。因为

所以,三点共线

即OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)

(ii),所以,令()

则(当且仅当时取“”)

所以当最小时,即或,此时点T的坐标为或

49.【解析】(Ⅰ)因为焦距为4,所,又因为椭圆C过点,所以,故,从而椭圆C的方程为。

(Ⅱ)由题意,E点坐标为,设,则,再由知,即.

由于,故.因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点.

故直线的斜率.

又因在椭圆C上,所以.

从而

故直线的方程为

将②代入椭圆C方程,得:

再将①代入③,化简得:

解得,即直线与椭圆C一定有唯一的公共点.

50.【解析】依题意可设椭圆和的方程分别为

:,:.其中,(Ⅰ)解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则,所以.在C1和C2的方程中分别令,可得,,于是.

若,则,化简得.由,可解得.

故当直线与轴重合时,若,则.

解法2:如图1,若直线与轴重合,则,;,..所以.

若,则,化简得.由,可解得.

故当直线与轴重合时,若,则.

第28题解答图1

第28题解答图2

(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得.根据对称性,不妨设直线:,点,到直线的距离分别为,则

因为,所以.又,所以,即.由对称性可知,所以,于是

.①

将的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得,.根据对称性可知,于是

.②

从而由①和②式可得

.③

令,则由,可得,于是由③可解得.因为,所以.于是③式关于有解,当且仅当,等价于.由,可解得,即,由,解得,所以

当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;

当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得.解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得.根据对称性,不妨设直线:,点,到直线的距离分别为,则

因为,所以.又,所以.因为,所以.由点,分别在C1,C2上,可得,两式相减可得,依题意,所以.所以由上式解得.因为,所以由,可解得.从而,解得,所以

当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;

当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得.51.【解析】(Ⅰ)设F(-c,0),由,知.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有,解得,于是,解得,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为.(Ⅱ)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.求解可得x1+x2=,x1x2=.因为A(,0),B(,0),所以·+·

=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)

=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)

=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2

=.

由已知得=8,解得k=.

52.【解析】:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程得

由题意知,即,又,所以,所以椭圆方程为.

(Ⅱ)由题意可知:=,=,设其中,将向量坐标代入并化简得:,因为,所以,而,所以

(Ⅲ)由题意可知,l为椭圆的在点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:,所以,而,代入中得

为定值.

53.【解析】(Ⅰ)由题意得解得.所以椭圆C的方程为.(Ⅱ)由得.设点M,N的坐标分别为,则,,.

所以|MN|==

=.由因为点A(2,0)到直线的距离,所以△AMN的面积为.由,解得.54.【解析】(Ⅰ)

(Ⅱ)设;则

在中,面积

55.【解析】(Ⅰ)由,所以

设是椭圆上任意一点,则,所以

所以,当时,有最大值,可得,所以

故椭圆的方程为:

(Ⅱ)存在点满足要求,使得面积最大.

假设直线与圆相交于不同两点,则圆心到的距离,∴

因为在椭圆上,所以

②,由①②得:

所以,由②得代入上式

得,当且仅当,∴,此时满足要求的点有四个.

此时对应的的面积为.

56.【解析】(Ⅰ)将(0,4)代入C的方程得,∴=4,又

得,即,∴a=5,∴C的方程为.

(Ⅱ)过点且斜率为的直线方程为,设直线与C的交点为A,B,将直线方程代入C的方程,得,即,解得,AB的中点坐标,即中点为.

57.【解析】(Ⅰ)设直线,由题意,由方程组得,由题意,所以

设,由韦达定理得

所以

由于E为线段AB的中点,因此

此时

所以OE所在直线方程为又由题设知D(-3,m),令=-3,得,即=1,所以

当且仅当==1时上式等号成立,此时

由得

因此

当时,取最小值2.

(Ⅱ)(i)由(I)知OD所在直线的方程为

将其代入椭圆C的方程,并由

解得

又,由距离公式及得

因此,直线的方程为

所以,直线

(ii)由(i)得

若B,G关于x轴对称,则

代入

即,解得(舍去)或

所以k=1,此时关于x轴对称。

又由(I)得所以A(0,1).

由于的外接圆的圆心在x轴上,可设的外接圆的圆心为(d,0),因此

故的外接圆的半径为,所以的外接圆方程为

58.【解析】(Ⅰ)由椭圆定义知

(Ⅱ)L的方程式为,其中

设,则A,B

两点坐标满足方程组,化简得

因为直线AB的斜率为1,所以

.则

解得.

59.【解析】设,由题意知<0,>0.(Ⅰ)直线的方程为,其中.联立得

解得

因为,所以.即

得离心率

(Ⅱ)因为,所以.由得.所以,得a=3,.椭圆C的方程为.

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