高中数学 平行线分线段成比例定理教案 新人教A版选修4

第一篇：高中数学 平行线分线段成比例定理教案 新人教A版选修4

海南省文昌中学高中数学选修四：平行线分线段成比例定理 教案

教学目的：

1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。

教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。教学过程：

（一）旧知识的复习

利用投影仪提出下列各题使学生解答。1．求出下列各式中的x：y。（1）3x=5y；（2）x=2y；（3）3：2=：；（4）3：=5：。32．已知

zxyz7,求。3．已知,求。

2342x3yz2其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。

（二）新知识的教学

1．提出问题，使学生思考。

在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？ 而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E是AB中点，EF//BC，交AC于F点，AEAF1，并EBFC1AE1，指出此定理也可谓：如果E是△ABC的AB边上一点，且

EB1AEAE1。EF//BC交AC于F点，那么

EBFC1则AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出

2．引导学生探索与讨论。

就着上述结论提出，在△ABC中，EF//BC这个条件不变，但时，AE1AE2不等于，譬如=EB1EB3AF应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑FC板上画出的相应图观察、明确。

而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行证明。

继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1的定理，学生答出定理——过梯形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图2），并随即提出问题：

在梯形ABCD中，EF//BC的条件不变，但E不是AB的中点，仍如AE2DF2=，那么是否也等于？ EB3FC3而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图3）。

就图3的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含EF的延长线），也得到AE2AF==（补足图3中的比例式）。EB3FC3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明，首先引导学生就图

1、图2回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题：对于图3的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图3中梯形的各线段，得出图4，并使观察、试述出：

三条平行线l1//l2//l3在直线k1、k2上截出线段A1A2、A2A3、B1B2、B2B3，如果A1A22BB2AABB=，那么12=，即12=12。A2A33B2B33A2A3B2B3

继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。进一步提出：并概括为：

三条平行线l1//l2//l3在直线k1、k2上截出线段A1A2、A2A3、B1B2、B2B3，那么A1A2mBBm=（m、n为自然数），那么怎样证明12=？并使学生试证，A2A3nB2B3nA1A2B1B2=。A2A3B2B3在此基础上，教师提出问题：由

A1A2B1B2=，利用比例的性质还可得到哪些比例式？A2A3B2B3（A2A3B2B3AABB=，12=12，等）A1A2B1B2A1A3B1B3引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。

最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应线段”的使用，并以正反之例予以明确。

（三）应用举例

例1（1）已知：如图5，l1//l2//l3，AB=3，DF=2，EF=4，求BC。（2）已知：如图6，l1//l2//l3，AB=3，BC=5，DB=4.5，求BF。

（3）已知：如图7，l1//l2//l3，AB=3，BC=5，DF=10，求DE。（4）已知：如图8，l1//l2//l3，AB=a，BC=b，DF=c，求EF。

其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其口答。

例2．已知线段PQ，PQ上求一点D，使PD：DQ=4：1。

先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足，最后使他们实践。

（四）小结

1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行线等分线段定理来解决的。

2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对应线段，否则就会产生错误。

（五）布置作业

第210页第1题；第216页第1题；第218页第3题；

补充（1）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PD：PQ=4：1；（2）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PQ：DQ=4：1

教案说明

1． 教学内容的编排，是在参照课本编排的基础上，作了适当变动，参照课本中的反映的由特殊到一般的精神，结合学生对“过三角一边中点且平行另一边的直线平分第三边”这个定理已有深刻印象，以及常不把1：1归结为“比”中的缺陷，便以经例的观点分析学生熟知的这个定理出发，而后由1：1发展到2：3问题；再由三角形发展到梯形问题；再继而发展到一般的“平行线分线段成比例”定理；最后再作“初步证明”，以取得更加符合认知规律以及学习心理特征的“由近及远”的教学效果。

2．教学过程是以《大纲》中“重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养”，“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心”，“坚持启发式，反对注入式”等规定的精神，结合教材特点，以及学生的学习基础和学习特征而设计的，由于内容较为简单，经过适当引导，便可使学习充分参与认知过程，由于“新”知识与有关的“旧”知识的联系较为直接，并且是特殊与一般的关系，在教学中则着力引导联想和概括的过程。

第二篇：《平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理》教学反思

反思本节课的教学，存在很多的问题，从以下几个方面谈一谈：

一、知识回顾环节

这部分的设计是让学生在要求下独立完成，教师只强调两个问题：

（1）若DE//BC，D是AB的中点，则E是AC的中点，而不能直接得出DE是中位线；

（2）在具体图形中找两个图形A字型和X字型，从而得出比例式。而在巡视各组学生写的情况后，又和学生一起把这两部分知识回顾了一下，既没有收到良好的效果，又浪费了很多的时间，这出是我平时存在的问题，以后就在这方面改进。

二、例题的处理

在数学问题中，做辅助线是学生感到头疼的问题，对有些问题，学生不知从何处入手，做什么样的辅助线，教师应在平时的课堂教学中结合实例给予适当的指点，这也是在这节课中设计例2的初衷，但在例2的处理上，我认为存在以下不足：

一是语言太罗嗦不简炼；

二是在教师点拨后应适时组织学生讨论，通过学习合作得出不同辅助线的做法，也从中体会到各种方法的优劣，为下面小结做平行线的方法打下基础，当时因为感到时间有点紧，再有平时总是侧重培养学生独立思考的能力，没有做到这点；

三是应该由学生最后结合此题小结做平行线的方法同时说明为什么不能过点D做平行线，此时教师也代劳了，尽管在教学中能及时启发、引导学生独立思考，积极探索，但还没有完全做到充分认识学生、理解学生，充分调动学生积极参与。

三、课堂评价

课堂评价不是指教师课堂教学的对错、好坏、优劣的评价，而是指教师对学生课堂学习状况的评价，是教师组织、引导、帮助学生自主学习的重要手段，在我的课堂教学中没有给予足够的重视，应在平时备课时做好充分的准备，什么问题需要什么样的评价，什么时候对什么问题进行评价，怎么样评价，通过评价达到什么样的目的。

总之，新课标的一个重要理念就是把培养学生的主体意识，主体能力及学科素养作为教学过程中始终不渝的追求目标，因此要求教师转变教育观念，提高专业素养，不断发展专业化水平，为学生的终身发展做出最大的贡献。

第三篇：平行线分线段成比例证明题

例1：已知：△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E 求证：

ADAEDE ABACBC

例2：已知：△ABC中，E、G、D、F分别是边AB、CB上的一点，且GF∥ED∥AC，EF∥AD BGBD求证： BEBC.例

3、已知：△ABC中，AD为BC边上的中线，过C任作一直线交AD于E，交AB于F。AE2AF求证： EDFB

例4：如图，已知：D为BC的中点，AG∥BC，求证：

例5：已知：△ABC中，AD平分∠BAC，求证：

例6：△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD交AD于E，交AB于M，求证：

EGAF EDFC

ABBD（过C作CE∥AD交BA的延长线于E）.ACDCBDAB DCAM

练习：

1、已知：如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2 BD=3.6，求CD的长。

2、已知：如图，四边形AEDF为菱形，AB=12，BC=10，AC=8，求：BD、DC及AF的长。

3、已知：如图，B在AC上，D在BE上，且AB:BC=2:1，ED:DB=2:1 求AD:DF

4、已知，如图，E在BC上，F在AC的延长线上，且AF=BE，ACDEBCDF

求证： 方法1：过E作EG∥AF交AB于G 方法2：过E作EF∥AB交AC于F

5、已知：如图，平行四边形 ABCD中，EF∥AD求证：GH∥AB

第四篇：初二数学平行线分线段成比例定理

初二数学

【教学进度】

几何第二册第五章 §5.2[教学内容]

平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]

一、主要知识点

1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析

1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比

，可以说成“上比下等于上比下” BCEFABDE

，可以说成“上比全等于上比全” ACDFBCEF

，可以说成“下比全等于下比全”等 ACDF

2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论）基本图形

AE3AE3EG

3∴∴又∵

EC4AC7DC7

极 EG=3X，DC=7X（X>0），则

BD2221

4∴ DB=DC7xx DC3333

14x

BD14

∴

EG3x9

∵

例3

分析BC//FE例4 E，DB点评（1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可

例5 如图9，A,B,C,分别在△ABC的三边BC、AC、AB或其延长线上，且AA//BB//CC

111求证： AABBCC

分析所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题，一般情况下，要将其转化为线段比的形式。

CCBCCC证明：∵CC//AA ∴∵CC//BB∴

AABABBCCCCBCACBCAC11 ∴1∴AABBBAABABAABB

点评 例6 EF//CD分析在△例7 BF⊥交BC求证：分析 可延长证明：∴△

① 求证ME=NF

② 当EF向上平移 图（2）各个位置其他条件不变时，①的结论是否成立，请证明你的判断。

[练习与测试参考解答或提示]

1552

1．；2．18cm；3．,；4．9：4；5．9；6．10，18；7．9：1；8．2；9．6

235

10．提示，过D作DH//AC交BG于H点，则得结论。

BCECAGAE

，又AE=EC，BD=AB，即可GDDHBDDH

EFCEBEEG，同理，而EB=CE，CD=AD，

AFADCDCG

11．略证，由∠DCA=∠EBA=600，有CD//BE，则

则

EGEF，所以FG//AB 

CGAF

DEAE

12．略证，由DE//BC，有∠EDB=∠DBC，又∠ABC=∠DBC，所以∠EDB=∠ABD，则BE=DE，

BCAB

所以DEABDEBEAEABBCABABAB

1

13．①由AD//EF//BC，有EMBECFNF

ADABCD

AD，EM=NF6

②仍成立，证明同①。

第五篇：【教案】 相似三角形及平行线分线段成比例

27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例

一、教学目标： 知识目标

理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。能力目标

通过应用，培养识图能力和推理论证能力。情感态度与价值观

（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。

二、重、难点

重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。

三、教学过程

1、复习设疑，引入新课

内容：教师提问：（1）什么是成比例线段？（2）什么是相似多边形？

（3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？

目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。

2、小组活动，探究定理

探究活动一：

内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。

A1A2B1B2,（１）计算

你有什么发现？ A2A3B2B3（２）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？

(图2）

（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？

归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。

效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。

2.议一议： 内容：教师提问： 1.如何理解“对应线段”？

2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？ 3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

A1A2B1B2=若a ∥b∥ c，则

A2A3B2B3。

A1A2BBA2A3B2B3=12=AAB1B3，A1A2B1B2，由比例的性质还可以得到：13A2A3B2B3=A1A3B1B3等。

目的：让学生在探究得出结论的基础上，对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。并掌握定理的符号语言，进一步发展推理能力。

效果：学生从几何直观上很容易找出“对应线段”。利用比例的性质写出成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那就是都体现了“对应”二字。探究活动二：

内容：如图3，直线a ∥b∥ c，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3。过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。（如图4），图4中有哪些成比例线段？

（图3）

(图4）

推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。目的：让学生脱离表格，不通过计算，运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论。

效果：学生已经学习过特殊四边形的性质与证明，所以很容易得出A1C2=B1B2，C2C3=B2B3，进而得出推论。而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。

目的：加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，发展学生的应用能力。效果：经过这一环节的变式应用，学生能够归纳出平行线分线段成比例定理及其 推论的本质特征。3.探究活动三：

内容:直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且AB=BC则图中还有哪些线段相等？

l4

l6

C

O F

l3

B

N E

l2

A D M l思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？

2.如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2:3? 目的：让学生体会平行线等分线段定理可看作是平行线分线段成比例定理的特例。解决课堂引入时提出的问题。

效果：学生很容易得出此时的对应线段的比值为1，也为后面探究相似与全等的关系做了铺垫。

3、灵活应用

内容：例

1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC,（1）.如果AE = 7, FC = 4，那么AF的长是多少？

（2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5，那么FC的长是多少？

课堂练习： B

C

E

F A

1、如图，已知l1//l2//l3,（1）.在图（1）中AB = 5, BC = 7，EF=4，求DE的长。

（2）.在图（2）中DE = 6, EF = 7，AB=5，求AC的长。

2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且 DE∥BC,（1）.如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？

（2）.如果AB = 5cm, AD=3cm，AC = 4cm，那么EC的长是多少？

目的：通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，规范书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解。

效果：由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，实现理性升华，培养语言表达能力。

4、课堂小结：

内容：本节课你有哪些收获？ 目的：

通过师生反思评价，实理知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过作业和考题全面巩固平行线分线段成比例定理及其推论。效果：

学生都能归纳出：

1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； B D

E

A C（1）

F

C F B E A D

D A

E B

（2）

C

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

5、布置作业：