第一篇:直接证明(综合法)
2.2.1直接证明(综合法)
一、复习准备:
1.已知 “若a1,a2R,且a1a21,则
2.已知a,b,cR,abc1,求证:114”,试请此结论推广猜想.a1a21119.abc
先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点?
二、讲授新课:
1.教学例题:
例1:已知a, b, c是不全相等的正数,求证:a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.练习:已知a,b,c是全不相等的正实数,求证
例2:在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列.求证:为△ABC等边三角形.bcaacbabc3 abc
练习:已知ABC的3个顶点的坐标分别为A(5,2),B(1,2),C(10,3),求证:ABC为直角三角形。
例3. 求证:对于任意角θ,cos4sin4cos2.例4.已知:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD..求证:PC⊥BD.2.练习:
① A,B
为锐角,且tanAtanBAtanBAB60.② 已知abc, 求证:
3.小结:
114.abbcac2
第二篇:02直接证明--综合法
2.2.1 直接证明--综合法(2)
课型:习题课
教学目标:
知识与技能:结合教学实例,了解直接证明的两种基本方法之一:综合法
过程与方法:通过教学实例,了解综合法的思考过程、特点
情感态度与价值观:体会数学证明的特点,感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成之有理、论证有据的习惯
重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.教学方法:探究、精讲
学习方法:自主、合作探究学习法
教学过程:
【自主学习】
学习内容:
1.直接证明是指。
2.综合法是指
3.综合法是一种的方法,推理过程是…
4.综合法可用框图表示为:
例题分析:
例1:△ABC在平面外,ABP,BCQ,ACR,求证:P,Q,R三点共线(图见课本P37)
例2;在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列.求证:为△ABC等边三角形.例3:在三角形ABC中,设a,b,求
a2b2sin(AB)练习1:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,证明 2sinCcSABC12abab 222
【拓展延伸】:设数列『an』前n项和为Sn,且(3m)Sn2manm3(nN),其中m为常数且m3(1)求证:『an』是等比数列
(2)若数列『an』的公比为qf(m),数列『bn』满足b1a1,bn求证:『1』为等差数列 bn3f(bn1),(nN,n2)。2
【小结】
进一步熟悉综合法的思想及特点,会用综合法证明数学问题。
【作业】:
1:课本P44习题2.2A组中的第2题
2:已知数列『an』满足a11,a23,an23an12an,证明数列『an1an』是等比数列
3:在数列『an』中,a11,an12an2n
(1)设bnan。证明:数列『bn』是等比数列 2n1
求数列『an』的前n项和Sn
教学反思:
第三篇:高中数学直接证明-综合法
高二数学选修2-2导学案姓名:班级:
编制人:审核:时间:
2.2 直接证明与间接证明
第1课时综合法
学习目标:了解综合法的思维过程和特点,掌握综合法的解题步骤;
会用综合法证明一些简单的命题。
在数学证明中,我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,通过推理推导出所要的结论。
例:已知a>0,b>0, 求证a(bc)b(ca)4abc.利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫___。
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为
:
合作探究:
例1 在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
222
2例2 求证:对于任意角,cossincos2.巩固、提高:
1.已知tansina,tansinb,求证(ab)16ab.2.设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,试证 2224
4ac2.xy
小结: 综合法是从已知的P出发,得到一系列的结论Q1,Q2,,直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.配餐练习:
1.已知1tan1,求证3sin24cos2, 2tan
2.已知sin是sin,cos的等差中项,sin是sin,cos的等比中项.求证: cos44sin43.3.设数列{an}中,a11,Sn14an2(nN),设bnan12an,求证:{bn} 是等比数列.*
第四篇:_直接证明--综合法与分析法
教学反思:通过本节的学习,学生积极参加课堂教学,顺利地完成了教学任务,达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差,知识遗忘严重,在一定程度上影响了教学进度,使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中,要特别注意学生的实际水平,让学生提前预习,以保证课堂教学进度。
直接证明--综合法与分析法
1.教学目标:
知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和
综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析
问题和解决问题的能力;
情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点:了解分析法和综合法的思考过程、特点
3.教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点
4.教具准备:与教材内容相关的资料。
5.教学设想:分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
6.教学过程:
学生探究过程:
合情推理分归纳推理和类比推理,所得的结论的正确性是要证明的,数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。
若要证明下列问题:
已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc
教师活动:给出以上问题,让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。
学生活动:充分讨论,思考,找出以上问题的证明方法
1.综合法
综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式用综合法证明不等式的逻辑关系是: 222
2PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ
综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公例
1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.教师——引导
学生——小组讨论
讨论:若题设中去掉x1这一限制条件,要求证的结论如何变换?
2.分析法
证明数学命题时,还经常从要证的结论 Q 出发,反推回去,寻求保证 Q 成立的条件,明尸 2 成立,再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等)为止.乞,再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ;为了证 „ „ 直到找到一个明显成立的条件(已知条即使 Q 成立的充分条件尸 1 .为了证明尸 1 成立,分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么用分析法证明不等式的逻辑关系是:
QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP
分析法的思维特点是:分析法的书写格式:
要证明命题B为真,只需要证明命题B1为真,从而有„„
这只需要证明命题B2为真,从而又有„„
„„
这只需要证明命题A而已知A为真,故命题B例
3、求证372
学生——自主解决
例4 已知,k
2(kZ),且
sincos2sin①
sincossin2②1tan21tan2求证:。221tan2(1tan)
教师——引导
学生——小组合作交流
练习:课本89页1,2,3
课后作业:第84页1,2,3
板书设计
第五篇:2.2.1直接证明--综合法与分析法
课题:直接证明--综合法与分析法
1.教学目标:
知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;
情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点:了解分析法和综合法的思考过程、特点
3.教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点
4.教具准备:与教材内容相关的资料。
5.教学设想:分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
6.教学过程:
学生探究过程:证明的方法
(1)、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。
(2)、例1.设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
证明:(用分析法思路书写)
要证 a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,即需证a2-ab+b2>ab成立。(∵a+b>0)
只需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立。
而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立,由此命题得证。(以下用综合法思路书写)
∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0
亦即a2-ab+b2>ab
由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab
即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证
24223(1xx)(1xx).x1例
2、若实数,求证:
证明:采用差值比较法:
3(1x2x4)(1xx2)
2=33x3x1xx2x2x2x
=2(xxx1)=2(x1)(xx1)432224242
3132(x1)2[(x)2].24 =
13x1,从而(x1)20,且(x)20,2
4132(x1)2[(x)2]0,24223(1xx)(1xx).24∴ ∴
abba例
3、已知a,bR,求证abab.
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明:1)差值比较法:注意到要证的不等式关于a,b对称,不妨设ab0.ab0
aabbabbaabbb(aabbab)0,从而原不等式得证。
2)商值比较法:设ab0,aabbaa1,ab0,ba()ab1.bb ab故原不等式得证。
注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。
讨论:若题设中去掉x1这一限制条件,要求证的结论如何变换?
巩固练习:第81页练习1, 2, 3 ,4课后作业:第84页1,2,3教学反思:本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。