坐标系与参数方程(知识总结)

第一篇：坐标系与参数方程(知识总结)

坐标系与参数方程专题

坐标系与参数方程

【要点知识】

一、坐标系

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

xx(0)设点P(x,y)是平面直角坐标系xOy中的任意一点，在变换:的作用

yy(0)下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，我们把称为平面直角坐标系xOy中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系

（1）极坐标系的概念

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样我们就建立了一个极坐标系.（2）极坐标

设点M是平面内一点，极点O与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为.我们把有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).（3）极径、极角的取值范围

一般地，极径0，极角R.坐标系与参数方程专题

3.极坐标与直角坐标之间的互化

如图所示，设点M是平面内任意一点，记点M的直角坐标为(x,y)，极坐标为(,).我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：

（ⅰ）直角坐标化极坐标：xcos，ysin；（ⅱ）极坐标化直角坐标：2x2y2，tany（x0）.x

【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式.解题时，大家要根据题意灵活选用.4.几个简单曲线的极坐标方程

（1）圆的极坐标方程：圆心在C(a,0)（a0），半径为a的圆的极坐标方程为2acos；

（2）直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是

的直线l的极坐标方程为4 4和5.45.柱坐标系与球坐标系（1）柱坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P是空间中任意一点，它在Oxy平面上的)（0，02）表示点Q在Oxy平面上的极坐标，这时点P射影为点Q，用(,2 坐标系与参数方程专题的位置可用有序数组(,,z)（zR）表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,z)叫做点P的柱坐标，记作P(,,z)，其中0，02，zR.【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式：（2）球坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P是空间中任意一点，连结OP，记OPr，OP与Oz轴正向所夹的角为，设点P在Oxy平面上的射影为点Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的正角为，这样点P的位置就可以用有序数组(r,,)表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）；相应地，把有序数组(r,,)叫做点P的球坐标，记作P(r,,)，其中r0，0，02.xrcoscos【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：yrcossin

zrsin 坐标系与参数方程专题

二、参数方程

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函xf(t)数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x,y)都在这条曲线yg(t)上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程之间的互化

曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式.一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果已知变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，则我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，xf(t)由此得到的方程组就是该曲线的参数方程.yg(t)【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x，y的取值范围保持一致.3.几个简单曲线的参数方程

xrcosO（1）圆的参数方程：圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为

yrsin（为参数）；

（2）椭圆的参数方程：中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）；

（3）双曲线的参数方程：中心在原点O，焦点在x轴上的双曲线的参数方程为

xacosybsinxasec1secsec（为参数），这里，是的正割函数，并且； cosybtan（4）抛物线的参数方程：以原点O为顶点，以x轴为对称轴，开口向右的抛物线 坐标系与参数方程专题

2pxtan22（不包括原点）的参数方程为（为参数）； y2px（p0）

y2ptan（5）直线的参数方程：过点M0(x0,y0)，倾斜角为（为2）的直线l的参数方程xx0tcos（t为参数）；

yy0tsin（6）渐开线的参数方程：xr(cossin)（为参数）；

yr(sincos)（7）摆线的参数方程：

xr(sin)（为参数）.yr(1cos)5

第二篇：2012高三数学第一轮复习(十三)坐标系与参数方程学案

2012高三数学第一轮复习

（十三）坐标系与参数方程学案

坐标系（第一课）

一．基础知识梳理：

1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离OM叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。

练习：在极坐标系里描出下列各点

4A（3，0）C（3，）D（5，）

323．极坐标与直角坐标的互化：

互化前提1.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;M的极坐标为(,)，直角坐标为(x,y)，则它们之间的关系为：

xcosysin2x2yytanx2

（极坐标化为直角坐标）（直角坐标化为极坐标）

2二例题：例1．（1）把点M 的极坐标(8,)化成直角坐标 3

（2）把点P的直角坐标(,2)化成极坐标

变式训练：（2007深圳一模理）在极坐标系中，已知点A（1，则A、B两点间的距离是．3）和B(2,), 4

4三．特殊曲线极坐标方程

1．以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 r；

2．在极坐标系中，(0)表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线.3．在极坐标系中，过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是cosa.四．极坐标方程与直角坐标方程互化

例2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：

1）sin2：_____________2）(2cos5sin)40:______________

3）10cos:_____________4）2cos4sin:________________

5）2：_____________（6）化极坐标方程6cos(

)为直角坐标方程。

例3．（2007深圳一模文）在极坐标系中，过圆4cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．

注：极坐标的问题常转化为直角坐标问题，再用有关直角坐标系中知识解决。

五练习：



1．(2007广东文)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，)到直线l的距离

6为．

2．(2008广东文、理)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos3,4cos



（0,0），则曲线C1与C2交点的极坐标为_____.3.(2007汕头二模理)在极坐标系中，圆ρ=cosθ与直线ρcosθ=1的位置关系是．

4.(2007广州一模文、理）在极坐标系中，圆2上的点到直线cossin6的距离的最小值是 ___ __．





5．(2008广州一模文、理)

在极坐标系中，过点作圆4sin的切线，则切

4

线的极坐标方程是．

6.(2008深圳调研文)在极坐标系中，直线

参数方程（第二课）

一．基础知识梳理 1）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数

xf(t),并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)

yg(t),π

（R）与圆

4cos

3交于A、B两点，则AB．

都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2）常见曲线的参数方程

xrcosa1、圆：普通方程：(xa)(yb)r参数方程：

yrsinb

xrcos

特别地，当a0,b0时，可得x2y2r2的参数方程

yrsin

xacosy22、椭圆：普通方程：221(ab0)参数方程：（为参数），ybsinba

x

2注：一般地，通过消去参数把参数方程化为普通方程来解题，但要注意变量的取值范

围要一致！

二、练习:

1、把下列参数方程化为普通方程

xt11）（t为参数）____________;

y12tx2t2）（t为参数）:______________;

2yt

x3)（为参数，0）____________

2y

x5cos

2、曲线（为参数）的焦点坐标为__________;

y3sin

x1cos

3、曲线（为参数）与直线xm有公共点，那么实数m的取值范围是

ysin________;

xt3

4.(2007广东理)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(参数tR)，y3t

x2cos

C圆的参数方程为则圆C的圆心坐为，(参数0，2)，y2sin2

圆心到直线l的距离为.5.【2012高考广东文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线

x1x2（为参（为参数，0）和C1和C

2的参数方程分别为t

2yy

2数），则曲线C1和C2的交点坐标为.x5cos

6．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0≤ ＜）

ysin

5

xt2和，它们的交点坐标为4（t∈R）yt

．

7.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分

xtx

别为（t

为参数）和（为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为

yy

_______.

第三篇：近五年（2017-2021）高考数学真题分类13 坐标系与参数方程

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

十三、坐标系与参数方程

一、单选题

1．（2019·北京（理））已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是

A．

B．

C．

D．

二、解答题

2．（2021·全国（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．

3．（2021·全国（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

4．（2020·江苏）在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

5．（2020·全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求||：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.6．（2020·全国（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

7．（2020·全国（理））已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.8．（2019·江苏）在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.（1）求A，B两点间的距离；

（2）求点B到直线l的距离.9．（2019·全国（理））如图，在极坐标系中，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出，的极坐标方程；

（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标.10．（2019·全国（文））在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.11．（2019·全国（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

12．（2018·江苏）

在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．

13．（2018·全国（文））

在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.14．（2018·全国（理））

在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

15．（2018·全国（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

16．（2017·全国（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

．

（1）若，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．

17．（2017·全国（理））

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.18．（2017·全国（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

19．（2017·全国（理））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

20．（2017·江苏）已知直线l的参考方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设p为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值

三、填空题

21．（2019·天津（理））设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____.22．（2018·北京（理））在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．

23．（2018·天津（理））已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于、两点，则的面积为___________.24．（2017·天津（理））在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.25．（2017·北京（理））在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为__________．

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十三、坐标系与参数方程（答案解析）

1．D

【分析】

首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【解析】

直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.【小结】

本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.2．（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.【分析】

（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；

（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【解析】

（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；

（2）设，设，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）

曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，两圆内含，故曲线C与没有公共点.【小结】

本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.3．（1），（为参数）；（2）或.【分析】

（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【解析】

（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）

（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得

或

【小结】

本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.4．（1）（2）

【分析】

(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【解析】

（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，因为点为直线上，故其直角坐标方程为，又对应的圆的直角坐标方程为：，由解得或，对应的点为，故对应的极径为或.（2），当时；

当时，舍；即所求交点坐标为当

【小结】

本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.5．（1）（2）

【分析】

（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；

（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【解析】

（1）令，则，解得或（舍），则，即.令，则，解得或（舍），则，即.；

（2）由（1）可知，则直线的方程为，即.由可得，直线的极坐标方程为.【小结】

本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.6．（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.【分析】

（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；

（2）当时，曲线的参数方程化为

为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线

化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.【解析】

（1）当时，曲线的参数方程为为参数），两式平方相加得，所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（2）当时，曲线的参数方程为为参数），所以，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，联立方程，整理得，解得或

（舍去），公共点的直角坐标为

.【小结】

本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.7．（1）；；（2）.【分析】

（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【解析】

（1）由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：.（2）由得：，即；

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，所求圆的极坐标方程为.【小结】

本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.8．（1）；

（2）2.【分析】

(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；

(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线的距离.【解析】

（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因为直线l的方程为，则直线l过点，倾斜角为．

又，所以点B到直线l的距离为.【小结】

本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

9．(1)，,(2)，,.【分析】

(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.【解析】

(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.，,.(2)解方程得，此时P的极坐标为

解方程得或，此时P的极坐标为或

解方程得，此时P的极坐标为

故P的极坐标为，,.【小结】

此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.10．（1），l的极坐标方程为；（2）

【分析】

（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；

（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【解析】

（1）因为点在曲线上，所以；

即，所以，因为直线l过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，即；

因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；

（2）设，则，由题意，所以，故，整理得，因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.【小结】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.11．（1）；；（2）

【分析】

（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【解析】

（1）由得：，又

整理可得的直角坐标方程为：

又，的直角坐标方程为：

（2）设上点的坐标为：

则上的点到直线的距离

当时，取最小值

则

【小结】

本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.12．直线l被曲线C截得的弦长为

【解析】

分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.解析：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB=．

连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．

因此，直线l被曲线C截得的弦长为．

小结：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.13．(1)

.(2)

.【解析】

分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；

(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.解析：（1）由，得的直角坐标方程为

．

（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．

由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．

综上，所求的方程为．

小结：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.14．（1）

（2）为参数，【解析】

分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．

（2）联立方程，由根与系数的关系求解

解析：（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数，．

设，对应的参数分别为，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是

为参数，．

小结：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．

15．（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）

【分析】

分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分

与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．

【解析】

解析：（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

16．（1），；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．

试题解析：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

.当时，的最大值为.由题设得，所以；

当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.小结:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．

17．（1）（2）

【解析】

（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.设,由题设得，消去k得.所以C的普通方程为.（2）C的极坐标方程为.联立得.故，从而.代入得，所以交点M的极径为.【名师小结】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.18．（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；

（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知

|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为

（）.由题设知|OA|=2，于是△OAB面积

当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.19．（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；

（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知

|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为

（）.由题设知|OA|=2，于是△OAB面积

当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.小结:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.20．.【解析】

直线的普通方程为.因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时，.因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.21．

【分析】

根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程，解之解得．

【解析】

圆化为普通方程为，圆心坐标为，圆的半径为，由直线与圆相切，则有，解得．

【小结】

直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断．

22．【分析】

根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出.【解析】

因为，由，得，由，得，即，即，因为直线与圆相切，所以

【小结】

（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可；

（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23．

【分析】

由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.【解析】

由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.【小结】

处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

24．2

【解析】

直线为，圆为，因为，所以有两个交点

【考点】极坐标

【名师小结】再利用公式

把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.25．1

【解析】

试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心为，点是圆外一点，所以的最小值就是.【考点】极坐标与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系

【名师小结】（1）熟练运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可转化为在直角坐标系的情境下进行．

第四篇：人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案(可编辑)

人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案课型： 复习课 课时数： 讲学时间： 20101月18号班级： 学号：

1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。

二、【回归教材】：

1、阅读《》,试了解1）设点是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式的作用下，如何找到点P的对应点？试找出变换为的伸缩变换公式.（2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M的极径与极角来表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式.（3）在平面直角坐标系中，曲线C可以用方程来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来表示这段曲线呢？例如圆，直线，你是如何用极坐标方程表示它们的？

2、阅读选修4-4《》2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中，必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。

三、【达标练习与作业】：

1、在同一平面直角坐标系中，曲线经过一个伸缩变换后变为，则这个伸缩变换为.2、已知点的极坐标为，则它的直角坐标为 ；而如果点的直角坐标为，则它的极坐标为.3、化极坐标方程为直角坐标方程是 ；则极坐标方程 表示的曲线是 ；而圆心为，半径为3的圆所表示的极坐标方程为.4、直线（t为参数）的倾斜角的大小是.5、极坐标方程为，它所表示的圆的半径为.6、（t为参数）上到点的距离为的点坐标为.7、已知为参数，求点到方程表示的曲线的距离的最小值.8、已知直线（t为参数），求被双曲线截得的弦长.四、【课后反思】：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。（1）（2）

第五篇：参数方程的概念(教案)

参数方程的概念

一、教学目标

知识与技能：通过大量的实例理解参数方程及参数的意义，并进行简单的应用。过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：参数方程的定义及应用

教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.二、教学过程: 2.1创设问题情境，激发学生的积极性

铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为v0，与地面成角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2.2分析理解

如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？

y 500 o x

2.3抽象概括

1、由上述问题引出：什么是参数方程？

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标Mx,y都是某个变数t的函数xf(t)并且对t的每一个允许值,由此所确定的点Mx,y都在这条曲线上,那,(t为参数）yg(t)么此方程就叫做这条曲线的参数方程t为参数.注意事项：

1、同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 2在实际问题中要确定参数的取值范围 3参数方程求法

（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x,y)

（2）选取适当的参数

（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式

（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 4关于参数方程中参数的选取

选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t做参数 与旋转的有关问题选取角做参数 2.4典型例题：

例1：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行。在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力，重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）

例2．设炮弹发射角为，发射速度为v0，（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）

（2）若Vo100m/s，，当炮弹发出2秒时，6① 求炮弹高度

② 求出炮弹的射程（1）数

三、巩固与练习：P 书28练习

四、小

结：本节课学习了以下内容：

1．选择适当的参数表示曲线的方程的方法;2．体会参数的意义

五、课后作业：全程设计