专题六
数列
第十八讲
数列的综合应用
一、选择题
1．(2018浙江)已知，，成等比数列，且．若，则
A．，B．，C．，D．，2．(2015湖北)设，．若p：成等比数列；q：，则
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
3．（2014新课标2）等差数列的公差为2，若，成等比数列，则的前项和=
A．
B．
C．
D．
4．（2014浙江）设函数，，记，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为
．
6．（2015浙江）已知是等差数列，公差不为零．若，成等比数列，且，则，．
7．（2013重庆）已知是等差数列，公差，为其前项和，若成等比数列，则．
8．（2011江苏）设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________．
三、解答题
9．（2018江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．
(1)设，若对均成立，求的取值范围；
(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
10*．（2017浙江）已知数列满足：，．
证明：当时
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
*根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考．
11．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足
对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
12．（2016年四川）已知数列的首项为1，为数列的前项和，其中，(Ⅰ)若成等差数列，求数列的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线的离心率为，且，求．
13．（2016年浙江）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.（I）求通项公式；
（II）求数列{}的前项和.14．(2015重庆)已知等差数列满足，前3项和．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，求前项和．
15．（2015天津）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
16．(2015四川)设数列（=1,2,3…）的前项和满足，且，+1，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求．
17．（2015湖北）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记=，求数列的前项和．
18．(2014山东）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令=求数列的前项和．
19．（2014浙江）已知数列和满足．若为等比数列，且
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）设．记数列的前项和为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求正整数，使得对任意，均有．
20．（2014湖南）已知数列{}满足
（Ⅰ）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；
（Ⅱ）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．
21．（2014四川）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）．
（Ⅰ）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；
（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和．
22．(2014江苏)设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”．
（Ⅰ）若数列的前n项和(N)，证明:
是“H数列”；
（Ⅱ）设
是等差数列，其首项，公差．若
是“H数列”，求的值；
（Ⅲ）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立．
23．（2013安徽）设数列满足，且对任意，函数，满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
24．（2013广东）设各项均为正数的数列的前项和为，满足
且构成等比数列．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．
25．（2013湖北）已知是等比数列的前项和，，成等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；
若不存在，说明理由．
26．（2013江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，其中为实数.（Ⅰ）
若，且，成等比数列，证明：；
（Ⅱ）
若是等差数列，证明：．
27．(2012山东)已知等差数列的前5项和为105，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和．
28．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．
（Ⅰ）用表示，并写出与的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过（≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）．
29．（2012浙江）已知数列的前项和为，且=，数列满足，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
30．（2012山东）在等差数列中，（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数为，求数列的前项和．
31．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足：．
（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，且是等比数列，求和的值．
32．（2011天津）已知数列满足，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明是等比数列；
（Ⅲ）设为的前项和，证明
33．（2011天津）已知数列与满足：，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（Ⅲ）设证明：．
34．（2010新课标）设数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
35．（2010湖南）给出下面的数表序列：
其中表（=1,2,3）有行，第1行的个数是1，3，5，21，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表（≥3）（不要求证明）；
（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，记此数列为，求和：
．
专题六
数列
第十八讲
数列的综合应用
答案部分
1．B【解析】解法一
因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比．
若，则，而，所以，与矛盾，所以，所以，所以，故选B．
解法二
因为，所以，则，又，所以等比数列的公比．
若，则，而，所以
与矛盾，所以，所以，所以，故选B．
2．A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；
对命题，①当时，成立；
②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件．
3．A【解析】，成等比数列，∴，即，解得，所以．
4．B【解析】∵在上单调递增，可得，…，∴
=
∵在上单调递增，在单调递减
∴，…，，…，∴
==
=
∵在，上单调递增，在，上单调递减，可得
因此．
5．27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列
中，前面有16个正奇数，即，．当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；……；当时，=
441
+62=
503<，不符合题意；当时，=484
+62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．
6．【解析】由题可得，故有，又因为，即，所以．
7．64【解析】由且成等比数列，得，解得，故．
8．【解析】设，则，由于，所以，故的最小值是．
因此，所以．
9．【解析】(1)由条件知：,．
因为对=1，2，3，4均成立，即对=1，2，3，4均成立，即11，13，35，79，得．
因此，的取值范围为．
(2)由条件知：,．
若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，即(=2，3，···，+1)，即当时，满足．
因为，则，从而，对均成立．
因此，取=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为．
②设，当时，所以单调递减，从而．
当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．
因此，的取值范围为．
10．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得
记函数
函数在上单调递增，所以=0，因此
故
（Ⅲ）因为
所以得
由得
所以
故
综上，．
11．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，①
当时，.②
由①知，③，④
将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以，在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列.12．【解析】（Ⅰ）由已知，两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等差数列，可得，所以，故.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率.由解得.所以，13．【解析】（1）由题意得：，则，又当时，由，得，所以，数列的通项公式为.（2）设，.当时，由于，故.设数列的前项和为，则.当时，所以，.14．【解析】（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得
化简得
解得，．
故通项公式，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
设的公比为，则，从而．
故的前项和
．
15．【解析】（Ⅰ）设数列的公比为q，数列的公差为d，由题意，由已知，有
消去d，整数得，又因为＞0，解得，所以的通项公式为，数列的通项公式为.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有,设的前n项和为，则，两式相减得，所以．
16．【解析】(Ⅰ)
由已知，有
=(n≥2)，即(n≥2)，从而，．
又因为，+1，成等差数列，即＋＝2(＋1)，所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，所以＝．
17．【解析】（Ⅰ）由题意有，即，解得
或
故或
（Ⅱ）由，知，故，于是，①
．
②
①－②可得，故．
18．【解析】（Ⅰ）
解得
（Ⅱ），当为偶数时
．
19．【解析】（Ⅰ）由题意，，知，又由，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，所以；
（ii）因为；
当时，而，得，所以当时，综上对任意恒有，故．
20．【解析】（I）因为是递增数列，所以。而，因此又成等差数列，所以，因而，解得
当时，这与是递增数列矛盾。故.（Ⅱ）由于是递增数列，因而，于是
①
但，所以
.②
又①，②知，因此
③
因为是递减数列，同理可得，故
④
由③，④即知。
于是
.故数列的通项公式为．
21．【解析】（Ⅰ）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以
因为点在函数的图象上，所以，所以
又，所以
（Ⅱ）由，函数的图象在点处的切线方程为
所以切线在轴上的截距为，从而，故
从而，所以
故．
22．【解析】（Ⅰ）当时，当时，∴时，当时，∴是“H数列”．
（Ⅱ）
对，使，即
取得，∵，∴，又，∴，∴．
（Ⅲ）设的公差为d
令，对，对，则，且为等差数列的前n项和，令，则
当时；
当时；
当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．的前ｎ项和，令，则
∵对，是非负偶数，∴
即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”
因此命题得证．
23．【解析】（Ⅰ）由，所以，是等差数列.而，，（Ⅱ）
24．【解析】（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，,当时，是公差的等差数列.构成等比数列，，解得．
由（Ⅰ）可知，是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.（Ⅲ）
25．【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，则，.由题意得
即
解得
故数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
.若存在，使得，则，即
当为偶数时，上式不成立；
当为奇数时，即，则.综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为．
26．【证明】（Ⅰ）若，则，又由题，，是等差数列，首项为，公差为，又成等比数列，，，，（）．
（Ⅱ）由题，，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立．整理得：
关于恒成立．，．
27．【解析】（Ⅰ）由已知得：
解得,所以通项公式为.（Ⅱ）由，得，即.∵，∴是公比为49的等比数列，∴．
28．【解析】（Ⅰ）由题意得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
整理得
．
由题意，解得．
故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元．
29．【解析】（Ⅰ）由=，得
当=1时，；
当2时，.由，得，.（Ⅱ）由（1）知，所以，，．
30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，于是，即.（Ⅱ）对任意m∈，则，即，而，由题意可知，于是，即.31．【解析】（Ⅰ）由题意知，所以，从而
所以数列是以1为公差的等差数列．
（Ⅱ）．所以，从而
(*)
设等比数列的公比为，由知下证．
若，则．故当，与（*）矛盾；
若，则．故当，与（*）矛盾；
综上：故，所以．
又，所以是以公比为的等比数列，若，则，于是，又由，得，所以中至少有两项相同，矛盾．所以，从而，所以．
32．【解析】（Ⅰ）由，可得
又，当
当
（Ⅱ）证明：对任意
①
②
②-①，得
所以是等比数列。
（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，故对任意
由①得
因此，于是，故
33．【解析】（Ⅰ）由可得
又
当时，由，可得；
当时，可得；
当时，可得；
（Ⅱ）证明：对任意
①
②
③
②—③，得
④
将④代入①，可得
即
又
因此是等比数列.（Ⅲ）证明：由（II）可得，于是，对任意，有
将以上各式相加，得
即，此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以，对任意，对于=1，不等式显然成立.所以，对任意
34．【解析】（Ⅰ）由已知，当n≥1时，．而
所以数列{}的通项公式为．
（Ⅱ）由知
①
从而
②
①-②得
．
即
．
35．【解析】（Ⅰ）表4为
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32.它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将结这一论推广到表（≥3），即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列.将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列．
简证如下（对考生不作要求）
首先，表的第1行1，3，5，…，是等差数列，其平均数为；其次，若表的第行，…，是等差数列，则它的第行，…，也是等差数列．由等差数列的性质知，表的第行中的数的平均数与行中的数的平均数分别是，．
由此可知，表各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均数是
由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列（从而它的第行中的数的平均数是），于是表中最后一行的唯一一个数为.因此
．(=1,2,3,…,)，故
．
点击咨询