专题六数列
第十七讲
递推数列与数列求和
2019年
1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足：，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
2.（2019浙江10）设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b，,则
A．当b=时，a10＞10
B．当b=时，a10＞10
C．当b=-2时，a10＞10
D．当b=-4时，a10＞10
3.（2019浙江20）设等差数列的前n项和为，，数列满
足：对每个成等比数列.（1）求数列的通项公式；
（2）记
证明：
2010-2018年
一、选择题
1．（2013大纲）已知数列满足，则的前10项和等于
A．
B．
C．
D．
2．（2012新课标）数列满足，则的前60项和为
A．3690
B．3660
C．1845
D．1830
3．（2011安徽）若数列的通项公式是,则=
A．15
B．12
C．－12
D．－15
二、填空题
4．（2015新课标1）数列中为的前n项和，若，则
．
5．（2015安徽）已知数列中，()，则数列的前9项和等于______．
6．（2015江苏）数列满足，且（），则数列前10项的和为
．
7．（2014新课标2）数列满足，=2，则=_________．
8．（2013新课标1）若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______．
9．（2013湖南）设为数列的前n项和，则
（1）_____；
（2）___________．
10．（2012新课标）数列满足，则的前60项和为
．
11．（2012福建）数列的通项公式，前项和为，则=___．
12．（2011浙江）若数列中的最大项是第项，则=____________．
三、解答题
13．（2018天津）设是等差数列，其前项和为()；是等比数列，公比大于0，其前项和为()．已知，，．
(1)求和；
(2)若，求正整数的值．
14．设（2017新课标Ⅲ）数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
15．（2016全国I卷）已知是公差为3的等差数列，数列满足，．
（I）求的通项公式；
（II）求的前n项和．
16．（2016年全国II卷）等差数列{}中，．
(Ⅰ)求{}的通项公式；
(Ⅱ)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
17．（2015浙江）已知数列和满足，，．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）记数列的前项和为，求．
18．（2015湖南）设数列的前项和为，已知，且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求．
19．（2014广东）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有
20．（2013湖南）设为数列{}的前项和，已知，2，N
(Ⅰ)求，并求数列的通项公式；
(Ⅱ)求数列｛｝的前项和．
21．（2011广东）设，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数，专题六数列
第十七讲
递推数列与数列求和
答案部分
2019年
1.解析（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.（2）①因为，所以．
由，得，则.由，得，当时，由，得，整理得．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.②由①知，bk=k，.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有．
设f（x）=，则．
令，得x=e.列表如下：
x
e
(e，+∞)
+
0
–
f（x）
极大值
因为，所以．
取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．
2.解析：对于B，令，得，取，所以，所以当时，故B错误；
对于C，令，得或，取，所以，所以当时，故C错误；
对于D，令，得，取，所以，…，所以当时，故D错误；
对于A，，，递增，当时，所以，所以，所以故A正确．故选A．
3.解析（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得，解得．
从而．
由成等比数列得
．
解得．
所以．
（Ⅱ）．
我们用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
（2）假设时不等式成立，即．
那么，当时，．
即当时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式对任意成立．
2010-2018年
1．C【解析】∵，∴是等比数列
又，∴，∴，故选C．
2．D【解析】【法1】有题设知
=1，①
=3
②
=5
③
=7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，……
∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，∴，，…，是各项均为2的常数列，，…是首项为8，公差为16的等差数列，∴{}的前60项和为=1830.【法2】可证明：
【法3】不妨设，得，所以当n为奇数时，当n为偶数时，构成以为首项，以4为公差的等差数列，所以得
3．A【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：，故=．故选A.4．6【解析】∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，∴．
5．27【解析】∵，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和．
6．【解析】由题意得：
所以．
7．【解析】将代入，可求得；再将代入，可求得；再将代入得；由此可知数列是一个周期数列，且周期为3，所以．
8．【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.9．（1），（2）
【解析】(1)∵．
时，a1＋a2＋a3＝－a3－
①
时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－.②
由①②知a3＝－．
(2)时，∴
当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
故，∴
．
10．【名师解析】可证明：，．
11．3018【解析】因为的周期为4；由
∴，…
∴
12．4【解析】由题意得，得，13．【解析】(1)设等比数列的公比为，由，可得．
因为，可得，故．所以．
设等差数列的公差为．由，可得．
由，可得
从而，故，所以．
(2)由(1)，知
由可得，整理得，解得（舍），或．所以的值为4．
14．【解析】（1）因为，故当时，．
两式相减得．
所以．
又由题设可得．
从而的通项公式为
=.（2）记的前项和为，由（1）知．
则．
15．【解析】（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）和，得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则
16．【解析】
(Ⅰ)设数列的公差为，由题意有，解得，所以的通项公式为.（Ⅱ）由(Ⅰ)知，当=1,2,3时，；
当=4,5时，；
当=6,7,8时，；
当=9,10时，所以数列的前10项和为.17．【解析】（Ⅰ）由，得．
当时，故．
当时，整理得所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，所以．
18．【解析】（Ⅰ）由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，又，所以，故对一切，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，于是
．
从而，综上所述，．
19．【解析】（Ⅰ），所以
（Ⅱ）
（Ⅲ）当时，20．【解析】(Ⅰ)
（Ⅱ）
上式左右错位相减：。
21．【解析】（1）由
令，当
①当时，②当
（2）当时，（欲证），当
综上所述
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