选修2-2§2.2.1综合法与分析法

第一篇：选修2-2§2.2.1综合法与分析法

人教版数学选修精品——推理与证明

§2.2.1直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为b2c22bc,a0,所以a(b2c2)2abc,因为ca2ac,b0,所以b(ca)2abc.因此, a(bc)b(ca)4abc.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1.综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式用综合法证明不等式的逻辑关系是： 2222222

2PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公例

1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C;A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之

2间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=． ⑧

由①②，得B=.3由a, b，c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及③，可得

bac2accosBacac.22222

再由④，得a2c2acac.2(ac)0,因此ac.从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=.3

所以△ABC为等边三角形．

解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

2.分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3······直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么用分析法证明不等式的逻辑关系是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：分析法的书写格式：

要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

„„

这只需要证明命题A而已知A为真，故命题B例

3、求证3

证明：因为3只需证明(3725 7和25都是正数，所以为了证明37)(25)22725 展开得1022120

即22110,212

5因为2125成立，所以

(3227)(25)成立 即证明了3725

说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故B必真

在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特

‘‘点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例4 已知,k(kZ)，且

2sincos2sin①

sincossin②2

求证：1tan

1tan221tan2(1tan)22。

分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系

2222(sincos)2sincos1，于是，由 ①一2×② 得4sin2sin1．把

4sin2sin1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：22

统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为cossin

cossin222212

12(cossin),再与4sin2sin1比较，发现只要把c(os222222sin中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．)2证明：因为(sincos)2sincos1，所以将 ① ② 代入，可得 4sin2sin1.③ 2

另一方面，要证

sin21tan1tan2221tan2(1tan)22 1

即证

12sin

cos

22212(1sincossincos1

2222，)222即证cossin

即证12sin

22(cossin)，2122(12sin)，即证4sin2sin1。

由于上式与③相同，于是问题得证。

课堂小结：直接证明的两种方法-综合法和分析法

课后作业：第91页A组 2,3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

首先，介绍为什么要引入证明，以及经常用的两种证明方法，主要介绍的是直接证明的两种方法。然后具体讲解综合法和分析法并举例说明，强调分析法的步骤以及两者的区别。最后举一个两种方法综合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

222222a(bc)b(ca)c(ab)6abc

证明：∵b2c2≥2bc,a＞0,∴a(b2c2)≥2abc①

同理 b(c2a2)≥2abc②

c(ab)≥2abc③ 2

2因为a，b，c不全相等，所以b2c2≥2bc, c2a2≥2ca, a2b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例

2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)

2证明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴b2ac

又∵a，b，c都是正数，所以0b

∴acb

∴2(abbcac)2(abbcb)2b(acb)0

∴abc(abc)

2422例

3、若实数x1，求证：3(1xx)(1xx).22222ac≤ac2ac

证明：采用差值比较法：

3(1xx)(1xx)242

2=33x3x1xx2x2x2x

43=2(xxx1)

=2(x1)(xx1)=2(x1)[(x224242322

12)

2234].1

2)2x1,从而(x1)0,且(x

4]0,22340, ∴2(x1)[(x24212)2∴3(1xx)(1xx).例

4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2)

分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即证ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即证2abcd≤b2c2+a2d

22即证0≤(bc-ad)

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

***22222证法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比较法

证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a-2ab+b＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命题得证.2222

第二篇：综合法与分析法（范文模版）

课题：§2.2.1 综合法与分析法（说课稿）

各位评委、各位老师：

大家好！我是来自……..，希望我今天的说课能给大家留下美好的印象。我说课的课题是高中课程标准实验教材数学选修2－2第二章第二节的《综合法与分析法》。我想通过这节课表达一种教学理念——关注学生成长，构建高效课堂。本节说课分教学设计和教学反思两部分。在教学设计部分，我将以“教什么，怎么教，为何这样教”为思路从以下这五个方面进行阐述。 教材分析-------教材编写背景、地位与作用、重点与难点（关于教材分析我将从……三个方向进行说明） 学情分析-------有利因素、不利因素（然后从……两点来对学情进行分析）

 目标分析-------知识目标、能力目标、情感目标（…….是本节课的三大目标） 教法分析-------教法、学法

（之后是从教法与学法来分析如何处理本节课）

 过程分析-------定义、范例、练习、归纳总结、作业（本节课的教学过程我将从………五点来安排） 评价分析-------课程设计、课后感想

（最后是对本节课的课程设计的介绍以及课后的一些感想）

一、教材分析

（关于教材分析首先我要讲的是）

1、教材编写背景

在以前的学习中，学生已经能应用综合法、分析法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚。本节结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的思考过程和特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识的用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。

2、教材地位与作用

（我们知道）《综合法和分析法》是直接证明中最基本的两种证明方法，是在学习了合情推理与演绎推理的基础上，学习证明数学结论的两种常见方法，他不是孤立存在的，这种证明方法已经渗透到函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等等，可见，直接证明的方法在中学数学里占有极其重要的地位。

综合法与分析法已经与函数、数列、解析几何等问题结合的比较紧密，这类问题重在考察学生的逻辑思维能力，并且立意新颖，抽象程度高，更能体现高观点、低起点，深入浅出的特点

3、教材的重点和难点

教学重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点

教学难点：结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不

同的证明方法结合使用

（本节课的最终目标是能）从实际问题中，命题的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理，直接推证结果的真实性，从证明过程上认识分析法和综合法的推理过程，学会用综合法和分析法证明实际问题，并且理解分析法和综合法的内在联系（突破本节课难点所在）

二、学情分析

（对于本节课有以下两点值得注意）

1、有利因素

学生在数学的学习中已经初步形成了一定的证明思想，例如初中阶段的几何证明题，高一学习了一元二次不等式，初步证明了一些不等式的问题，在本节课前，学习了合情推理与演绎推理，都为本节课的学习打下了基础

2、不利因素

学生对以学知识的应用意识不强，三角代换、代数式的变形没有目的性，随意性较大。特别是与其他章节知识的交汇存在很大障碍

三、目标分析

根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，我制定本节课的教学目标如下： 知识目标：了解直接证明的两种方法—分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点（这也是本节课重点所在），能运用综合法分析法证题（解决本节课的难点）。

能力目标：通过综合法和分析法的学习，提升分析解决问题的能力。情感目标：通过分析法和综合法的学习体会数学思维的严密性，同时在以后的生活中能应用这种能力解决现实生活中的问题，帮助身心健康成长.四、教法与学法分析

教法：（因为）本节课是直接证明的复习课，学生容易产生对已学习知识的轻视态度与厌倦心理，较难发挥学生的主观能动性。因此，如果教学方法、策略不合适，很难以达到理想的教学效果。为了贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，我采用了回顾、分析、启发、引导、归纳相结合的教学方法，以及一题多解，错题剖析等教学策略，以帮助学生克服上述心理，激发学生的求知欲、探索欲，体现学生的主体作用。

学法：在引导分析时，要留出空间和时间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法弄清。在促进学生知识体系的构建和数学思想方法的形成的同时，要注意面向全体学生，培养学生多观察、勤思考、勤动手的精神，提高学生合作学习和教学交流的能力

五、教学过程设计

我把整个教学过程分为如下三部分

1、定义引入，考点诠释

2、演练导航，规范方法

3、归纳总结，布置作业

1、定义引入，考点诠释

（定义引入这部分内容的设计意图在于突破本节课的重点：综合法、分析法的定义，思考过程）

引入：因为本节属于推理性证明，所以我以学生熟悉的《名侦探柯南》中一个片段引导学生熟悉有序的逻辑思考过程

（看完影片后我要求学生回答从影片中都有什么收获）

提示：每一个结论的得出都必须有证据存在，已有事实是推理的依据。

①学生演示例1的做题过程

例

1、在ABC中，三个角A,B,C的对边分别为a,b,c，且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证：ABC为等边三角形

②教师以推理的结构重组做题过程

（讨论教师书写结构的特点以及看到这种结构的感想）③归纳综合法定义 综合法：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法，又叫顺推证法。

综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，由条件出发，推导出所要证明的结论成立

用P表示已知条件、已有定义、定理、公理等，Q表示所需证明的结论 则框图表示为

特点：由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找“已知”的必要条件

提示学生把解题过程进行综合法概念转化

P(已知条件)Q1 1Q3P（定义）Q2 2Q 3P(定理)Q5Q6Q7Q83

P（已知条件）Q44

Q8QQ9 Q3总结综合法证明问题的步骤

第一步：分析条件，选择方向.仔细分析题目的已知条件（包括隐含条件），分析已知与结论之间的联系和区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法

第二步：转化条件，组织过程.把题目的已知条件转化成解题所需的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑，简介的语言，清晰的思路

第三步：适当调整，回顾反思.解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取

（例2是一个几何证明题，接下来我做的工作是让学生）分析例2思考过程，写出思考过程

（分析完之后教师提示这个过程就是分析法）类比例1总结做题过程得出分析法的定义及流程图

分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、公理等）

分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的条件，它与综合法是对立统一的两种方法

用Q表示要证明的结论，则分析法可得框图表示为

特点：从“未知”看“需知”，在逐步靠近“已知” 分析法的做题步骤

用分析法证明数学命题时，一定要恰当的用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语.2、演练导航，规范方法

做一个综合法与分析法综合使用的例题，熟悉综合法与分析发的使用，突破本节课的难点

3、归纳总结、布置作业

（学生总结什么是综合法，什么是分析法，联系与区别）

分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析法的逆过程。混淆了他们之间的区别和联系易产生思维障碍，要注意两种证明方法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误.六、评价分析

设计意图：数学总结，教师完善.复习课在很大程度上就是一个归纳总结的过程，特别是注意事项的总结.让学生养成善于总结的好习惯，是对学习知识的升华过程.防范错误于未然也是我们追求的目标，可见，归纳总结是非常重要的.同时必要的训练也是提高学生解题能力的重要途径.课后反思：通过本节课的讲授，我进行了以下四个方面的反思：

1、力求达到教师主导学生主体的教学理念，积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去。在动手实践、师生交流、合作探究、生生互动中一次次产生思维火花，使课堂教学成为学生亲自参与的丰富数学思想场所,充分体现了课堂中学生的主体地位。

2、在突破重点问题上，通过学生自主探究、合作交流，质疑等教学方式，引导学生体会逻辑过程，使问题自然流畅，层层递进，体现高效课堂。

3、设计愉快的引入环节让同学们在愉悦的心情中发散思维，体会推理带来的兴奋情绪，同时希望能提高同学们对生活细节的把握，为以后的人际交往打下基础.4、本节课在课堂的把握上还是有所欠缺，引导不是很到位，这是日后我要改进的地方.我的说课到此结束，谢谢各位！

第三篇：分析法与综合法

实验中学高二数学（理科）学案日期：审核人：班级：_________姓名：_________等级：

——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

2.2分析法与综合法

学习目标：

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的分析法；

2.会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.3.根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.二．【使用说明及学法指导】

1.先精读一遍教材，用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提出的问题；

2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范。

3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；

三．自学指导：

证明方法可以分为直接证明和间接证明

1．直接证明分为和

2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公

里，定理，推证结论的真实性。

3．综合法是从推导到的方法。而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出

发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步

寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综

合法是由导，分析法是执索。

【预习自测】

【我的疑惑】

课中案 一.【教学重点与难点】： 重点: 分析法的思维过程及特点 难点：分析法的应用 二．合作、探究、展示 变式1求证

实验中学高二数学（理科）学案日期：审核人：班级：_________姓名：_________等级：

—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 例2在四面体SABC中,SA面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足

为F,求证AFSC.三.课堂检测

1.2,其中最合理的是()

A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法

ba2.不等式①x233x;②2,其中恒成立的是()ab

A.①B.②C.①②D.都不正确

【课堂小结】

1.知识方面

2.数学思想方法

课后案

1.已知yx0,且xy1,那么()xyxyA.xy2xyB.2xyxy 22

xyxyC.x2xyyD.x2xyy 22

2.若a,b,cR,则a2b2c2abbcac.

第四篇：综合法和分析法

课题综合法与分析法课时 1课时课型 新授课 使用说明及学法指导

1.先精读教材P60-P64内容，用红色笔进行勾画，再针对导学案的问题，二次阅读教材部分内容，并回答，时间为15分钟.2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论和质疑.3.必须记住的内容：综合法和分析法证明不等式.学习目标

1.理解并掌握综合法与分析法;2.会利用综合法和分析法证明不等式

3.高效学习，通过对典型案例的探究，激发学习数学激情.学习重点

会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.学习难点

根据问题的特点，选择适当的证明方法.一．预习自学

1.常用直接证明方法有和

2.综合法：一般的，利用已知条件和某些数学、、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫综合法.综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知1→可知2→…结论”.3.分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的条件，直至最后，把证明的结论归结为判定一个为止，这种证明方法叫做分析法，分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知1→需知2→…已知”..如果a,bR, 那么a2b22ab.当且仅当时, 等号成立..如果a,bR,那么ab当且仅当时, 等号成立..如果a

2bc

a,b,cR, 那么

3

当且仅当时, 等

号成立.40.如果a,b,cR, 那么

baab、caa

b

bc



二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a

2b2

c2

abbcca． 证明：∵a，b，cR，∴a2

b2

≥2ab，b2

c2

≥2bc，c2

a2

≥2ac

变式训练

已知a,b,c0,且不全相等,求证:a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

2.用分析法证明 求证:3621.达标检测

1.下列说法不正确的是（）

Ａ.综合法是由因导果的顺推证法Ｂ.分析法是执果索因的逆推证法

Ｃ.综合法与分析法都是直接证法Ｄ.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2．分析法是()

A．执果索因的逆推法B．执因导果的顺推法 C．因果分别互推的两头凑法D．逆命题的证明方法 3.以下数列不是等差数列的是（）

Ａ．Ｂ．π2，π5，π8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P、Q的大小关系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定 5.已知

a,b

是不相等的正数，x

y,y，则

x的大小关系

是.6.用分析法证明（:15（2）

7.已知a,b,cR，abc1，求证：（1a

1)（1b

1)（1c

1)8

8.已知a,b,cR，abc1，求证：1a



11b



c

9

变式.已知a,b,c是两两不相等的正实数，bca

acb

bc

a



b



ac

3

综合法与分析法各有何特点？

【思考·提示】 分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种．平时我们常用分析法探索解题思路，然后用综合法书写步骤．

第五篇：综合法分析法

综合法分析法

学习目标：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.高考题：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）设x1,y1,证明xy111xy;xyxy，logablogbclogcalogbalogcblogac.（Ⅱ）1abc，证明

2、（2010全国卷1文数）（10）设alog32,bln2,c52则

（A）abc（B）bca(C)cab(D)cba 1教材分析：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法----综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。本节的教学应该是比较成功的。

考点预测：1.高考题多以选择题和填空为主，是高考常考内容；

2.主要考察综合法。

授课过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式ab(a0,b0).2（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

教学例题：

综合法证题

例

1、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)

2证明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴b2ac

acac 又∵a，b，c都是正数，所以0bac≤2

∴acb

∴2(abbcac)2(abbcb2)2b(acb)0

∴a2b2c2(abc)2

abba例

2、已知a,bR,求证abab.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法

进行。

证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于

a,b对称，不妨设ab0.ab0

aabbabbaabbb(aabbab)0，从而原不

等式得证。

2）商值比较法：设ab0,aabbaa1,ab0,ba()ab1.bb ab故原不

等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差

（或作商）、变形、判断符号。

例

3、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)

2=33x23x41x2x42x2x22x

3=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)13=2(x1)2[(x)2].2

413x1,从而(x1)20,且(x)20, 24

13∴2(x1)2[(x)2]0, 24

∴3(1x2x4)(1xx2)2.分析法证题

例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞

a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

例

2、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2)

分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即证2abcd≤b2c2+a2d2

即证0≤(bc-ad)2

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

证

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比较法 证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2b2)(c2d2)例

3、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证.课堂小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.1、a,b,cR,求证

abc)

2、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4absinC，即证：2cosCC，即：CcosC2，即证：sin(C)1（成6

立）.新学案31页6、7,33页3、4.作业：教材P52 练习2、3题.