专题四
三角函数与解三角形
第十一讲
三角函数的综合应用
一、选择题
1．（2016年天津）已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．（2016全国II卷）函数的最大值为
A．4
B．5
C．6
D．7
3．（2015年陕西高考）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为
A．5
B．6
C．8
D．10
4．（2015浙江）存在函数满足，对任意都有
A．
B．
C．
D．
5．（2015新课标2）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=．将动点P到A，B两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为
A
B
C
D
6．（2014新课标1）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，=
．
8．（2017浙江）已知向量，满足，则的最小值
是，最大值是
．
9．（2016年浙江）已知，则______．
10．（2014陕西）设，向量，若，则____．
三、解答题
11．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
12．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．
分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．
现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．
13．（2015山东）设．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△中，角，的对边分别为，若，求△面积的最大值．
14．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
15．（2014陕西）的内角所对的边分别为．
（I）若成等差数列，证明：；
（II）若成等比数列，求的最小值．
16．（2013福建）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．
（1）求函数与的解析式；
（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由；
（3）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．
专题四
三角函数与解三角形
第十一讲
三角函数的综合应用
答案部分
1．D【解析】，当
时，时，无零点，排除A,B；当时，时，有零点，排除C．故选D．
2．B【解析】，因为，所以当
时，取得最大值为，故选B．
3．C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．
4．D【解析】对于A，当或时，均为1，而与此时均有两个值，故A、B错误；对于C，当或时，而由两个值，故C错误，选D．
5．B【解析】由于，故排除选项C、D；当点在上时，．不难发现的图象是非线性，排除A．
6．C【解析】由题意知，当时，；当时，故选C．
7．【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以
．
8．4,【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是.9．；1【解析】，所以
10．【解析】∵，∴，∴，∵，∴．
11．【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．
过作⊥于，则∥，所以，故，则矩形的面积为，的面积为．
过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．
令，则，．
当时，才能作出满足条件的矩形，所以的取值范围是．
答：矩形的面积为平方米，的面积为，的取值范围是．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，则年总产值为，．
设，则．
令，得，当时，所以为增函数；
当时，所以为减函数，因此，当时，取到最大值．
答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
12．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．
记玻璃棒的另一端落在上点处．
因为，．
所以，从而．
记与水平的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而．
答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
（2）如图，是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，⊥平面，所以平面⊥平面，⊥.同理，平面⊥平面，⊥.记玻璃棒的另一端落在上点处.过作⊥，为垂足，则==32.因为=
14，=
62，所以=，从而.设则.因为，所以.在中，由正弦定理可得，解得.因为，所以.于是
.记与水面的交点为，过作，为垂足，则
⊥平面，故=12，从而
=.答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
13．【解析】（Ⅰ）由题意
．
由，可得；
由，得；
所以的单调递增区间是；
单调递减区间是．
（Ⅱ），由题意是锐角，所以．
由余弦定理：，且当时成立．
．面积最大值为．
14．【解析】（Ⅰ）因为，又，所以，当时，；当时，；
于是在上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为
（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温.由（1）得，所以，即，又，因此，即，故在10时至18时实验室需要降温.15．【解析】：（1）成等差数列，由正弦定理得
（2）成等比数列，由余弦定理得
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
即，所以的最小值为
16．【解析】（Ⅰ）由函数的周期为，得
又曲线的一个对称中心为，故，得，所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
（Ⅱ）当时，所以
问题转化为方程在内是否有解
设，则
因为，所以，在内单调递增
又，且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，即存在唯一的满足题意
（Ⅲ）依题意，令
当，即时，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，现研究时方程解的情况
令，则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况，令，得或
当变化时，和变化情况如下表
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，所以
综上，当，时，函数在内恰有个零点．
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