极坐标与参数方程
一．选择题（共16小题）
1．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（）
A．x2+y2=0或y=1
B．x=1
C．x2+y2=0或x=1
D．y=1
2．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ=4sinθ，过点（4，）作曲线C的切线，则切线长为（）
A．4
B．
C．2
D．2
3．已知点M的极坐标为，那么将点M的极坐标化成直角坐标为（）
A．
B．
C．
D．
4．点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）
A．
B．
C．
D．
5．极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（）
A．2
B．
C．1
D．
6．曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）
A．x2+（y+2）2=4
B．x2+（y﹣2）2=4
C．（x﹣2）2+y2=4
D．（x+2）2+y2=4
7．在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标是（）
A．
B．
C．（1，0）
D．（1，π）
8．过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）
A．ρsinθ=
B．ρcosθ=
C．ρsinθ=2
D．ρcosθ=2
9．在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的半径为（）
A．
B．1
C．2
D．4
10．与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）
A．x2+=1
B．x2+=1（0≤x≤1）
C．x2+=1（0≤y≤2）
D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）
11．若直线，（t为参数）与圆，（θ为参数）相切，则b=（）
A．﹣4或6
B．﹣6或4
C．﹣1或9
D．﹣9或1
12．已知直线l的参数方程为（t为参数），则其直角坐标方程为（）
A．x+y+2﹣=0
B．x﹣y+2﹣=0
C．x﹣y+2﹣=0
D．x+y+2﹣=0
13．若直线y=x﹣b与曲线（θ∈[0，2π））有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
14．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）
A．2x﹣y+4=0
B．2x+y﹣4=0
C．2x﹣y+4=0，x∈[2，3]
D．2x+y﹣4=0，x∈[2，3]
15．直线y=2x+1的参数方程是（）
A．（t为参数）
B．（t为参数）
C．（t为参数）
D．（θ为参数）
16．把方程xy=1化为以t参数的参数方程是（）
A．
B．
C．
D．
二．解答题（共12小题）
17．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．
（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
18．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
19．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．
20．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
21．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
23．已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．
（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（2）求直线AM的参数方程．
24．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
25．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
（1）求C的直角坐标方程；
（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．
26．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．
（1）求曲线C1，C2的普通方程；
（2）是曲线C1上的两点，求的值．
27．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
参考答案与解析
一．选择题
解：∵ρ2cosθ﹣ρ=0，∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，∵，∴x2+y2=0或x=1，故选C．
2．解：ρ=4sinθ化为普通方程为x2+（y﹣2）2=4，点（4，）的直角坐标是A（2，2），圆心到定点的距离及半径构成直角三角形．
由勾股定理：切线长为．
故选C．
3．解：由点M的极坐标为，∴xM=5=﹣，=，∴M．
故选：D．
4．解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为．
故选C．
5．解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故选D．
6．解：曲线的极坐标方程ρ=4sinθ
即
ρ2=4ρsinθ，即
x2+y2=4y，化简为x2+（y﹣2）2=4，故选：B．
7．解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：
ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为
x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．
∴圆心的极坐标
故选B．
8．解：由点（2，）可得直角坐标为，即．
设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，则，即．
故选：A．
9．解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程得x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1．
∴圆ρ=2cosθ的半径为1．
故选：B．
10．解：由参数方程为，∴，解得0≤t≤1，从而得0≤x≤1，0≤y≤2；
将参数方程中参数消去得x2+=1．
因此与参数方程为等价的普通方程为．
故选D．
11．解：把直线，（t为参数）与圆，（θ为参数）的参数方程分别化为普通方程得：
直线：4x+3y﹣3=0，圆：x2+（y﹣b）2=9，∵此直线与该圆相切，∴，解得b=﹣4，或6．
故选A．
12．解：因为直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+2﹣=0．
故选：B．
13．解：化为普通方程（x﹣2）2+y2=1，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得
法2：利用数形结合进行分析得，∴
同理分析，可知．
故选D．
14．解：由条件可得
cos2θ=y+1=1﹣2sin2θ=1﹣2（x﹣2），化简可得2x+y﹣4=0，x∈[2，3]，故选D．
15．解：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，可得，即为直线y=2x+1的参数方程．
故选：B．
16．解：xy=1，x可取一切非零实数，而A中的x的范围是x≥0，不满足条件；
B中的x的范围是﹣1≤x≤1，不满足条件；
C中的x的范围是1≤x≤1，不满足条件；
故选D
二．解答题
17．解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（5分）
（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．
化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）
18．解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2的极坐标方程为
ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入
圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．
19．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0
…（5分）
（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．
∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．
∴|AB|=|t1﹣t2|==2．
∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．
即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）
20．解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）
（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）
21．解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为
x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．
22．解：（Ⅰ）由
从而C的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）
23．解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）．（5分）
（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（1，0），故直线AM的参数方程为（t为参数）（10分）
24．解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；
（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．
25．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ
∴x2+y2=2x+2y
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
26．解：（1）曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），普通方程为．
曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）曲线C1的极坐标方程为，所以=+=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
27．解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．
曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，于是交点为（2，2），．
28．解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
又由得
ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0
设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．
点击咨询