专题九
解析几何
第二十六讲
双曲线
2019年
1.(2019全国III文10)已知F是双曲线C:的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点,若,则的面积为
A.
B.
C.
D.
2.(2019江苏7)在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是
.3.(2019浙江2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A.
B.1
C.
D.2
4.(2019全国1文10)双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为
A.2sin40°
B.2cos40°
C.
D.
5.(2019全国II文12)设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为
A.
B.
C.2
D.
6.(2019北京文5)已知双曲线(a>0)的离心率是,则a=
(A)
(B)4
(C)2
(D)
7.(2019天津文6)已知抛物线的焦点为,准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B,且(为原点),则双曲线的离心率为
(A)
(B)
(C)2
(D)
2010-2018年
一、选择题
1.(2018浙江)双曲线的焦点坐标是
A.,B.,C.,D.,2.(2018全国卷Ⅱ)双曲线的离心率为,则其渐近线方程为
A.
B.
C.
D.
3.(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线的离心率为,则点到的渐近线的距离为
A.
B.
C.
D.
4.(2018天津)已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点.设,到双曲线同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
5.(2017新课标Ⅰ)已知是双曲线:的右焦点,是上一点,且与轴垂直,点的坐标是.则的面积为
A.
B.
C.
D.
6.(2017新课标Ⅱ)若,则双曲线的离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
7.(2017天津)已知双曲线的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形(为原点),则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
8.(2016天津)已知双曲线的焦距为,且双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
9.(2015湖南)若双曲线的一条渐近线经过点,则此双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
10.(2015四川)过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于两点,则=
A.
B.2
C.6
D.4
11.(2015重庆)设双曲线的右焦点是,左、右顶点分别是,过做的垂线与双曲线交于两点,若,则双曲线的渐近线的斜率为
A.
B.
C.
D.
12.(2014新课标1)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为
A.
B.3
C.
D.
13.(2014广东)若实数k满足,则曲线与曲线的A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
14.(2014天津)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
15.(2014重庆)设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.3
16.(2013新课标1)已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为
A.
B.
C.
D.
17.(2013湖北)已知,则双曲线
与的A.实轴长相等
B.虚轴长相等
C.焦距相等
D.
离心率相等
18.(2013重庆)设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
19.(2012福建)已知双曲线的右焦点为,则该双曲线的离心率等于
A.
B.
C.
D.
20.(2012湖南)已知双曲线C
:=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
21.(2011安徽)双曲线的实轴长是
A.
B.
C.
D.
22.(2011山东)已知双曲线的两条渐近线均和圆:
相切,且双曲线的右焦点为圆的圆心,则该双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
23.(2011湖南)设双曲线的渐近线方程为,则的值为
A.4
B.3
C.2
D.1
24.(2011天津)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的焦距为
A.
B.
C.
D.
25.(2010新课标)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过F的直线与相交于A,B两点,且AB的中点为,则的方程式为
A.
B.
C.
D.
26.(2010新课标)中心在原点,焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点,则它的离心率为
A.
B.
C.
D.
27.(2010福建)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为
A.2
B.3
C.6
D.8
二、填空题
28.(2018北京)若双曲线的离心率为,则=_________.
29.(2018江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是
.
30.(2017新课标Ⅲ)双曲线的一条渐近线方程为,则=
.
31.(2017山东)在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于,两点,若,则该双曲线的渐近线方程为
.
32.(2017江苏)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,其焦点是,则四边形的面积是
.
33.(2016年北京)已知双曲线的一条渐近线为,一个焦点为,则=_______;=_____________.
34.(2016年山东)已知双曲线E:–=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是_______.
35.(2015新课标1)已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为
.
36.(2015山东)过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交于点,若点的横坐标为,则的离心率为
.
37.(2015新课标1)已知是双曲线:的右焦点,是左支上一点,当
周长最小时,该三角形的面积为
.
38.(2014山东)已知双曲线的焦距为,右顶点为A,抛物线的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为,且,则双曲线的渐近线方程为
.
39.(2014浙江)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,若点满足,则该双曲线的离心率是____.
40.(2014北京)设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方程为________;渐近线方程为________.
41.(2014湖南)设F1,F2是双曲线C:的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为_________.
42.(2013辽宁)已知为双曲线的左焦点,为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点在线段,则的周长为
.
43.(2012辽宁)已知双曲线,点为其两个焦点,点为双曲线上一点,若,则的值为
.
44.(2012天津)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则
.
45.(2012江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为
.
46.(2011山东)已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为
.
47.(2011北京)已知双曲线的一条渐近线的方程为,则=
.
三、解答题
48.(2014江西)如图,已知双曲线:()的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,∥(为坐标原点).
(1)求双曲线的方程;
(2)过上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明:当点在上移动时,恒为定值,并求此定值.
49.(2011广东)设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M,且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.
专题九
解析几何
第二十六讲
双曲线
答案部分
2019年
1.解析
如图所示,不妨设为双曲线的右焦点,为第一象限点.
由双曲线方程可得,,则,则以为圆心,以3为半径的圆的方程为.
联立,解得.
则.故选B.
2.解析
因为双曲线经过点,所以,解得,即.
又,所以该双曲线的渐近线方程是.
3.解析:根据渐进线方程为的双曲线,可得,所以,则该双曲线的离心率为,故选C.
4.由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为,所以,.故选D.
5.解析:解析:解法一:由题意,把代入,得,再由,得,即,所以,解得.故选A.
解法二:如图所示,由可知为以为直径圆的另一条直径,所以,代入得,所以,解得.故选A.
解法三:由可知为以为直径圆的另一条直径,则,.故选A.
6.解析
由题意知,,解得.故选D.7.解析
因为抛物线的焦点为,准线为,所以,准线的方程为.因为与双曲线的两条渐近线分别交于点和点,且(为原点),所以,所以,即,所以,所以双曲线的离心率为.
故选D.
2010-2018年
1.B【解析】由题可知双曲线的焦点在轴上,因为,所以,故焦点坐标为,.故选B.
2.A【解析】解法一
由题意知,所以,所以,所以,所以该双曲线的渐近线方程为,故选A
.
解法二
由,得,所以该双曲线的渐近线方程为.故选A.
3.D【解析】解法一
由离心率,得,又,得,所以双曲线的渐近线方程为,由点到直线的距离公式,得点到的渐近线的距离为.故选D.
解法二
离心率的双曲线是等轴双曲线,其渐近线的方程是,由点到直线的距离公式,得点到的渐近线的距离为.故选D.
4.A【解析】通解
因为直线经过双曲线的右焦点,所以不妨取,取双曲线的一条渐近线为直线,由点到直线的距离公式可得,因为,所以,所以,得.
因为双曲线的离心率为2,所以,所以,所以,解得,所以双曲线的方程为,故选A.
优解
由,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以.
因为双曲线的离心率为2,所以,所以,所以,解得,所以双曲线的方程为,故选A.
5.D【解析】由得,所以,将代入,得,所以,又的坐标是,所以点到的距离为1,故的面积为,选D.
6.C【解析】由题意,∵,∴,选C.
7.D【解析】由题意,解得,选D.
8.A【解析】由题意得,由,解得,所以双曲线的方程为,选A.
9.D【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为,点在渐近线上,∴,又,∴,∴.
10.D【解析】双曲线的右焦点为,渐近线方程为,将代入得,所以.
11.C【解析】由题意,得,将代入双曲线方程,解得
.不妨设,则,根据题意,有,整理得,所以双曲线的渐近线的斜率为.
12.A【解析】双曲线方程为,焦点到一条渐近线的距离为,选A.
13.A【解析】∵,∴,本题两条曲线都是双曲线,又,∴两双曲线的焦距相等,选A.
14.A【解析】
依题意得,所以,双曲线的方程为.
15.B【解析】由双曲线的定义得,又,所以,即,因此,即,则()()=0,解得
舍去),则双曲线的离心率.
16.C【解析】由题知,即==,∴=,∴=,∴的渐近线方程为,故选C.
17.D【解析】双曲线的离心率是,双曲线的离心率是,故选D.
18.A【解析】设双曲线的焦点在轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的离心率必须满足,所以,既有,又双曲线的离心率为,所以.
19.C【解析】∵双曲线的右焦点为(3,0),∴+5=9,∴=4,∴=2
∵=3,∴,故选C.
20.A【解析】设双曲线C
:-=1的半焦距为,则.
又C的渐近线为,点P(2,1)在C的渐近线上,即.
又,C的方程为-=1.
21.C【解析】可变形为,则,.故选C.
22.A【解析】圆,而,则,应选A.
23.C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为,故可知.
24.B【解析】双曲线的渐近线为,由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1)得,即,又∵,∴,将(-2,-1)代入得,∴,即.
25.B【解析】由双曲线的中心为原点,是的焦点可设双曲线的方程为,设,即
则,则,故的方程式为.应选B.
26.D【解析】设双曲线的方程为,其渐近线为,∵点在渐近线上,所以,由.
27.C【解析】由题意,F(-1,0),设点P,则有,解得,因为,所以==,此二次函数对应的抛物线的对称轴为,因为,所以当时,取得最大值,选C.
28.4【解析】由题意得,得,又,所以,故答案为4.
29.2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为,所以,所以,得,所以双曲线的离心率.
30.5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为:,结合题意可得:.
31.【解析】设,由抛物线的定义有,而,所以,即,由得,所以,所以,即,所以渐近性方程为.
32.【解析】由题意,右准线的方程为,渐近线的方程为,设,则,,所以四边形的面积为.
33.【解析】依题意有,因为,解得.
34.【解析】依题意,不妨设作出图像如下图所示
则故离心率
35.【解析】因为双曲线的渐近线方程为,故可设双曲线的方程为,又双曲线过点,所以,所以,故双曲线的方程为.
36.【解析】设直线方程为,由,得,由,解得(舍去).
37.【解析】由题意,双曲线:的右焦点为,实半轴长,左焦点为,因为在的左支上,所以的周长
=,当且仅当三点共线且在中间时取等号,此时直线的方程为,与双曲线的方程联立得的坐标为,此时,的面积为.
38.【解析】抛物线的准线,与双曲线的方程联立得,根据已知得
①,由得
②,由①②得,即,所以所求双曲线的渐近线方程为.
39.【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程可解得交点为,而,由,可得的中点与点连线的斜率为3,可得,所以.
40.【解析】设与具有相同渐近线的双曲线C的方程为,将点代入C的方程中,得.∴双曲线的方程为,渐近线方程为.
41.【解析】由已知可得,,由双曲线的定义,可得,则.
42.44【解析】由题意得,,两式相加,利用双曲线的定义得,所以的周长为.
43.【解析】由双曲线的方程可知
44.1,2【解析】双曲线的渐近线为,而的渐近线为,所以有,又双曲线的右焦点为,所以,又,即,所以.
45.2【解析】由题意得>0,∴=,=
由=得,解得=2.
46.【解析】由题意可知双曲线的焦点,即,又因双曲线的离心率为,所以,故,所以双曲线的方程为.
47.2【解析】由得渐近线的方程为,即,由一条渐近线的方程为得.
48.【解析】(1)设,因为,所以
直线OB方程为,直线BF的方程为,解得
又直线OA的方程为,则
又因为ABOB,所以,解得,故双曲线C的方程为
(2)由(1)知,则直线的方程为,即
因为直线AF的方程为,所以直线与AF的交点
直线与直线的交点为
则
因为是C上一点,则,代入上式得,所求定值为
49.【解析】(1)设C的圆心的坐标为,由题设条件知
化简得L的方程为
(2)过M,F的直线方程为,将其代入L的方程得
解得
因T1在线段MF外,T2在线段MF内,故,若P不在直线MF上,在中有
故只在T1点取得最大值2.