第一篇:综合法与分析法(公开课教案)
肥东锦弘中学高中部公开课教案设计·综合法和分析法 肥东锦弘中学高中部公开课教案设计
2.2.1综合法与分析法
授课时间:2013.4.16下午第一节地点:高二(15)班授课人:赵尚平
一.教材分析
《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的,研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题.本节课是《直接证明与间接证明》的第一节,主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点,并引导学生比较两种证明方法的优点,进而灵活选择证明方法,规范证明步骤.本节课的学习需要学生具有一定的认知基础,应尽量选择学生熟悉的例子.
二.教学目标
1.知识与技能目标
(1)了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法.
(2)了解综合法和分析法的思维过程和特点.
2.过程与方法目标
(1)通过对实例的分析、归纳与总结,增强学生的理性思维能力.
(2)通过实际演练,使学生体会证明的必要性,并增强他们分析问题、解决问题的能力.
3.情感、态度及价值观
通过本节课的学习,了解直接证明的两种基本方法,感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用,养成言之有理、论之有据的好习惯,提高学生的思维能力.
三.教学重难点
重点:综合法和分析法的思维过程及特点.
难点:综合法和分析法的应用.
四.教具准备:多媒体.五.教法与学法:师生合作探究
六.教学过程:
(一)创设情境引入新课
证明对我们来说并不陌生,我们在上一节学习的合情推理,所得的结论的正确性就是要证明的,并且我们在以前的学习中,积累了较多的证明数学问题的经验,但这些经验是零散的、不系统的,这一节我们将通过熟悉的数学实例,对证明数学问题的方法形成较完整的认识.
(二)新课讲授
合情推理分为归纳推理和类比推理,所得的结论的正确性是要证明的,数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明.思考:已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc
设计意图:引导学生应用不等式证明以上问题,引出综合法的定义.证明:因为bc2bc,a0,所以a(bc)2abc,因为ca2ac,b0,所以b(ca)2abc.因此, a(bc)b(ca)4abc.***
2一.综合法
1.定义:
证,最后推导出所要证明的结论成立.2.思维特点
3.框图表示:(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)
PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ
例1 已知a,b,c是不全相等的正数,abbccalglglg
algblgc 求证:lg
总结:本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明.例2 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b,c,且A,B,C成等差数列, a, b,c
符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.
1.定义:一般地,直至最后,把要证
明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为
止,这种证明方法叫做分析法.2.它与综合法是对立统一的两种3.框图表示:(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件)
QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP
4.分析法的书写格式:
例3 求证:372 要证:
证明:因为3和25都是正数,只要证:所以要证372只需证: 只需证(7)2(2)2显然成立 展开得1022120
只需证215,上述各步均可逆
只需证2125 所以,结论成立因为2125显然成立,所以725 在本例中,如果我们从“21<25 ”出发,逐步倒推回去,就可以用综合法证出结论.但
由于我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法比较困难.练习:在锐角ABC中,求证:tanAtanB
1七.课时小结:本节课所学的知识结构
八.作业布置
1.必做题:教材习题2.2 A组2、3题.
2.选做题:教材习题2.2 B组2、3题.
九.板书设计
2.2.1综合法和分析法一.综合法二.分析法三.例题分析1.定义1.定义例1练习12.框图表示2.框图表示例2练习23.特点.3.特点例3练习3
十.教学反思
备用例题1:已知x,y,zR,a,b,cR
求证:bc2ca2ab2xyz
2(xyyzzx)
备用例题2: 已知1,求证:cos-sin=3(cos+sin).
第二篇:分析法与综合法
实验中学高二数学(理科)学案日期:审核人:班级:_________姓名:_________等级:
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2.2分析法与综合法
学习目标:
1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的分析法;
2.会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程.3.根据问题的特点,结合综合法、分析法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.二.【使用说明及学法指导】
1.先精读一遍教材,用红色笔进行勾画,再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提出的问题;
2.限时完成导学案合作探究部分,书写规范。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑;
三.自学指导:
证明方法可以分为直接证明和间接证明
1.直接证明分为和
2.直接证明是从命题的或出发,根据以知的定义,公
里,定理,推证结论的真实性。
3.综合法是从推导到的方法。而分析法是一种从追溯到的思维方法,具体的说,综合法是从已知的条件出
发,经过逐步的推理,最后达到待证结论,分析法则是从待证的结论出发,一步一步
寻求结论成立的条件,最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综
合法是由导,分析法是执索。
【预习自测】
【我的疑惑】
课中案 一.【教学重点与难点】: 重点: 分析法的思维过程及特点 难点:分析法的应用 二.合作、探究、展示 变式1求证
实验中学高二数学(理科)学案日期:审核人:班级:_________姓名:_________等级:
—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 例2在四面体SABC中,SA面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足
为F,求证AFSC.三.课堂检测
1.2,其中最合理的是()
A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法
ba2.不等式①x233x;②2,其中恒成立的是()ab
A.①B.②C.①②D.都不正确
【课堂小结】
1.知识方面
2.数学思想方法
课后案
1.已知yx0,且xy1,那么()xyxyA.xy2xyB.2xyxy 22
xyxyC.x2xyyD.x2xyy 22
2.若a,b,cR,则a2b2c2abbcac.
第三篇:综合法分析法
综合法分析法
学习目标:
结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程.教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.高考题:1.(2012安徽理19)
(Ⅰ)设x1,y1,证明xy111xy;xyxy,logablogbclogcalogbalogcblogac.(Ⅱ)1abc,证明
2、(2010全国卷1文数)(10)设alog32,bln2,c52则
(A)abc(B)bca(C)cab(D)cba 1教材分析:分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。
通过本节的学习,学生积极参加课堂教学,顺利地完成了教学任务,达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差,知识遗忘严重,在一定程度上影响了教学进度,使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中,要特别注意学生的实际水平,让学生提前预习,以保证课堂教学进度。通过本节的学习,使学生了解直接证明的基本方法----综合法,了解综合法的思考过程、特点;培养学生的数学计算能力,分析能力,逻辑推理能力。本节的教学应该是比较成功的。
考点预测:1.高考题多以选择题和填空为主,是高考常考内容;
2.主要考察综合法。
授课过程:
一、复习准备:
1.提问:基本不等式的形式?
2.讨论:如何证明基本不等式ab(a0,b0).2(讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件)
二、讲授新课:
教学例题:
综合法证题
例
1、已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:a2b2c2(abc)
2证明:左-右=2(ab+bc-ac)
∵a,b,c成等比数列,∴b2ac
acac 又∵a,b,c都是正数,所以0bac≤2
∴acb
∴2(abbcac)2(abbcb2)2b(acb)0
∴a2b2c2(abc)2
abba例
2、已知a,bR,求证abab.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法
进行。
证明:1)差值比较法:注意到要证的不等式关于
a,b对称,不妨设ab0.ab0
aabbabbaabbb(aabbab)0,从而原不
等式得证。
2)商值比较法:设ab0,aabbaa1,ab0,ba()ab1.bb ab故原不
等式得证。
注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差
(或作商)、变形、判断符号。
例
3、若实数x1,求证:3(1x2x4)(1xx2)2.证明:采用差值比较法:
3(1x2x4)(1xx2)
2=33x23x41x2x42x2x22x
3=2(x4x3x1)
=2(x1)2(x2x1)13=2(x1)2[(x)2].2
413x1,从而(x1)20,且(x)20, 24
13∴2(x1)2[(x)2]0, 24
∴3(1x2x4)(1xx2)2.分析法证题
例1.设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>
a2b+ab2.
证明:(用分析法思路书写)
要证 a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,即需证a2-ab+b2>ab成立。(∵a+b>0)
只需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立。
而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)
2>0显然成立,由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2
>0
亦即a2-ab+b2>ab
由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>
(a+b)ab
即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证
例
2、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2)
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d
2即证2abcd≤b2c2+a2d2
即证0≤(bc-ad)2
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法
证
二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+
分析三:用比较法 证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法
∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2b2)(c2d2)例
3、设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.证明:(用分析法思路书写)
要证 a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,即需证a2-ab+b2>ab成立。(∵a+b>0)
只需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立。
而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立,由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0
亦即a2-ab+b2>ab
22由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a-ab+b)>(a+b)ab
即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证.课堂小结
分析法由要证明的结论Q思考,一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,,直到所有的已知P都成立;
比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径.1、a,b,cR,求证
abc)
2、设a, b, c是的△ABC三边,S是三角形的面积,求证:c2a2b24ab.略证:正弦、余弦定理代入得:2abcosC4absinC,即证:2cosCC,即:CcosC2,即证:sin(C)1(成6
立).新学案31页6、7,33页3、4.作业:教材P52 练习2、3题.
第四篇:综合法与分析法 2
高
(二)数学选修2-2第二章 推理与证明 导学案 课题:综合法与分析法(2)
课型:新课
教学目标:
知识与技能
结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法
教学重点:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力;
会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程.教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.教学方法:探究、精讲
学习方法:自主、合作探究学习法
教学过程:
【自主学习】学习内容:
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的,直至最后,把要证明的结论归结为判定(已知条件、定理、定义、公理等)为止。这种方法叫做。
【合作探究】
探究任务:
1.分析法是合情推理还是演绎推理?
2.综合法与分析法的区别是什么?
【精讲释疑】
例题分析:
例:基本不等式
要证
abab,2只需证abab(a>0,b>0)的证明就用了上述方法。2
ab2ab,只需证ab2ab0,只需证(a)20 由于(a)20显然成立,因此原不等式成立。
变式练习: 变式:求证725。
【内化反馈】
1xa+b,B=f(ab),C=f2ab,则A、B、C的大小关系+1.已知函数f(x)=,a、b∈R,A=fa+b22
为()
A.A≤B≤C
C.B≤C≤AB.A≤C≤B D.C≤B≤A
2.对任意的锐角α、β,下列不等式关系中正确的是()
A.sin(α+β)>sinα+sinβ
B.sin(α+β)>cosα+cosβ
C.cos(α+β)>sinα+sinβ
D.cos(α+β) 3.设a、b、c∈R,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的()+ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知y>x>0,且x+y=1,那么() A.xC.xx+y22 1.给出下列不等式: ①a>b>0,且a+1,则ab>ab; 42b22 2a2+b2②a,b∈R,且ab<02; ab ③a>b>0,m>0,则a+ma> b+mb 4④x≥4(x≠0). x 其中正确不等式的序号为________. 2.已知a、b、c表示△ABC的三边长,m>0,求证: 3.若a,b,c为不全相等的正数,求证:lgaa+mb+mc+mbca+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.【小结】: 分析法由要证明的结论Q思考,一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,,直到所有的已知P都成立; 比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径.【作业】: 教材P100 练习2、3题. 教学反思:通过本节的学习,学生积极参加课堂教学,顺利地完成了教学任务,达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差,知识遗忘严重,在一定程度上影响了教学进度,使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中,要特别注意学生的实际水平,让学生提前预习,以保证课堂教学进度。 直接证明--综合法与分析法 1.教学目标: 知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和 综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析 问题和解决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点:了解分析法和综合法的思考过程、特点 3.教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点 4.教具准备:与教材内容相关的资料。 5.教学设想:分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 6.教学过程: 学生探究过程: 合情推理分归纳推理和类比推理,所得的结论的正确性是要证明的,数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。 若要证明下列问题: 已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc 教师活动:给出以上问题,让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。 学生活动:充分讨论,思考,找出以上问题的证明方法 1.综合法 综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式用综合法证明不等式的逻辑关系是: 222 2PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ 综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公例 1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.教师——引导 学生——小组讨论 讨论:若题设中去掉x1这一限制条件,要求证的结论如何变换? 2.分析法 证明数学命题时,还经常从要证的结论 Q 出发,反推回去,寻求保证 Q 成立的条件,明尸 2 成立,再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等)为止.乞,再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ;为了证 „ „ 直到找到一个明显成立的条件(已知条即使 Q 成立的充分条件尸 1 .为了证明尸 1 成立,分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么用分析法证明不等式的逻辑关系是: QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP 分析法的思维特点是:分析法的书写格式: 要证明命题B为真,只需要证明命题B1为真,从而有„„ 这只需要证明命题B2为真,从而又有„„ „„ 这只需要证明命题A而已知A为真,故命题B例 3、求证372 学生——自主解决 例4 已知,k 2(kZ),且 sincos2sin① sincossin2②1tan21tan2求证:。221tan2(1tan) 教师——引导 学生——小组合作交流 练习:课本89页1,2,3 课后作业:第84页1,2,3 板书设计第五篇:_直接证明--综合法与分析法