专题二
函数概念与基本初等函数Ⅰ
第六讲
函数综合及其应用
一、选择题
1．（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．（2016全国II卷）已知函数（x∈R）满足，若函数与y=f(x)图像的交点为，…，则
A．0
B．m
C．2m
D．4m
3．（2016浙江）已知函数满足：且.A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．（2015北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
A．6升
B．8升
C．10升
D．12升
5．(2015浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是
A．
B．
C．
D．
6．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）
A．分钟
B．分钟
C．分钟
D．分钟
7．（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A．
B．
C．
D．
8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为
A．
B．
C．
D．
9．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
10．(2018天津)已知，函数若对任意，恒成立，则的取值范围是____．
11．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面⊥平面，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________．
12．（2017北京）已知，且，则的取值范围是______．
13．（2015江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为
．
14．（2014山东）已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是___．
15．（2014福建）要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
16．（2014四川）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，．现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，则；
④若函数（，）有最大值，则．
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
18．（2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中为常数）模型．
（I）求的值；
（II）设公路与曲线相切于点，的横坐标为.①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．
19．（2013重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）．
（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．
20．（2012陕西）设函数
（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，，求的最小值和最大值；
（3）设，若对任意，有，求的取值范围．
21．（2011江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
专题二
函数概念与基本初等函数Ⅰ
第六讲
函数综合及其应用
答案部分
1．A【解析】解法一
函数的图象如图所示，当的图象经过点时，可知．当的图象与的图象相切时，由，得，由，并结合图象可得，要使恒成立，当时，需满足，即，当时，需满足，所以．
解法二
由题意时，的最小值2，所以不等式等价于
在上恒成立．
当时，令，得，不符合题意，排除C、D；
当时，令，得，不符合题意，排除B；
选A．
2．B【解析】由知的图像关于直线对称，又函数的图像也关于直线对称，所以这两个函数图像的交点也关于直线对称，不妨设，则，即，同理，……，由，所以，所以，故选B．
3．B【解析】由已知可设，则，因为为偶函数，所以只考虑的情况即可．若，则，所以．故选B．
4．B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升．而这段时间内行驶的里程数千米．所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B．
5．B
【解析】采用特殊值法，若，则，，由此可知最低的总费用是．
6．B【解析】由题意可知过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入中可解得，∴
∴当分钟时，可食用率最大．
7．D【解析】设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．
8．A【解析】解法一
由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y=
-x，在(2，0)处的切线方程为y=
3x-6，以此对选项进行检验．A选项，显然过两个定点，又，则，故条件都满足，由选择题的特点知应选A．
解法二
设该三次函数为，则
由题设有，解得．
故该函数的解析式为，选A．
9．A【解析】设所求函数解析式为，由题意知，且，代入验证易得符合题意，故选A．
10．【解析】当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，所以；
当时恒成立等价于恒成立，即恒成立，所以．
综上，的取值范围是．
11．【解析】取的中点，连接，因为，所以．
因为平面平面，所以平面．
设，所以，所以球的表面积为．
12．【解析】由题意，且，又时，时，当时，所以取值范围为．
13．【解析】由体积相等得：．
14．【解析】函数的定义域为，根据已知得，所以，恒成立，即，令，则只要直线在半圆上方即可，由，解得（舍去负值），故实数的取值范围是．
15．160【解析】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得．
16．①③④【解析】对于①，根据题中定义，函数，的值域为，由函数值域的概念知，函数，的值域为，所以①正确；对于②，例如函数的值域包含于区间，所以，但有最大值l，没有最小值，所以②错误；对于③，若，则存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，由知，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，亦有，两式相加得≤≤，于是，与已知“.”矛盾，故，即③正确；对于④，如果，那么，如果，那么，所以有最大值，必须，此时在区间上，有，所以，即④正确，故填①③④．
17．【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，若，即，解得（舍）或；
∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间，整理得：，则当，即时，单调递减；
当时，单调递增．
实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
18．【解析】（1）由题意知，点，的坐标分别为，．
将其分别代入，得，解得．
（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，设在点处的切线交，轴分别于，点，则的方程为，由此得，．
故，．
②设，则．令，解得．
当时，是减函数；
当时，是增函数．
从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时．
答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．
19．【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元.又题意据，所以，从而．因，又由可得，故函数的定义域为.（Ⅱ）因，故．令，解得（因不在定义域内，舍去）.当时，故在上为增函数；
当时，故在上为减函数.由此可知，在处取得最大值，此时．
即当，时，该蓄水池的体积最大.20．【解析】（1）当时，．
∵，∴在内存在零点．
又当时，∴在上是单调递增的，∴在区间内存在唯一的零点；
（2）解法一
由题意知即由图像知，在点取得最小值，在点取得最大值．
解法二
由题意知，即．…①，即．…②
①+②得，当时，；当时，．
所以的最小值，最大值．
解法三
由题意知，解得，．
又∵，∴．
当时，；当时，．
所以的最小值，最大值．
(3)当时,．
对任意都有有等价于在[-1,1]上的最大值与最小值之差．据此分类讨论如下:
(ⅰ)当,即时，与题设矛盾．
(ⅱ)当,即时,恒成立．
(ⅲ)
当,即时,恒成立．
综上可知,．
21．【解析】设包装盒的高为（cm），底面边长为（cm），由已知得
（1）
所以当时，取得最大值．
（2）
由（舍）或=20．
当时，；．
所以当=20时，V取得极大值，也是最小值．
此时，即装盒的高与底面边长的比值为．
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