综合法

第一篇：综合法

2.2．1直接证明与间接证明⑴-------综合法

【学习目标】

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一：综合法。

【重点难点】

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；

2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。

【教学过程】

【复习】1两类基本的证明方法:和。

2直接证明的两种方法

【新课导学】

知识点一综合法的应用

问题：已知a,b0,求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc。

思考过程：首先，分析待证不等式的特点。不等式的右端是，左端是。据此，只要，就能使得不等式左、右两端具有相同的形式。

其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识。本例应用了就能实现转化，是证明的依据。

最后，给出具体证明。

这样，从已知条件、重要不等式x2y22xy和不等式的基本性质，通过推理的出结论成立。

证明：

新知1.综合法定义

一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。

2.综合法的要点：

3.综合法的证明过程用框图可表示。

【讲解例题】

例1在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形。

分析：这是一道三角、几何和数列的综合题。首先把已知条件进行语言转换，即和；接着把隐含条件显性化，即将A,B,C为三角形内角明确表示为。然后再寻找条件与结论的联系，利用把边和角联系起来，建立边和角之间的关系，进而判断三角形的形状。

反思：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。

课堂练习：

1.求证：对于任意角，cos4sin4cos2

2.《全优课堂》75页基础训练

课堂小结：

1.综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,（可知），直到最后的结论是Q.由

因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。

综合法是中学数学证明中最常用的方法，运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。

2.综合法证明问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹。

3.综合法解题的步骤：⑴分析条件，选择方向；⑵转化条件，组织过程；⑶适当调整，回顾反思。

如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”。

作业：

第二篇：综合法和分析法

课题综合法与分析法课时 1课时课型 新授课 使用说明及学法指导

1.先精读教材P60-P64内容，用红色笔进行勾画，再针对导学案的问题，二次阅读教材部分内容，并回答，时间为15分钟.2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论和质疑.3.必须记住的内容：综合法和分析法证明不等式.学习目标

1.理解并掌握综合法与分析法;2.会利用综合法和分析法证明不等式

3.高效学习，通过对典型案例的探究，激发学习数学激情.学习重点

会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.学习难点

根据问题的特点，选择适当的证明方法.一．预习自学

1.常用直接证明方法有和

2.综合法：一般的，利用已知条件和某些数学、、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫综合法.综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知1→可知2→…结论”.3.分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的条件，直至最后，把证明的结论归结为判定一个为止，这种证明方法叫做分析法，分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知1→需知2→…已知”..如果a,bR, 那么a2b22ab.当且仅当时, 等号成立..如果a,bR,那么ab当且仅当时, 等号成立..如果a

2bc

a,b,cR, 那么

3

当且仅当时, 等

号成立.40.如果a,b,cR, 那么

baab、caa

b

bc



二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a

2b2

c2

abbcca． 证明：∵a，b，cR，∴a2

b2

≥2ab，b2

c2

≥2bc，c2

a2

≥2ac

变式训练

已知a,b,c0,且不全相等,求证:a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

2.用分析法证明 求证:3621.达标检测

1.下列说法不正确的是（）

Ａ.综合法是由因导果的顺推证法Ｂ.分析法是执果索因的逆推证法

Ｃ.综合法与分析法都是直接证法Ｄ.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2．分析法是()

A．执果索因的逆推法B．执因导果的顺推法 C．因果分别互推的两头凑法D．逆命题的证明方法 3.以下数列不是等差数列的是（）

Ａ．Ｂ．π2，π5，π8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P、Q的大小关系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定 5.已知

a,b

是不相等的正数，x

y,y，则

x的大小关系

是.6.用分析法证明（:15（2）

7.已知a,b,cR，abc1，求证：（1a

1)（1b

1)（1c

1)8

8.已知a,b,cR，abc1，求证：1a



11b



c

9

变式.已知a,b,c是两两不相等的正实数，bca

acb

bc

a



b



ac

3

综合法与分析法各有何特点？

【思考·提示】 分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种．平时我们常用分析法探索解题思路，然后用综合法书写步骤．

第三篇：综合法分析法

综合法分析法

学习目标：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.高考题：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）设x1,y1,证明xy111xy;xyxy，logablogbclogcalogbalogcblogac.（Ⅱ）1abc，证明

2、（2010全国卷1文数）（10）设alog32,bln2,c52则

（A）abc（B）bca(C)cab(D)cba 1教材分析：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法----综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。本节的教学应该是比较成功的。

考点预测：1.高考题多以选择题和填空为主，是高考常考内容；

2.主要考察综合法。

授课过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式ab(a0,b0).2（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

教学例题：

综合法证题

例

1、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)

2证明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴b2ac

acac 又∵a，b，c都是正数，所以0bac≤2

∴acb

∴2(abbcac)2(abbcb2)2b(acb)0

∴a2b2c2(abc)2

abba例

2、已知a,bR,求证abab.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法

进行。

证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于

a,b对称，不妨设ab0.ab0

aabbabbaabbb(aabbab)0，从而原不

等式得证。

2）商值比较法：设ab0,aabbaa1,ab0,ba()ab1.bb ab故原不

等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差

（或作商）、变形、判断符号。

例

3、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)

2=33x23x41x2x42x2x22x

3=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)13=2(x1)2[(x)2].2

413x1,从而(x1)20,且(x)20, 24

13∴2(x1)2[(x)2]0, 24

∴3(1x2x4)(1xx2)2.分析法证题

例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞

a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

例

2、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2)

分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即证2abcd≤b2c2+a2d2

即证0≤(bc-ad)2

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

证

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比较法 证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2b2)(c2d2)例

3、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证.课堂小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.1、a,b,cR,求证

abc)

2、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4absinC，即证：2cosCC，即：CcosC2，即证：sin(C)1（成6

立）.新学案31页6、7,33页3、4.作业：教材P52 练习2、3题.

第四篇：综合法和分析法

《综合法和分析法（1）》导学案

编写人：马培文

审核人：杜运铎

编写时间：2016-02-24 【学习目标】

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。【重点难点】

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。【学法指导】

① 课前阅读课文（预习教材P85～P89，找出疑惑之处）② 思考导学案中的探究问题，并提出你的观点。

【知识链接】

复习1

两类基本的证明方法:

和

。复习2

直接证明的两中方法:

和

。知识点一

综合法的应用 问题

已知a,b0, 求证

a(b2c2)b(c2a2)4abc。

新知

一般地,利用

,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。反思

框图表示

因导果。

【典型例题】

例

1111变式

已知a,b,cR，abc1，求证

(1)(1)(1)8。

abc

要点

顺推证法；由已知a,b,cR，abc1，求证：

1119 abc

小结

用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。

例2

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形。

变式

设在四面体PABC中,ABC90,PAPBPC,D是AC的中点.求证

PD垂直于ABC所在的平面。

小结

解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。

【基础达标】

A1.求证

对于任意角θ，cos4sin4cos2。

B2.A,B为锐角，且tanAtanB3tanAtanB3，求证

AB60.（提示：算tan(AB)）。

【归纳小结】

综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.运用综合

法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。【知识拓展】

综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法。【当堂检测】

1.已知x,yR,则“xy1”是“x2y21”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.如果a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则（）

A．a1a8a4a5

B．a1a8a4a5

C．a1a8a4a5

D．a1a8a4a5

3..设P1111，则（）log211log311log411log511A．0P1

B．1P2

C．2P3

D．3P4

3314.若关于x的不等式(k22k)x(k22k)1x的解集为(,)，则k的222范围是。

ab,yab，则x,y的大小关系是5.已知a,b是不相等的正数，x2____。

【能力提升】

bcaacbabc1.已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

3。

abc

2.在△ABC中，证明

cos2Acos2B11。2222

【学习反思】

① 基础知识 ＿＿＿。

② 学习方法＿＿＿。

③ 情感认知 ＿＿。

高二数学选修2-2

abab＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

第五篇：直接证明(综合法)

2.2.1直接证明（综合法）

一、复习准备：

1.已知 “若a1,a2R，且a1a21，则

2.已知a,b,cR，abc1，求证：114”，试请此结论推广猜想.a1a21119.abc

先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？

二、讲授新课：

1.教学例题：

例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.bcaacbabc3 abc

练习：已知ABC的3个顶点的坐标分别为A(5,2),B(1,2),C(10,3)，求证：ABC为直角三角形。

例3． 求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2.例4．已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD..求证：PC⊥BD.2.练习：

① A,B

为锐角，且tanAtanBAtanBAB60.② 已知abc, 求证：

3.小结：

114.abbcac2