专题七
不等式
第二十一讲
不等式综合应用
2019年
1.（2019天津文13）设，，则的最小值为__________.2010-2018年
一、选择题
1．(2018北京)设集合则
A．对任意实数，B．对任意实数，C．当且仅当时，D．当且仅当时，2．(2018浙江)已知，，成等比数列，且．若，则
A．，B．，C．，D．，3．（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．（2015福建）若直线过点，则的最小值等于
A．2
B．3
C．4
D．5
5．（2015湖南）若实数满足，则的最小值为
A．
B．2
C．2
D．4
6．（2014重庆）若的最小值是
A．
B．
C．
D．
7．（2013福建）若，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8．（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为
A．0
B．1
C．
D．3
9．（2013山东）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为
A．0
B．
C．2
D．
10．（2012浙江）若正数满足，则的最小值是
A．
B．
C．5
D．6
11．（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则
A．
B．=
C．<<
D．=
12．（2012湖南）已知两条直线:
和:()，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于．记线段和在轴上的投影长度分别为，当
变化时，的最小值为
A．
B.C.D.13．（2011陕西）设，则下列不等式中正确的是
A．
B．
C．
D．
14．（2011上海）若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
15．(2018天津)已知，且，则的最小值为
．
16．(2018天津)已知，函数若对任意，恒成立，则的取值范围是____．
17．（2017天津）若a，，则的最小值为
．
18．（2017山东）若直线过点，则的最小值为
．
19．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是
．
20．（2017北京）能够说明“设，是任意实数．若，则”是假命题的一组整数，的值依次为____________________．
21．（2017浙江）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是
．
22．（2017江苏）在平面直角坐标系中，，点在圆：上，若，则点的横坐标的取值范围是
．
23．（2015重庆）设，则的最大值为________．
24．(2015山东)定义运算“”：（，）．当，时，的最小值为
．
25．（2014浙江）已知实数满足，则的最大值是__；
26．（2014辽宁）对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为
．
27．（2014辽宁）对于，当非零实数，满足，且使
最大时，的最小值为
．
28．（2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为．
（Ⅰ）如果不限定车型，则最大车流量为
辆/小时；
（Ⅱ）如果限定车型，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加
辆/小时．
29．（2013天津）设a
+
b
=
2，b>0，则当a
=
时，取得最小值.30．（2013四川）已知函数在时取得最小值，则__．
31．（2011浙江）若实数满足，则的最大值是____．
32．（2011湖南）设，则的最小值为
．
33．（2010安徽）若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是
(写出所有正确命题的编号)．
①；
②；
③；
④；
⑤．
专题七
不等式
第二十一讲
不等式综合应用
答案部分
2019年
1.解析，，而.由基本不等式有，所以（当且仅当时，即，时，等号成立）.所以，所以的最小值为.2010-2018年
1．D【解析】解法一
点在直线上，表示过定点，斜率为的直线，当时，表示过定点，斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点．直线与直线互相垂直，显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点，故排除A；点与点连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点，此时表示的区域也包含点，故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点，故排除C，故选D．
解法二
若，则，解得，所以当且仅当时，．故选D．
2．B【解析】解法一
因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比．
若，则，而，所以，与矛盾，所以，所以，所以，故选B．
解法二
因为，所以，则，又，所以等比数列的公比．
若，则，而，所以
与矛盾，所以，所以，所以，故选B．
3．A【解析】解法一
函数的图象如图所示，当的图象经过点时，可知．当的图象与的图象相切时，由，得，由，并结合图象可得，要使恒成立，当时，需满足，即，当时，需满足，所以．
解法二
由题意时，的最小值2，所以不等式等价于
在上恒成立．
当时，令，得，不符合题意，排除C、D；
当时，令，得，不符合题意，排除B；
选A．
4．C【解析】解法一
∵过点，所以，所以(当且仅当时去等号)，所以．
又(当且仅当时去等号)，所以(当且仅当时去等号)．
解法二∵过点，所以，所以(当且仅当时去等号)．
5．C【解析】解法一
由已知，且，∴，∴．
解法二
由题意知，∴，即．
6．D【解析】由已知得，且，可知，所以
()，．
当且仅当时取等号．
7．D【解析】本题考查的是均值不等式．因为，即，所以，当且仅当，即时取等号．
8．B【解析】由，得．
所以，当且仅当，即时取等号此时，.，故选B.9．C【解析】由x2－3xy＋4y2－z＝0得x2＋4y2－3xy＝z，当且仅当x2＝4y2即x＝2y时，有最小值1，将x＝2y代入原式得z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y，当y＝1时有最大值2.故选C.10．C【解析】，.11．A【解析】设从甲地到乙地所走路程为，则
∵,∴,∴.选A.12．B【解析】在同一坐标系中作出，()，图像如下图，由=
m，得，=，得.依照题意得.，.13．B【解】（方法一）已知和，比较与，因为，所以，同理由
得；作差法：，所以，综上可得；故选B．
（方法二）取，则，所以．
14．D【解析】对于A取，此时，因此A不正确；对于B取，此时，因此B不正确；对于C取，此时，因此C不正确；对于D，∵，∴，∴，D正确．
15．【解析】由，得，所以，当且仅当，即时等号成立．
16．【解析】当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，所以；
当时恒成立等价于恒成立，即恒成立，所以．
综上，的取值范围是．
17．4【解析】，当且仅当，且，即，时取等号.18．8【解析】由题意有，所以．
当且仅当，即，时等号成立．
19．30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
20．1，2，3（答案不唯一）
【解析】因为“设，是任意实数．若，则”是假命题，则它的否定“设，是任意实数．若，则”是真命题，由于，所以，又，所以，因此，依次取整数1，2，3，满足．
相矛盾，所以验证是假命题．
21．【解析】∵，∴
①当时，所以的最大值，即（舍去）
②当时，此时命题成立．
③当时，则
或，解得或，综上可得，实数的取值范围是．
22．【解析】设，由，得，如图由可知，在上，由，解得，所以点横坐标的取值范围为．
23．【解析】
．所以，当且仅当且，即时等号成立．
24．【解析】
由新定义运算知，因为，所以，当且仅当时，的最小值是．
25．【解析】由得，则，又，所以，解得，故的最大值为．
26．－1【解析】设最大，则必须同号，因为，故有，当且仅当时取等号，此时，所以=．
27．－2【解析】设，则，因为，所以将代入整理可得①，由解得，当取得最大值时，代入①式得，再由得，所以．
当且仅当时等号成立．
28．1900
100【解析】（Ⅰ），当且仅当
时等号成立．
（Ⅱ），当且仅当时等号成立．
．
29．－2【解析】∵=
当且仅当，即时取等号
故取得最小值时，．
30．【解析】因为，当且仅当，即，解得．
31．【解析】∵，∴，即，∴，．
32．9【解析】由柯西不等式可知．
33．①③⑤【解析】令，排除②④；由，命题①正确；，命题③正确；，命题⑤正确．
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