2.2.1直接证明--综合法与分析法

第一篇：2.2.1直接证明--综合法与分析法

课题：直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：证明的方法

（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

24223(1xx)(1xx).x1例

2、若实数，求证：

证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)

2=33x3x1xx2x2x2x

=2(xxx1)=2(x1)(xx1)432224242

3132(x1)2[(x)2].24 =

13x1,从而(x1)20,且(x)20,2

4132(x1)2[(x)2]0,24223(1xx)(1xx).24∴ ∴

abba例

3、已知a,bR,求证abab.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.ab0

aabbabbaabbb(aabbab)0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,aabbaa1,ab0,ba()ab1.bb ab故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

巩固练习：第81页练习1, 2, 3 ,4课后作业：第84页1，2,3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

第二篇：_直接证明--综合法与分析法

教学反思：通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。

直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和

综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析

问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

1.综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式用综合法证明不等式的逻辑关系是： 222

2PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公例

1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.教师——引导

学生——小组讨论

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

2.分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，明尸 2 成立，再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等）为止．乞，再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ；为了证 „ „ 直到找到一个明显成立的条件（已知条即使 Q 成立的充分条件尸 1 ．为了证明尸 1 成立，分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么用分析法证明不等式的逻辑关系是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：分析法的书写格式：

要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

„„

这只需要证明命题A而已知A为真，故命题B例

3、求证372

学生——自主解决

例4 已知,k

2(kZ)，且

sincos2sin①

sincossin2②1tan21tan2求证：。221tan2(1tan)

教师——引导

学生——小组合作交流

练习：课本89页1,2,3

课后作业：第84页1，2,3

板书设计

第三篇：2.2.1直接证明--综合法与分析法教案

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直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：证明的方法

（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

24223(1xx)(1xx).x1例

2、若实数，求证：

证明：采用差值比较法：

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金太阳新课标资源网3(1x2x4)(1xx2)

2242423=33x3x1xx2x2x2x

22432(x1)(xx1)2(xxx1)= =

132(x1)2[(x)2].24 =

13x1,从而(x1)20,且(x)20,2

4132(x1)2[(x)2]0,24∴ ∴

3(1x2x4)(1xx2)2.a,bR,求证aabbabba.例

3、已知

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.ab0

aabbabbaabbb(aabbab)0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,aabbaa1,ab0,ba()ab1.bbab 故原不等

式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

金太阳新课标资源网巩固练习：第81页练习1, 2, 3 ,4课后作业：第84页1，2,3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

第四篇：04直接证明--综合法与分析法的应用

直接证明—分析法与综合法的应用

课型：习题课

教学目标：

知识与技能：结合教学实例，了解直接证明的两种基本方法之

过程与方法：通过教学实例了解分析法的思考过程、特点；体会分析法和综合法的联系与区别

情感态度与价值观：体会数学证明的特点，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成之有理、论证有据的习惯

重点：结合实例，进一步了解分析法与综合法的思考过程、特点

难点：根据问题的特点，选择恰当的方法

教学方法：探究、精讲

学习方法：自主、合作探究学习法

教学过程：

【自主学习】

学习内容：

1.直接证明是指。

2.综合法是指

3．综合法是一种的方法，推理过程是… 

4：从要证明的，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、、、等），这种证明方法叫分析

5：分析法是一种…是。

【合作探究】

探究任务：1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

2：综合法与分析法的区别是什么？

【例题讲解】

例1：已知 ,k

2(kZ)，且sincos2sin,sincossin2，求证：

1tan21tan2（用两种方法证明）221tan2(1tan)

同步练习：已知tansina,tansinb，求证：(a2b2)216ab

例2：已知a,b是正数，求证：abab（用两种方法证明）a

变式练习1：已知△ABC的三个内角(ab)1(bc)13(abc)1

【小结】：（1）综合法：

由因导果，当条件明确，思路清晰时适用；

（2）分析法：

执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。

（3）综合法是分析法的逆过程。

【作业】：

1：课本44页B组中的第1题

2：课本44页B组中的第2题

教学反思：

A,B,C成等差数列，求证：

第五篇：直接证明与间接证明——综合法与分析法参考答案

直接证明与间接证明——综合法与分析法参考答案

课堂合作探究

1、A2、B3、A4、证明：



(ab(ab)

2a0,b0

a

b0,00

基础训练

1、C2、C3、D4、B5、C6、C 能力提升

1、证法一：

a,b,c,是不等的正数，且abc

1

 111111111111()()()2bc2ac2ababc证法二：

a,b,c,是不等的正数，且abc1



1a1b1cabcaabcbabccbccaabbcca2caab2abbc2 

2、(a

ab







1aba2)(bab21b)1ab2(ab)ba1ab(ab)(ab)2ab1ab(ab)2ab11ab(ab1)

1ab

(ab)

222222a0,b0,ab1ab,141

91641)42

54(ab1)2916ab((ab1)1

ab3、要证即证即证22

即证：a即证a3a2a1 即证：a(a3)(a2)(a1)

即证：a3aa3a3

即证：03

上述不等式显然成立，所以原不等式成立22 2