近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
十三、坐标系与参数方程
一、单选题
1．（2019·北京（理））已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是
A．
B．
C．
D．
二、解答题
2．（2021·全国（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
3．（2021·全国（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
4．（2020·江苏）在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
5．（2020·全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求||：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.6．（2020·全国（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
7．（2020·全国（理））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.8．（2019·江苏）在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离.9．（2019·全国（理））如图，在极坐标系中，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出，的极坐标方程；
（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标.10．（2019·全国（文））在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.11．（2019·全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
12．（2018·江苏）
在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
13．（2018·全国（文））
在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.14．（2018·全国（理））
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
15．（2018·全国（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
16．（2017·全国（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．
17．（2017·全国（理））
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.18．（2017·全国（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
19．（2017·全国（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
20．（2017·江苏）已知直线l的参考方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设p为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值
三、填空题
21．（2019·天津（理））设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____.22．（2018·北京（理））在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．
23．（2018·天津（理））已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则的面积为___________.24．（2017·天津（理））在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.25．（2017·北京（理））在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为__________．
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
十三、坐标系与参数方程（答案解析）
1．D
【分析】
首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【解析】
直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.【小结】
本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.2．（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.【分析】
（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；
（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【解析】
（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，两圆内含，故曲线C与没有公共点.【小结】
本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.3．（1），（为参数）；（2）或.【分析】
（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【解析】
（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得
或
【小结】
本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.4．（1）（2）
【分析】
(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【解析】
（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，因为点为直线上，故其直角坐标方程为，又对应的圆的直角坐标方程为：，由解得或，对应的点为，故对应的极径为或.（2），当时；
当时，舍；即所求交点坐标为当
【小结】
本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.5．（1）（2）
【分析】
（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；
（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【解析】
（1）令，则，解得或（舍），则，即.令，则，解得或（舍），则，即.；
（2）由（1）可知，则直线的方程为，即.由可得，直线的极坐标方程为.【小结】
本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.6．（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.【分析】
（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；
（2）当时，曲线的参数方程化为
为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线
化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.【解析】
（1）当时，曲线的参数方程为为参数），两式平方相加得，所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数），所以，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，联立方程，整理得，解得或
（舍去），公共点的直角坐标为
.【小结】
本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.7．（1）；；（2）.【分析】
（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【解析】
（1）由得的普通方程为：；
由得：，两式作差可得的普通方程为：.（2）由得：，即；
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，所求圆的极坐标方程为.【小结】
本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.8．（1）；
（2）2.【分析】
(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；
(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线的距离.【解析】
（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因为直线l的方程为，则直线l过点，倾斜角为．
又，所以点B到直线l的距离为.【小结】
本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
9．(1)，,(2)，,.【分析】
(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.【解析】
(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.，,.(2)解方程得，此时P的极坐标为
解方程得或，此时P的极坐标为或
解方程得，此时P的极坐标为
故P的极坐标为，,.【小结】
此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.10．（1），l的极坐标方程为；（2）
【分析】
（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；
（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【解析】
（1）因为点在曲线上，所以；
即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；
因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；
（2）设，则，由题意，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【小结】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.11．（1）；；（2）
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【解析】
（1）由得：，又
整理可得的直角坐标方程为：
又，的直角坐标方程为：
（2）设上点的坐标为：
则上的点到直线的距离
当时，取最小值
则
【小结】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.12．直线l被曲线C截得的弦长为
【解析】
分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.解析：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
小结：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.13．(1)
.(2)
.【解析】
分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.解析：（1）由，得的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
小结：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.14．（1）
（2）为参数，【解析】
分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．
（2）联立方程，由根与系数的关系求解
解析：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数，．
设，对应的参数分别为，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是
为参数，．
小结：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．
15．（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）
【分析】
分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分
与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．
【解析】
解析：（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
16．（1），；（2）或．
【解析】
试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．
试题解析：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.小结:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．
17．（1）（2）
【解析】
（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.设,由题设得，消去k得.所以C的普通方程为.（2）C的极坐标方程为.联立得.故，从而.代入得，所以交点M的极径为.【名师小结】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.18．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；
（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知
|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为
（）.由题设知|OA|=2，于是△OAB面积
当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.19．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；
（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知
|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为
（）.由题设知|OA|=2，于是△OAB面积
当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.20．.【解析】
直线的普通方程为.因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时，.因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.21．
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程，解之解得．
【解析】
圆化为普通方程为，圆心坐标为，圆的半径为，由直线与圆相切，则有，解得．
【小结】
直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断．
22．【分析】
根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出.【解析】
因为，由，得，由，得，即，即，因为直线与圆相切，所以
【小结】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23．
【分析】
由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.【解析】
由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.【小结】
处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
24．2
【解析】
直线为，圆为，因为，所以有两个交点
【考点】极坐标
【名师小结】再利用公式
把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.25．1
【解析】
试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心为，点是圆外一点，所以的最小值就是.【考点】极坐标与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系
【名师小结】（1）熟练运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可转化为在直角坐标系的情境下进行．
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