高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案

第一篇：高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教案

圆的标准方程

教学目标

(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题．

(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．

教学重点和难点

重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．

难 点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．

教学过程设计

(一)导入新课，教师讲授．

同学们，前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．

什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．

“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”．

定点就是圆心，定长就是半径．

根据圆的定义，我们来求圆心是c(a,b)，半径是r的圆的方程．(引导学生推导）

设 M(x,y)是圆上任意一点，圆心坐标为(a,b)，半径为r．

则│CM│=r，两边平方．(x-a)

2+(y-b)2

=r2，我们得到圆的标准方程，这就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程． 如果圆的圆心在原点．O(0,0)．即a=0．b=0．

问题1．说出下列圆的方程：

(1)圆心在点C(3,-4), 半径为7.(2)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).问题2 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：

(1)(x + 7)2 +(y  4)2

= 36(2)x2 + y2  4x + 10y + 28 = 0(3)(x  a)2 + y 2

= m2

例1．写出圆心为C(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点 m1(5.-7)，m2(-5,-1)是否在这个圆上。

跟踪训练

已知两点M(3,8)和N(5,2)．(1)求以MN为直径的圆C的方程；

(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？ 点与圆的位置关系:(x2220-a)+(y0-b)>r时,点M在圆C外(x2220-a)+(y0-b)=r时,点M在圆C上(x2220-a)+(y0-b)

例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.(二)学生课堂练习

1.点(2a, 1  a)在圆x2

+ y2

= 4的内部,求实数 a 的取值范围.2.根据下列条件，求圆的方程：

（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x-y+1=0上的圆的标准方程。（2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。（3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的直线的方程。

1、课本练习题1．(1)x

2+y2

=9;(2)(x-3)2

+(y-4)2

=5;

(3)(x-8)2+(y+3)2

=25．

2、课本练习题2．x

2+y2

=196．

教师讲授，师生研究

下面我们来研究圆的切线问题：

(1)已知切点坐标，求过这切点的切线方程．

例1 已知圆的方程是x2

+y2

=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程．

[分析]切线是直线，已知切线过切点，因此应从点斜式考虑，连接圆心O与切点M，切线l⊥OM，OM的斜率可求出，则切线的斜率l也可求出，由点斜式可得到切线的方程．

解： 设切线l的斜率为K，切线l：y-y0=K(x-x0)，∴切线l的方程是

这个公式很重要，要熟记其特征与各个字母的含义．

(2)已知切线的斜率，求切线的方程．(三)小结．圆的切线的求法．

(1)已知切点求切线，把切点(x2

0，y0)坐标代入公式x0x＋y0y=r即得到切线方程．但这种代法对同学们来讲，目前只适用于圆心在原点的圆．

(2)已知斜率求切线，可设切线的斜截式y=kx＋b，代入圆的方程，由△=0，求出截距b．这种求法适用于圆心在原点的圆，计算量较小．

(3)过圆外一点作圆的切线，把切线高为点斜式，根据圆心到切线的距离等于半径这一基本性质，确定斜率，得到切线．这一求法较有普遍性，同学们要牢牢掌握，圆心不在原点时，用起来方便．(四)课时小结 1.圆的标准方程 2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法：

①待定系数法

②几何法

(五)作业．

习题7．6 1、2、4、5

第二篇：高中数学 《圆与方程》教案

圆的一般方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(二)能力训练点

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

二、教材分析

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．

(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)

三、活动设计

讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．

四、教学过程(一)复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

(二)圆的一般方程的定义

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．

2．圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有

解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0． 例2小结：

1．用待定系数法求圆的方程的步骤：

(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例： 例3 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

(0，2)．

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为

故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． 这时，教师指出：

(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．

(2)此题也可以用圆系方程来解： 设所求圆的方程为：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圆心在直线l上得λ=-2．

将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念． 的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线． 此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：

(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；

(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结

1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

第三篇：4.1.1圆的标准方程教学反思

教学反思

圆的标准方程，这节内容我安排了两节课的时间，这节课主要是圆的标准方程的推导和一些简单的运用。在平面解析几何中，我认为这节内容很重要，因为它的研究方法为以后学习圆锥曲线提供了一个基础模式，如果学生掌握得好，后面的学习会轻松许多。

由于我所面对的学生初中数学基础不是很好，所以提前复习了旧知识，之后我引入了生活中的一个常见问题引发学生的疑问，产生认知冲突形成学习的氛围，进而提高学生学习本节内容的兴趣。

圆的标准方程是求曲线方程的一个具体表现，但学生对圆的标准方程还是很陌生，难以将圆与圆的标准方程紧密联系起来。基于此，我想通过学生的切身体验；来发现圆的决定要素，让学生明确一个圆对应一个方程，在此基础上借助求曲线方程的基本步骤,由学生自主探究推导出以（2,3）为圆心，2为半径的圆的标准方程，再由特殊到一般，利用化归的思想归纳出以（a,b）为圆心,r为半径的圆心的标准方程。并引导学生找出方程的特征，以帮助学生理解和记忆，及时掌握。

例题教学的设计，还是紧密围绕圆的标准方程这一目标展开，主要加深对圆的标准方程的理解及一些简单的应用。例题安排不多，但变式较多，变式的设计由特殊到一般，由简到繁，由浅入深，层层入深，让学生的思维得以提高,比较符合学生的认知规律,这样学生接受起来比较容易。

课堂练习，是对本节课目标落实情况的检测，让学生明确本节课应该到达什么样的目标，题不多,很基础，主要是激发学生的兴趣和增强学习的自信。

整个教学设计，我的希望是以学生自主学习为主，所以很多问题都由学生独立思考或讨论完成，教师仅仅是一个引路人，让学生的主体地位得到充分体现，注重学生思维的形成过程,并将数学思想方法渗透到教学中。

总的来说，这节课几乎是按自己的教学设计在进行，而且顺利地完成了。应该说在学生动手，双基落实方面还不错，学生的活动也比较充分，教师仅是及时的引导和 1 点评，让学生的主体性得到了较为充分的体现。另外，在教学中不断的渗透数学思想和方法，让学生思维得到提升。

当然，这节课还有很多不足的地方。比如：在变式练习时，未写出切线的方程，缺乏解题和板书的完整性；另外，后面的课堂练习也没有得到及时的反馈，这是较遗憾的。

从这堂课的教学设计和教学的过程中，我得到了锻炼和提高，这对我在今后的教学有很大的帮助。

第四篇：圆的标准方程教案

圆的标准方程教案

.教学目标

知识目标:1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;

2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.能力目标:1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;

2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;

3.增强学生用数学的意识.情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.2.教学重点.难点

教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰

当的坐标系解决与圆有关的实际问题.3.教学过程

创设情境

问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?

[引导]画图建系

[学生活动]:尝试写出曲线的方程

解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2y2=16

将x=2.7代入,得.即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。

深入探究

问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为的圆的方程?

答:x2y2=r2

2.如果圆心在,半径为时又如何呢?

[学生活动]探究圆的方程。

[教师预设]方法一:坐标法

如图,设m是圆上任意一点,根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合P={m||mc|=r}

由两点间的距离公式,点m适合的条件可表示为①

把①式两边平方,得22=r2

方法二:图形变换法

方法三:向量平移法

应用举例

I.直接应用

问题三:1.写出下列各圆的方程

圆心在原点,半径为3;

圆心在,半径为;

经过点,圆心在点.2.根据圆的方程写出圆心和半径

;.II.灵活应用

问题四:1.求以为圆心,并且和直线相切的圆的方程.[教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.2.已知圆的方程为,求过圆上一点的切线方程.[学生活动]探究方法

[教师预设]

方法一:待定系数法

方法二:待定系数法

方法三:轨迹法[多媒体演示]

方法四:轨迹法

3.你能归纳出具有一般性的结论吗?

已知圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程是:.III.实际应用

问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m,拱高oP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱的长度.[多媒体演示创设实际问题情境]

反馈训练

问题六:1.求以c为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.2.已知点A,B,求以AB为直径的圆的方程.3.求圆x2y2=13过点的切线方程.4.已知圆的方程为,求过点的切线方程.小结反思

.课堂小结:

圆心为c,半径为r的圆的标准方程为:

当圆心在原点时,圆的标准方程为:

求圆的方程的方法:①找出圆心和半径;②待定系数法

已知圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程是:

求解应用问题的一般方法

2.分层作业:巩固型作业:课本P81-82:1.2.4

思维拓展型作业:

试推导过圆上一点的切线方程.3.激发新疑:

问题七:1.把圆的标准方程展开后是什么形式?

2.方程:的曲线是什么图形?

教学设计说明

圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先,在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上,用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程,然后,利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生用数学的意识。另外,为了培养学生的理性思维,我分别在引例和问题四中,设计了两次由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.本节课的设计了五个环节,以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力、培养了 自3edu教育网兴趣、增强了信心

第五篇：《圆的标准方程》_教案

错误！未找到引用源。

圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：

1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(xa)2(yb)2r ①

化简可得：(xa)(yb)r ②

62224A2M-55-2-4 引导学生自己证明(xa)(yb)r为圆的方程，得出结论。

222

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法：（1）(x0a)2(y0b)2>r，点在圆外（2）(x0a)2(y0b)2=r，点在圆上（3）(x0a)2(y0b)2

例（2）： ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程(xa)2(yb)2r2 可知，要确定圆的标准方

222程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）)B(2,2),且圆心在例(3):已知圆心为C的圆l:xy10经过点A(1,1和l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。（教师板书解题过程。）

4l2A-5m5-2CB-4-6

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本p127第1、3、4题 提炼小结：

1、圆的标准方程。

2、点与圆的位置关系的判断方法。

3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本p130习题4.1第2、3、4题