高中数学《圆参数方程的应用》教案 新人教A版选修4（5篇）

第一篇：高中数学《圆参数方程的应用》教案 新人教A版选修4

圆参数方程的应用

教学目标：

知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：会用圆的参数方程求最值。教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.授课类型：复习课

教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：

一、最值问题

221.已知P（x,y）圆C：x+y－6x－4y+12=0上的点。

y（1）求 x 的最小值与最大值

（2）求x－y的最大值与最小值

222.圆x+y=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是

；

/222.圆(x-1)+(y+2)=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；

223.过点(2,1)的直线中,被圆x+y-2x+4y=0截得的弦：

为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；

224．若实数x,y满足x+y-2x+4y=0，则x-2y的最大值为

；

二、参数法求轨迹

21)一动点在圆x＋y=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程

2)已知点A(2,0),P是x+y=1上任一点,AOP的平分线交PA于Q点,求Q点的轨

22迹.C.参数法

解题思想：将要求点的坐标x,y分别用同一个参数来表示

22例题：1)点P(m,n)在圆x+y=1上运动, 求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程

22242)方程x+y-2(m+3)x+2(1-4m)y+16m+9=0.若该方

程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程。

三、小结：本节学习内容要求掌握 1．用圆的参数方程求最值；

2．用参数法求轨迹方程，消参。

四、作业：

第二篇：高中数学《1.2.1排列》教案4 新人教A版选修2-3

高中新课程数学（新课标人教A版）选修2-3《1．2．1排列》

教案4

例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5040．

（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．

（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——A66=720．

（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种；

第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22A55=240（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A5种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有A5种方法，所以

25一共有A5A5＝240025

解法2：（排除法）若甲站在排头有A6种方法；若乙站在排尾有A6种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A5种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A7－2A6＋A5=2400种．

说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可例6.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定665765不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

15解法一：（从特殊位置考虑）A9A9136080；

56解法二：（从特殊元素考虑）若选：5A9；若不选：A9，56则共有5A9A9136080种；

65解法三：（间接法）A10A9136080

第三篇：高中数学 《圆与方程》教案

圆的一般方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(二)能力训练点

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

二、教材分析

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．

(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)

三、活动设计

讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．

四、教学过程(一)复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

(二)圆的一般方程的定义

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．

2．圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有

解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0． 例2小结：

1．用待定系数法求圆的方程的步骤：

(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例： 例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

(0，2)．

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为

故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． 这时，教师指出：

(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．

(2)此题也可以用圆系方程来解： 设所求圆的方程为：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圆心在直线l上得λ=-2．

将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念． 的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线． 此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：

(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；

(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结

1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

第四篇：高中数学 第2章《参数方程》教案 新人教版选修4-4

参数方程

考点要求 了解参数方程的定义。分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数，写出他们的参数方程。并理解直线参数方程标准形式中参数的意义。3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。

考点与导学

1参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数xf(t)(tT)

（1）yg(t)这里T是f(t),g(t)的公共定义域。并且对于t的每一个允许值。由方程（1）所确定的点

M(x,y)。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t叫做参数。

2过点p0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程 xx0tcos（错误！未找到引用源。）yy0tsin（t为参数）

（错误！未找到引用源。）通常称（错误！未找到引用源。）为直线l的参数方程的标准形式。其中t表示p0(x0,y0),到l上一点p(x,y)的有向线段p0p的数量。

t>0时，p在p0上方或右方；t<0时，p在p0下方或左方，t=0时，p与p0重合。xx0at（错误！未找到引用源。）直线的参数方程的一般形式是：（t为参数）

yybt0这里直线l的倾斜角的正切tanab（0或90时例外）。当且仅当ab10022且b>0时.（1）中的t才具有（错误！未找到引用源。）中的t所具有的几何意义。2 圆的参数方程。

xx0rcos圆心在点o(x0,y0),半径为r的圆的参数方程是（为参数）

yyrsin0'3 椭圆xa22yb22xacos1的参数方程。（为参数）

ybsin4 双曲线xa22yb22xasec1的参数方程：（为参数）

ybtan5 抛物线y2x2pt22px的参数方程。（t为参数）

y2pt用心

爱心

专心

x12t例1 已知某曲线C的参数方程为（其中t是参数，aR）,点M（5，4）在该曲2yat线上。（1）求常数a；（2）求曲线C的普通方程。

例2 圆M的参数方程为x2y24Rxcos4Rysin3R20（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径。（2）当R固定，变化时。求圆心M的轨迹。并证明此时不论取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆。例3已知A，B分别是椭圆

x236y291的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求∆ABC的重心的轨迹的普通方程。

例4求经过点（1，1）。倾斜角为135的直线截椭圆〔解题能力测试〕

1x(a21 已知某条曲线的参数方程为：y1(a21a1a)0x24y21所得的弦长。

其中a是参数。则该曲线是（）)A 线段

B 圆

C 双曲线的一部分

D 圆的一部分

2x3t22 已知某条曲线的参数方程为(0t5)则该曲线是（）

2yt1A 线段

B 圆弧

C 双曲线的一支

D 射线 3实数x,y满足x216y291，则zxy的最大值为：

；最小值为。

4已知直线l的斜率为k1.经过点M0(2,1)。点M在直线上，以的数量t为MM0参数.则直线l的参数方程为：。

x1tsin5 已知直线l的参数方程是（t为参数）其中实数的范围是(,)。

2y2tcos则直线l的倾斜角是：。

〔潜能强化训练〕

xsin1 在方程（为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为（）

ycos2A(2,7)

B(,)

C(,)

D(1,0)

3322212112下列参数方程（t为参数）与普通方程xy0表示同一曲线的方程是（）

用心

爱心

专心

xcostxtA 

B 

C 2ycostytxtant1cos2t

D y1cos2txtant1cos2t y1cos2tx2cos3 直线3x4y90与圆（为参数）的位置关系是（）

y2sinA 相切

B 相离

C 直线过圆心

D 相交但直线不过圆心。4 设直线x1tcosy2tsin（t为参数）。如果为锐角，那么直线l1到直线l2:x10 的角是（）A 2

B 2

C 

D 

x25 过点（1，1），倾斜角为135的直线截椭圆

o4y21所得的弦长为（）

A 22B x425

C

2D

325 双曲线3tan（为参数），那么它的两条渐近线所成的锐角是：。

ysecxsin27 参数方程（为参数）表示的曲线的普通方程是：。

ysincos28 已知点M（2，1）和双曲线xy22求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线l的1，方程。已知椭圆的中心在原点。焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2。直线l的参数方程为

xtym2t（t为参数）。当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为6？

１0、求椭圆x216y2121上的点到直线:x2y120的最大距离和最小距离。

〔知识要点归纳〕

1． 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的一种表示形式，而且有的参数还有几何意义或物理意义。

2． 面临一个轨迹问题，如何选择参数？如何用参数？是主要问题，必须在学习过程中深刻去

用心

爱心

专心

领会。

3． 在参数方程与普通方程互化过程中，要注意等价性。

12t5t2解：（1）由题意可知有2故  ∴a1

a1at4x12tx1（2）由已知及（1）可得，曲线C的方程为由第一个方程得代入第二个t22yt方程得：y(x12)。即(x1)224y为所求。

〔点评〕 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过xf(t),yg(t)。根据t的取值范围导出x,y的取值范围。解：（1）依题意得 圆M的方程为(x2Rcos)2(y2Rsin)2R2 故圆心的坐标为M（2Rcos,2Rsin).半径为R。

x2Rcos（2）当变化时，圆心M的轨迹方程为（其中为参数）两式平方相加得

y2Rsinxy224R。所以所有的圆M的轨迹是圆心在原点。半径为2R的圆

222由于(2Rcos)(2Rsin)(2Rcos)(2Rsin)2222R3RR2RRR所以所有的圆M都和定圆x2y2R2外22切，和定圆xy9R内切。

〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。解：由动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为（6cos,3sin）,点G的坐标为(x,y).依题意可知：A（6，0），B（0，3）由重心坐标公式可知

606cosx22cosx2cos(1)322 由此得：(1)(2)得 2y1sin(2)y033sin1sin3(x2)422(y1)1即为所求。

〔点评〕错误！未找到引用源。本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。错误！未找到引用

用心

爱心

专心

源。“平方法”是消参的常用方法。

2tx12解：由条件可知直线的参数方程是：（t为参数）代入椭圆方程可得：

2y1t22242(1t)(122t)1 即252t32t10设方程的两实根分别为t1,t2。

262t1t25则则直线截椭圆的弦长是 t1t2tt2125(t1t2)4t1t22625

〔点评〕利用直线参数方程的几何意义求弦长的常用方法。但必须注意：直线的参数方程必xx0at须是标准形式。即 （t为参数）当a2b21且b>0时才是标准形式。若不满yy0btb2足a2b21且b>0两个条件。则弦长为 d=1()t1t2

a

四、参数方程

〔解题能力测试〕

2x2t32 1．C

2、A 3、5，-5

4、 5、22y1t2〔潜能强化训练〕

1、C

2、D

3、C

4、B

5、B 6、60

7、yx1(1x1)455455028、4xy90

9、m

10、dmax45dmin

用心

爱心

专心

第五篇：21《参数方程的概念--曲线的参数方程》教案(新人教选修4-4)(精)[定稿]

曲线的参数方程

教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路． 2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立． 教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线? 生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线． 师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？ 生：……

师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？（计算机演示动画，如图３－１）

师：驱使Ｍ运动的因素是什么？ 生：旋转角θ.师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？

生：

师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？

生3：

（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）

（生３叙述，师板书）师：①式是⊙Ｏ的方程吗？ 生４：①式是⊙Ｏ的方程.师：请说明理由.生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，显然满足方程①；，总存在，由三角函数定义知

（２）任取, 由①得即M（）． 所以

所以

Ｍ在⊙Ｏ上.由（１）、（２）知①是⊙Ｏ的方程.．

师：既然①是⊙Ｏ的方程，那么它应该和生：能，消去θ即可．

是一致的，两者能统一起来吗？

师：这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式.通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有，在生产实践、军事技术、工程建设中也有.特别在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来.请同学们再看一个例子.炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等.现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为ν０.请同学们帮他求出弹道曲线的方程。（不计空气阻力）

师：同学们是否知道炮弹飞行轨迹的形状？请同学们大概地画一下.（师从同学们画出的图形中，选出一种画在黑板上，如图３－２.）

师：一般同学们都知道是轨物线的一段.现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程（即点的轨迹方程），请思考求点的轨迹方程的首要工作是什么？ 生：建系.师：怎样建系？（请同学们自行建系）

（师将同学们４种不同的建系方式依样画在黑板上或用投影仪直接打出。如图３－３－（１）、（２）、（３）、（４））

师：怎样建系由我们自己决定，然而我们总希望建立的坐标系较合乎常理，且使问题的求解方便一些，方程简单一些.现在请同学们从上述４种建系方式中选择较恰当的一种.生：（较一致地否定了（１）、（２），对（３）、（４）众说纷纭.）

师：（引导学生作常规分析）炮弹飞行与时间t有关，当t=0时，炮弹还在炮口位置，它是炮弹飞行的初始位置（起始点），这个起始点放在坐标系的什么位置才较好地合乎常理呢？

生：放在原点位置，即取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，因此选图３－３（４）.师：坐标系建立起来了，接着该做什么了呢？ 生：设标，设炮弹发射后的位置为Ｍ（x，y）.师：下面该进行哪一步了？ 生：列式.师：怎么列？x与y之间的直接关系明显吗？ 生：不明显.师：那么怎样把x、y之间的关系联系起来呢？

生５：像刚才用第三变量θ表示圆上任一点的坐标x、y之间的关系一样，通过间接的办法把x、y联系起来.师：很好！那么这里的第三变量是什么呢？它又能怎样把x、y联系起来呢？

生５：刚才圆上点Ｍ是依赖于角θ的运动而运动的，第三变量就选择了θ，我想这里要把x、y之间的关系建立起来，也要分析一下炮弹的运动方式，看看炮弹的位置是依赖于哪个量的变化而变化的.师：非常好！让我们一起来分析炮弹的运动方式.这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动.炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动（由于受重力作用，炮弹作初速度不为零的匀速直线运动）.显然在x、y分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移（竖直高度），因此“怎样列式”事实上是解决如何刻画水平位移和竖直位移的问题.故应考虑运动物体的位移与哪些量有关.生：和速度、时间有关.师：这里既有水平位移，又有竖直位移，那么在水平方向的初速度和竖直方向的初速度分别是多少？ 生６：（如图３－４）在水平方向的初速度是ν0cosα,在竖直方向的初速度是ν0cosα.（生６口述，师标在图３－４上）

师：时间有吗？ 生：没有.师：怎么办？ 生：设出来，设为t.师：现在能分别求x和y了吗？

生６：能！师：能对竖直方向上的位移作一解释吗？

．

生７：在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动.所以

．

师：这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t表示出来了，即把x、y都表示成了t的函数，t是否应该有一个确定的范围？ 生：有，令y=0，故0≤t≤．

师：当生：刚落地.时，炮弹运动到什么位置了？

师：不错！是炮弹的落地时刻，为书写方便，我们记, 则：(0≤t≤T)

②

师：（挑战性的）这个方程组表示的是弹道曲线的方程吗？ 生：是.师：谁能简要地作一下说明？

生８：显然，任给轨迹上一点,由方程组的建立过程知其坐标x0、y０适合方程组；反之当t在内任取某一个值时，由方程组②就可确定当时炮弹所在位置（即表示炮弹的点在曲线上）.故②就是炮弹飞行的轨迹方程.师：很好！前面我们举了两个例子，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的.例1中旋转角θ参与了方程组的建立，且x、y都是θ的函数；例2中时间t参与了方程组的建立，且x、y都是t的函数.这些特点是以前建立的直接反映x、y关系的方程所不具备的，它和我们以前所熟悉的曲线的方程表达形式是不一样的，谁能给这样的曲线方程起个名字吗？

生：参数方程.（师随即写出课题——参数方程，指出联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.）

师：例１中我们看到圆上任意一点的坐标x、y，都是参数θ的函数，且对于内的任意一个θ值，由①所确定的点Ｍ（x、y）都在圆上；例２中，我们看到炮弹的任意一个位置，即轨迹上任一点的坐标x、y都是t的函数，且对于任一个t的允许值，由②确定的点Ｍ（x、y）都在轨迹上.这样的方程我们刚才称它为参数方程，谁能通过刚才的例子，归纳出一般曲线的参数方程的定义？

生９：（定义）在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变数t的函数③且对于t的每一个允许值，由③所确定的点Ｍ（x、y）都在这条曲线上，则③就叫做这条曲线的参数方程，t称作参变数，简称参数.（生９途述，师板书）

师：相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的（显得那样的普通）.为了区别起见，我们把以前学过的方程称作曲线的普遍方程.师：从上面两个例子看出，参数可以有明确的几何意义（例子中的旋转角θ——，主何的也可以有显的物理意义（例２中的时间t——物理的.）事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数，即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作参数.请同学们考虑，在例１中还可以用什么变数作参数？ 生１０：设弧长l为参数，由于l=rθ，故θ=lr，所以(l是参数，0≤l≤2πr)．（生１０叙述，师板书）

师：还可以用别的变数作参数吗？ 生：……

师：（点拨一下）前面我们用旋转角θ作为参数，θ可以用什么表示？

生１１：明白了，可设Ｍ的角速度为ω，运动所用时间为t，旋转角为θ，则θ=ωt.所以(t为参数，０≤t≤.（生１１叙述，师板书）

师：曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地反映变数的实际意义，如例２中，x 表示炮弹飞行的水平位移，y表示炮弹飞行的竖直高度.能求出炮弹的最大水平射程和相应的最大竖直高度吗？ 生：能！

师：请一位同学具体说说.生１２：上面曾求得炮弹落地时刻t=2ν0sinα g, 当t=2ν0sinα g时，x=v0cosα·g 2v0sinα g=v0sin2α g, 当２α=π 2,即α=π ４时，x最大=ν

202 g.此时，即当α=π 4,t=ν0sinα g时，y最大=ν0sinα·ν0sinα g-12gv0sinα g= v0sinα 2g=v0(2 2)2g=v0 4g.（生１２叙述，师板书）师：今天这节课上，通过两个具体问题的研究，我们自行给出了参数方程的定义（口述），并且明确了参数的意义（结合例题口述），初步掌握了求曲线参数方程的思路.通过弹道曲线参数方程的探求，使我们体会到了数学源于实践，又服务于实践的真谛，培养了我们善于思考，勇于探索的精神.今天的作业——第１２０页第１题.设计说明

１．未来社会对人才素质的要求越来越高.高素质人才的培养对学校教育提出了更高的要求.由于人的素质是多方面的，因此课堂教学的目的不但要向学生传授科学知识，而且还要努力发展学生的思维，提高学生的能力，培养学生的个性品质.显然这种多元化的教学目标对于全面提高学生的素质有着重要的作用.本节课的3个教学目标正是据于这样的思考而制定的.２．这节课按如下６个步骤逐渐展开：（１）圆的参数方程；（２）弹道曲线的参数方程； ①请学生帮助炮兵求弹道曲线的方程； ②让学生由熟悉的感知事实得抽象的几何图形； ③选择原点，恰当建系；

2④分析炮弹运动方式，恰当选择参数； ⑤建立方程，检验二性（纯粹性，完备性）；（3）参数方程的一般定义；

（４）两个例子的进一步研究（兼作例题）；（５）课堂小结；（６）布置作业.主要据于如下理由：

相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单.从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则，缩短了学生思维的“跨度/加快了学生思维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程（参数方程），提供了可参照的“样本”.这对于发展学生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益的.在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，并直接由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程

（t为参数），那么，２（２）中的①、②、③、④步均可省略.这种直接地把知识和盘托出的教法（其实是“奉送”）确能使课堂上节约不少时间，然而对于激发学生数学的应用意义，发挥学生的主体参与，揭示知识的形成过程，诱发学生探索、发现新知识都起不到任何作用.这里插入步骤①、②、③、④，则充分调动了主体的积极性，各类学生都情不自禁地加入到探索、求知的行列.整个知识的形成过程，犹如“历史在戏剧中的重演”，而学生正是这一“历史剧”中的演员，教师则是导演.同时，学生还能从中品味发现新知识的乐趣，体会知识的应用价值.常此以往，坚持不懈，学生的素质必将得到极大的提高.通过圆及弹道曲线的参数方程的特点分析，让学生自行给分类方程命名，这种把命名权交给学生的做法极大地尊重了学生的主体地位，强化了学生的主体意识.在此基础上，引导学生给出曲线参数方程的一般定义.旨在培养学生由具体到抽象的推理能力.第（４）步中，将两个例子作了进一步研究.通过对圆的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一个问题，可以选取不同的变数作参数.既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识.而对炮弹最大水平射程和相应的最大竖直高度的求解，一方面可使学生明了本题中通过参数t联系起来的x、y的最大值，有着鲜明的实际意义（几何的），另一方面又与前面提出的炮弹射击目标的例子中需要考虑的射程问题前后呼应，使学生领略到数学源于实践又服务于实践的真谛.