高中数学：2.2.1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)

第一篇：高中数学：2.2.1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案

教学目标：

（一）知识与技能：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；

（三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时2.2.1综合法和分析法

（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

114”，试请此结论推广猜想.aa11112.... n2）（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则a1a2an1112.已知a,b,cR，abc1，求证：9.abc先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 1.已知 “若a1,a2R，且a1a21，则

二、讲授新课：

1.教学例题：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？

→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

2.练习：

① A,B

为锐角，且tanAtanBbcaacbabc3.abctanAtanBAB60.（提示：算3tan(AB)）

② 已知abc, 求证：

3.小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：

1.求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2.（教材P100 练习1题）

（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）

2.ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：

3.作业：教材P102A组 2、3题.第二课时2.2.1综合法和分析法

（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式

二、讲授新课：

1.教学例题：

① 出示例

1

讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程（注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：

2114.abbcac113.abbcabc（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）ab(a0,b0).2要点：逆推证法；执果索因.1223133③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)(xy).先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P97.讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例3：见教材P99.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2.练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.ll，截面积为()2，周长为l22ll2l2l2的正方形边长为，截面积为()，问题只需证：()>().442

43.小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为

所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）

三、巩固练习：

1.设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4absinC，即证：2cosC

CCcosC2，即证：sin(C

2.作业：教材P100 练习2、3题.第三课时2.2.2反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）

2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.讨论如何证明这个命题？

3.给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。

但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课：

1.教学反证法概念及步骤：

① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么a

② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2.教学例题：

6)1（成立）.① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例2：

.（同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为m/n）

m/n（m,n为互质正整数），从而：(m/n)23，m23n2，可见m是3的倍数.设m=3p（p是正整数），则 3n2m29p2，可见n 也是3的倍数.这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）.m/n.③ 练习：如果a1为无理数，求证a是无理数.提示：假设a为有理数，则a可表示为p/q（p,q为整数），即ap/q.由a1(pq)/q，则a1也是有理数，这与已知矛盾.∴ a是无理数.3.小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

三、巩固练习： 1.练习：教材P1021、2题2.作业：教材P102A组4题.

第二篇：高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案 新人教A版选修1-2

§2.2.1综合法和分析法(二)

.2.根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.4850

复习1：综合法是由导;

复习2：基本不等式:

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：分析法

问题：

ab如何证明基本不等式(a0,b0)

2新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示

要点：逆推证法；执果索因

※ 典型例题

例

1变式：求证

小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体SABC中,SA面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AFSC.变式：设a,b,c为一个三角形的三边,s1

2(abc),且s22ab,试证s2a.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※ 动手试试

练1.求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2.设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab

三、总结提升

※ 学习小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立.※ 知识拓展

证明过程中分析法和综合法的区别:

在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.,其中最合理的是

A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法

ba2.不等式①x233x;②2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正确

3.已知yx0,且xy1,那么

xyxyA.xy2xyB.2xyxy 22

xyxyC.x2xyyD.x2xyy 22

2224.若a,b,cR,则abcabbcac.5.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(ba0),则其浓度为;若再加入m千克的白糖(m0),糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式:.1.已知ab0,(ab)2ab(ab)2

求证

:.8a28b

2.设a,bR,且ab,求证:a3b3a2bab2

第三篇：高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案2_新人教A版选修1-2

§2.2.1综合法和分析法（3）

学习目标：1.能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;

2.学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3.养成勤于观察、认真思考的数学品质.复习1：综合法是由导;2：分析法是由索.新课导学：综合法和分析法的综合运用

问题：已知,k

2(kZ),且sincos2sin,sincossin

2, 求证:1tan21tan21tan2

2(1tan2).新知：用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：

试试：已知tansina,tansinb，求证：(a2b2)216ab.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.例1： 已知A,B都是锐角，且AB

2，(1tanA)(1tanB)2，求证：AB45

变式：已知

1tan

2tan

1，求证：3sin24cos2.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体PABC中，PDABC，ACBC，D是AB的中点，求证：ABPC.变式：如果a,b0，则lgablgalgb

2

2.总结提升：学习小结

综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一

.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.※ 动手试试

练1.设实数a,b,c成等比数列，非零实数x,y分别为a与b，b与c的等差中项，求证

axc

y

2.练2.已知AB54，且A,Bk

(kZ)，求证：(1tanA)(1tanB)2.三、总结提升 ※ 学习小结

1.直接证明包括综合法和分析法.2.比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径

.※ 知识拓展

综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.给出下列函数①yxx3，②yxsinxcosx,③ysinxcosx,④y2x2x,其中是偶函数的有（）.A．1个B．2个C．3 个D．4个

2.m、n是不同的直线，,,是不同的平面，有以下四个命题（）.①////// ；②

m//m③mm//n

m// ；④

nm//

其中为真命题的是（）A．①④B.①③C．②③D．②④

3.下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）.A．a，b均为负数，则abb

a



2B

2 C．lgxlogx102

D．aR,(1a)(1

1a)

44.设α、β、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若α⊥r，β⊥r，则α∥β

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥α，n⊥α，则m⊥n 其中真命题是.5.已知p:2x31,q:x(x3)0, 则p是q的条件.1.已知a,b,cR，a,b,c互不相等且abc

1.

1a11bc

.2.已知a,b,c,d都是实数，且a2b21,c2d21，求证：|acbc|1.

第四篇：2.2.1综合法和分析法

数学选修1-2第二章推理与证明编号：3姓名：班级：评价：编制人：许朋朋 赵阳领导签字：

§2.2.1 综合法和分析法

一、教学目标：

（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；

（三）情感、态度与价值观：，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

三、教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

四、教学过程:

（一）导入新课：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通

过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

（二）新课：

1.综合法的概念：

综合法的特点：用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，综合法可表示为：PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

例1：已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a

2)4abc

例

2、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例

3、已知a,bR,求证aa

bb

ab

ba

.注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。2.分析法的概念： 分析法的特点：分析法可表示为：QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

例4：求证725。

3.分析法和综合法结合的应用：在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条

件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘

．若

由P‘可以推出Q‘

成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

数学选修1-2第二章推理与证明编号：3姓名：班级：评价：编制人：许朋朋 赵阳领导签字：

例5、已知,k



(kZ)，且 sincos2sin①sincossin2②

tan

21tan2

求证：

1

1tan22(1tan2

)。

（三）课堂小结：

综合法和分析法的特点：

（四）当堂检测

1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac<3a索的因应是()A．a－b>0

B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0

2．设a>0，b>0，a＋b＝1.求证：(1)111a＋bab≥8；(2)a＋1a2＋b＋1b2≥252.3．若a，b，c为不全相等的正数，求证：lga＋bb2lg＋cc＋a

2＋lg2>lga＋lgb＋lgc.，求证(a－b)2a＋b(a－b)2

4．已知a>b>08a2－ab<8b.（五）布置作业：

1、a,b,cR,求证

abc)

2.设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,s=1

(a+b+c)

试证s<2a

第五篇：2.2.1 综合法和分析法

2．2 直接证明与间接证明

2．2.1 综合法和分析法

整体设计

教材分析

在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．

课时分配

2课时．第1课时综合法，第2课时分析法．

第1课时

教学目标

1．知识与技能目标

(1)理解综合法证明的概念；

(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．

2．过程与方法目标

(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；

(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．

3．情感、态度与价值观

(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；

(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．

重点难点

重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；

(2)了解综合法的思考过程、特点．

难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；

(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．

教学过程

引入新课

证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．

提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．

请同学们证明：

已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．

活动结果：(学生板书证明过程)

证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备．

探究新知

提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程．

活动设计：学生自由发言．

教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程．

首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；

其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2＋y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；

最后，给出证明即可．

(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)

这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立．

活动结果：

综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

设计意图

让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义．

运用新知

例1在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将A，B，C成等差数列转化为2B＝A＋C，a，b，c成等比数列转化为b2＝ac，接着把隐含条件显性化，将A，B，C为△ABC三个内角明确表示为A＋B＋C＝π，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状．这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论．

证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①

由A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②

π由①②，得B＝，③

3由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④

由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤

π由②③⑤，得A＝B＝C＝△ABC为等边三角形． 3

点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论．

bn1an111设a＋b>0，n为偶数，证明＋.abab－－

bn1an111an－bnan1－bn1证明：＝，ababab－－－－

(1)当a>0，b>0时，(an－bn)(an1－bn1)≥0，(ab)n>0，－－

an－bnan1－bn1bn1an111所以≥0，故＋ababab－－－－

(2)当ab为负值时，不妨设a>0，b<0，由于a＋b>0，所以a>|b|.又n是偶数，所以(an－b)(ann－1－bn－1an－bnan1－bn1bn1an111)>0.又(ab)>0，故>0，即＋.ababab－－－－n

bn1an111综合(1)(2)可知，≥ abab－－

理解新知

(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”．

(2)框图表示

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．

2如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．

证明SO⊥平面ABC.思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论．

证明：由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝2SA，且AO⊥BC.22，从而OA2＋SO2＝

SA2.2又因为△SBC与△ABC全等，故有SO⊥BC，且SO＝

所以△SOA为直角三角形，所以SO⊥AO.又AO∩BO＝O，所以SO⊥平面ABC.点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过

程，同时熟悉综合法证明的操作流程图．

巩固练习

11＋已知a，b，c∈R，求证：(a＋b＋c)()≥4.ab＋c

a＋b＋ca＋b＋cb＋c11a＋证明：由于a，b，c∈R，则(a＋b＋c)(＋＝＋＝1＋＋1＋ab＋caab＋cb＋c

b＋ca＝2＋(≥2＋ab＋cb＋ca4.ab＋c

变练演编

＋已知x，y，z∈R，a，b，c∈R，b＋c2c＋a2a＋b2求证：＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式．

b＋c2c＋a2a＋b2b2c2c2a＋证明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，则＋y＋＝＋＋＋abcaabbabbacacby2＋2＋2＝(x22)＋(x2＋z2)＋(2＋z2)≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋xz＋yz)，ccabacbc

b＋c2c＋a2a＋b2所以有＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤．

达标检测

1．综合法：(1)一般的，利用____________，经过____________最后________，这种证明方法叫做综合法．

2．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列各式中，一定正确的是()

A．ac≥bB．ab≥c

C．bc≥aD．ab≤c

答案：1.已知条件和某些数学定义，公理，定理 一系列的推理论证 推导出证明的结论成立

2．B

课堂小结

1．综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．

2．综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

3．综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题．

布置作业

课本本节练习1、3.补充练习

基础练习

1．△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosA＝cosC，求证：△ABC为等边三角形．

证明：由3b＝3asinB3sinB＝23sinAsinBsinA3π2πA＝.23

3π由cosA＝cosCA＝C，且A＋B＋C＝π，所以A＝C＝B.所以△ABC为等边三角3

形．

拓展练习

22．已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，f(x)的导函数是f′(x)．对任意两个不相等的正数x

fx1＋fx2x1＋x2x1、x2，证明当a≤0时，>f(． 2

22证明：由f(x)＝x2＋＋alnx，x

得fx1＋fx212211a(x1＋x2)＋(＋＋1＋lnx2)22x1x22

x1＋x212＝(x2＋x)＋＋alnx1x2.221x1x2x1＋x2x1＋x22x1＋x24＝()＋aln，222x1＋x2

∵x1≠x2且都为正数，x1＋x2212122有(x2＋x)>[(x＋x)＋2xx]＝(.① 212214122

2又(x1＋x2)2＝(x21＋x2)＋2x1x2>4x1x2，∴x1＋x24.② x1x2x1＋x2

x1＋x2x1＋x2∵x1x2<∴lnx1x2

x1＋x2∵a≤0，∴alnx1x2>aln.③ 2

fx1＋fx2x1＋x2由①、②、③得． 2

2设计说明

本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容．本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力．

备课资料

例1已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1，求证：a＋bc3.思路分析：此题是应用综合法证明不等式问题，需要用到不等式中的均值不等式的知识来进行证明．

证明：∵a，b，c∈R，∴a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac.∴2(a＋b＋c)≥ab＋bcac)．∴a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a＋b＋c)＝3.∴(a＋b＋c)2≤3.abc3.点评：运用综合法证明不等式，关键是要由已知条件寻找到正确的所需知识，进而来证＋

明问题．

例2设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；

3(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求证：

21{为等差数列． bn

思路分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，恰当处理递推关系是关键．

证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，an＋12m两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，由于m≠－3，∴.∴{an}是等比数列． anm＋

3(2)b1＝a1，q＝f(m)＝2m332bn－1∴n∈N，n≥2时，bn＝f(bn－1)＝×.22bn－1＋3m＋3

11111∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴＝.∴{}是首项为1，公差为 bnbn－13bn3

点评：本题主要考查利用综合法和数列的定义，合理处理递推关系的数列证明问题． 例3在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.思路分析：此题事实上比较简单，但学生入手却有些不知所措．对已知条件(1)a2－c2＝2b左侧是二次的，右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件

(2)sinAcosC＝3cosAsinC，过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口．

解：由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.b由正弦定理，得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c

由①，②解得b＝4.点评：在解题中应注意总结，提高对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力．

(设计者：莫静波)