专题四
三角函数与解三角形
第十一讲
三角函数的综合应用
2019年
1.(2019江苏18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P､Q,并修建两段直线型道路PB､QA.规划要求:线段PB､QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A､B到直线l的距离分别为AC和BD(C､D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P､Q两点间的距离.2010-2018年
一､选择题
1.(2018北京)在平面直角坐标系中,记为点到直线的距离,当,变化时,的最大值为
A.1
B.2
C.3
D.4
2.(2016年浙江)设函数,则的最小正周期
A.与b有关,且与c有关
B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关
D.与b无关,但与c有关
3.(2015陕西)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为
A.5
B.6
C.8
D.10
4(2015浙江)存在函数满足,对任意都有
A.B.C.D.5.(2015新课标Ⅱ)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数,则的图像大致为
A
B
C
D
6.(2014新课标Ⅰ)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为
A.B.C.D.7.(2015湖南)已知函数则函数的图象的一条对称轴是
A.B.C.D.二､填空题
8.(2016年浙江)已知,则=__,=__.9.(2016江苏省)
定义在区间上的函数的图象与的图象的交点
个数是
.10.(2014陕西)设,向量,若,则_______.11.(2012湖南)函数的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.(1)若,点P的坐标为(0,),则
;
(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为
.三､解答题
12.(2018江苏)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为.(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大.13.(2017江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒,其长度为40cm.(容器厚度､玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;
(2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.14.(2015山东)设.(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)在锐角△中,角,的对边分别为,若，求△面积的最大值.15.(2014湖北)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间(单位:)的变化近似满足函数关系:,.(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温?
16.(2014陕西)的内角所对的边分别为.(I)若成等差数列,证明:;
(II)若成等比数列,求的最小值.17.(2013福建)已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.(1)求函数与的解析式;
(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.专题四
三角函数与解三角形
第十一讲
三角函数的综合应用
答案部分
2019年
1.解析
解法一:
(1)过A作,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,.＇
因为PB⊥AB,所以.所以.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,联结AD,由(1)知,从而,所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此,Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设为l上一点,且,由(1)知,B=15,此时;
当∠OBP>90°时,在中,.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+(百米).解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,−3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(−4,−3),直线AB的斜率为.因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为,直线PB的方程为.所以P(−13,9),.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(−4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,联结AD,由(1)知D(−4,9),又A(4,3),所以线段AD:.在线段AD上取点M(3,),因为,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设为l上一点,且,由(1)知,B=15,此时(−13,9);
当∠OBP>90°时,在中,.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(−13,9),Q(,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离
.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(百米)
2010-2018年
1.C【解析】由题意可得
(其中,),∵,∴，∴当时,取得最大值3,故选C.2.B【解析】由于.当时,的最小正周期为;
当时,的最小正周期;的变化会引起的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选B.注:在函数中,的最小正周期是和的最小正周期的公倍数.3.C【解析】由图象知:,因为,所以,解得:,所以这段时间水深的最大值是,故选C.4.D【解析】对于A,当或时,均为1,而与此时均有两个值,故A､B错误;对于C,当或时，而由两个值,故C错误,选D.5.B【解析】由于,故排除选项C､D;当点在上时,.不难发现的图象是非线性,排除A.6.C【解析】由题意知，当时,;当时，故选C.7.A【解析】由,得,所以,所以,由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同,令,则,所以函数的图象的对称轴为,当,得,选A.8.【解析】,所以
9.7【解析】画出函数图象草图,共7个交点.10.【解析】∵,∴,∴,∵,∴.11.(1)3;(2)【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时;
(2)曲线的半周期为,由图知，设的横坐标分别为.设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则,由几何概型知该点在△ABC内的概率为.12.【解析】(1)连结并延长交于,则⊥,所以=10.过作⊥于,则∥,所以,故，则矩形的面积为,的面积为.过作⊥,分别交圆弧和的延长线于和,则.令,则,.当时,才能作出满足条件的矩形,所以的取值范围是.答:矩形的面积为平方米,的面积为,的取值范围是.(2)因为甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为,乙的单位面积的年产值为,则年总产值为,.设，则.令,得,当时，所以为增函数;
当时，所以为减函数,因此,当时,取到最大值.答:当时,能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大.13.【解析】(1)由正棱柱的定义,平面,所以平面平面,.记玻璃棒的另一端落在上点处.因为,.所以,从而.记与水平的交点为,过作,为垂足,则平面,故,从而.答:玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)
(2)如图，是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,⊥平面,所以平面⊥平面,⊥.同理,平面⊥平面,⊥.记玻璃棒的另一端落在上点处.过作⊥,为垂足,则==32.因为=
14,=
62,所以=,从而.设则.因为,所以.在中,由正弦定理可得,解得.因为,所以.于是
.记与水面的交点为,过作,为垂足,则
⊥平面,故=12,从而
=.答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)
14.【解析】(Ⅰ)由题意
.由(),可得();
由(),得();
所以的单调递增区间是();
单调递减区间是().(Ⅱ)，由题意是锐角,所以
.由余弦定理:,可得,且当时成立..面积最大值为.15.【解析】(Ⅰ)因为,又,所以，当时,;当时,;
于是在上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为,最低温度为,最大温差为
(Ⅱ)依题意,当时实验室需要降温.由(Ⅰ)得,所以,即,又,因此,即,故在10时至18时实验室需要降温.16.【解析】(1)成等差数列,由正弦定理得
(2)成等比数列,由余弦定理得
(当且仅当时等号成立)
(当且仅当时等号成立)
(当且仅当时等号成立)
即,所以的最小值为
17.【解析】(Ⅰ)由函数的周期为，得
又曲线的一个对称中心为,故,得,所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
(Ⅱ)当时，,所以.问题转化为方程在内是否有解
设,则
因为,所以,在内单调递增
又,且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,即存在唯一的满足题意.(Ⅲ)依题意，令
当,即时，从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,现研究时方程解的情况
令,则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况,令,得或.当变化时,和变化情况如下表
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性，所以
综上,当,时,函数在内恰有个零点
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