近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
四、不等式
一、单选题
1．（2021·全国（文））下列函数中最小值为4的是（）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国（文））若满足约束条件则的最小值为（）
A．18
B．10
C．6
D．4
3．（2021·浙江）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·浙江）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（2020·浙江）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0
均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）
A．a<0
B．a>0
C．b<0
D．b>0
6．（2020·浙江）若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·全国（文））已知集合则（）
A．
B．
C．
D．
8．（2019·全国（文））记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
9．（2019·浙江）设，数列中，,则
A．当
B．当
C．当
D．当
10．（2019·北京（理））若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为
A．−7
B．1
C．5
D．7
11．（2018·北京（理））设集合则
A．对任意实数a，B．对任意实数a，（2,1）
C．当且仅当a<0时,（2,1）
D．当且仅当
时,（2,1）
12．（2018·全国（理））设，则
A．
B．
C．
D．
13．（2017·全国（理））设x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值是（）
A．－15
B．－9
C．1
D．9
14．（2017·天津（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
15．（2017·天津（理））设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为
()
A．
B．1
C．
D．3
16．（2017·山东（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A．
B．
C．
D．
17．（2017·浙江）
若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]
B．[0,4]
C．[6,D．[4,二、多选题
18．（2020·海南）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
19．（2020·天津）已知，且，则的最小值为_________．
20．（2020·江苏）已知，则的最小值是_______．
21．（2020·全国（文））若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为_________．
22．（2020·全国（理））若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.23．（2019·天津（文））
设，，则的最小值为__________.24．（2019·天津（文））
设，使不等式成立的的取值范围为__________.25．（2019·天津（理））设，则的最小值为______.26．（2018·江苏）在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
27．（2018·北京（理））若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________．
28．（2018·天津（理））已知，且，则的最小值为_____________.29．（2018·天津（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
30．（2017·山东（文））若直线过点，则的最小值为________．
31．（2017·天津（文））若，则的最小值为___________.32．（2017·北京（文））能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.33．（2017·江苏）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．
34．（2017·山东（文））若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为______.四、双空题
35．（2019·北京（文））若x，y满足
则的最小值为__________，最大值为__________.36．（2018·浙江）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
四、不等式（答案解析）
1．C
【解析】对于A，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，函数定义域为，而且，如当，D不符合题意．故选：C．
2．C
【解析】
由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.3．B
【解析】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：
目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.4．C
【解析】
法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.5．C
【解析】因为，所以且，设，则的零点为
当时，则，要使，必有，且，即，且，所以；
当时，则，要使，必有.综上一定有.故选：C
6．B
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.故选：B.【小结】
求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.7．D
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【解析】
由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【小结】
本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.8．A
【分析】
根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【解析】
如图，平面区域D为阴影部分，由得
即A（2，4），直线与直线均过区域D，则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．
【小结】
本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．
9．A
【分析】
若数列为常数列，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.【解析】
若数列为常数列，则，由，可设方程
选项A：时，，故此时不为常数列，且，则，故选项A正确；
选项B：时，，则该方程的解为，即当时，数列为常数列，则，故选项B错误；
选项C：时，该方程的解为或，即当或时，数列为常数列，或，同样不满足，则选项C也错误；
选项D：时，该方程的解为，同理可知，此时的常数列也不能使，则选项D错误.故选：A.【小结】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.10．C
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【解析】
由题意作出可行域如图阴影部分所示.设,当直线经过点时,取最大值5.故选C.【小结】
本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.11．D
【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.小结：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.12．B
【解析】.,即
又
即
故选B.13．A
【解析】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数，z表示直线的纵截距，数形结合知函数在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，所以z的最小值为－12－3＝－15.故选：A
14．A
【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．
15．D
【解析】
目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.16．B
【解析】
因为，且，所以，所以选B.17．D
【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4，目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．
18．ABD
【解析】对于A，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，所以，故B正确；
对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
19．4
【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：
20．【解析】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.21．7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，由，得，所以.故答案为：7.22．1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1．
23．.【解析】由，得，得，等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．
24．【解析】，即，即，故的取值范围是．
25．【解析】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．
26．9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.27．3
【解析】作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.解析：作可行域，如图，平移直线，由图可知直线过点A(1,2)时，取最小值3.28．
【解析】由可知，且，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.29．
【解析】①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：
当时，则；
②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：
当或时，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.30．8
【解析】因为直线过点，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8
31．4
【解析】，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.32．
【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.33．
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.34．
【解析】，当且仅当
时取等号.35．.1.【解析】作出可行域如图阴影部分所示.设,则.当直线经过点时,取最小值，经过点时,取最大值.36．
【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点时取最大值，过点时取最小值.
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