2.2.1 综合法和分析法

第一篇：2.2.1 综合法和分析法

2．2 直接证明与间接证明

2．2.1 综合法和分析法

整体设计

教材分析

在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．

课时分配

2课时．第1课时综合法，第2课时分析法．

第1课时

教学目标

1．知识与技能目标

(1)理解综合法证明的概念；

(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．

2．过程与方法目标

(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；

(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．

3．情感、态度与价值观

(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；

(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．

重点难点

重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；

(2)了解综合法的思考过程、特点．

难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；

(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．

教学过程

引入新课

证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．

提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．

请同学们证明：

已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．

活动结果：(学生板书证明过程)

证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备．

探究新知

提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程．

活动设计：学生自由发言．

教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程．

首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；

其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2＋y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；

最后，给出证明即可．

(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)

这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立．

活动结果：

综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

设计意图

让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义．

运用新知

例1在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将A，B，C成等差数列转化为2B＝A＋C，a，b，c成等比数列转化为b2＝ac，接着把隐含条件显性化，将A，B，C为△ABC三个内角明确表示为A＋B＋C＝π，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状．这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论．

证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①

由A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②

π由①②，得B＝，③

3由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④

由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤

π由②③⑤，得A＝B＝C＝△ABC为等边三角形． 3

点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论．

bn1an111设a＋b>0，n为偶数，证明＋.abab－－

bn1an111an－bnan1－bn1证明：＝，ababab－－－－

(1)当a>0，b>0时，(an－bn)(an1－bn1)≥0，(ab)n>0，－－

an－bnan1－bn1bn1an111所以≥0，故＋ababab－－－－

(2)当ab为负值时，不妨设a>0，b<0，由于a＋b>0，所以a>|b|.又n是偶数，所以(an－b)(ann－1－bn－1an－bnan1－bn1bn1an111)>0.又(ab)>0，故>0，即＋.ababab－－－－n

bn1an111综合(1)(2)可知，≥ abab－－

理解新知

(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”．

(2)框图表示

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．

2如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．

证明SO⊥平面ABC.思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论．

证明：由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝2SA，且AO⊥BC.22，从而OA2＋SO2＝

SA2.2又因为△SBC与△ABC全等，故有SO⊥BC，且SO＝

所以△SOA为直角三角形，所以SO⊥AO.又AO∩BO＝O，所以SO⊥平面ABC.点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过

程，同时熟悉综合法证明的操作流程图．

巩固练习

11＋已知a，b，c∈R，求证：(a＋b＋c)()≥4.ab＋c

a＋b＋ca＋b＋cb＋c11a＋证明：由于a，b，c∈R，则(a＋b＋c)(＋＝＋＝1＋＋1＋ab＋caab＋cb＋c

b＋ca＝2＋(≥2＋ab＋cb＋ca4.ab＋c

变练演编

＋已知x，y，z∈R，a，b，c∈R，b＋c2c＋a2a＋b2求证：＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式．

b＋c2c＋a2a＋b2b2c2c2a＋证明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，则＋y＋＝＋＋＋abcaabbabbacacby2＋2＋2＝(x22)＋(x2＋z2)＋(2＋z2)≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋xz＋yz)，ccabacbc

b＋c2c＋a2a＋b2所以有＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤．

达标检测

1．综合法：(1)一般的，利用____________，经过____________最后________，这种证明方法叫做综合法．

2．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列各式中，一定正确的是()

A．ac≥bB．ab≥c

C．bc≥aD．ab≤c

答案：1.已知条件和某些数学定义，公理，定理 一系列的推理论证 推导出证明的结论成立

2．B

课堂小结

1．综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．

2．综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

3．综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题．

布置作业

课本本节练习1、3.补充练习

基础练习

1．△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosA＝cosC，求证：△ABC为等边三角形．

证明：由3b＝3asinB3sinB＝23sinAsinBsinA3π2πA＝.23

3π由cosA＝cosCA＝C，且A＋B＋C＝π，所以A＝C＝B.所以△ABC为等边三角3

形．

拓展练习

22．已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，f(x)的导函数是f′(x)．对任意两个不相等的正数x

fx1＋fx2x1＋x2x1、x2，证明当a≤0时，>f(． 2

22证明：由f(x)＝x2＋＋alnx，x

得fx1＋fx212211a(x1＋x2)＋(＋＋1＋lnx2)22x1x22

x1＋x212＝(x2＋x)＋＋alnx1x2.221x1x2x1＋x2x1＋x22x1＋x24＝()＋aln，222x1＋x2

∵x1≠x2且都为正数，x1＋x2212122有(x2＋x)>[(x＋x)＋2xx]＝(.① 212214122

2又(x1＋x2)2＝(x21＋x2)＋2x1x2>4x1x2，∴x1＋x24.② x1x2x1＋x2

x1＋x2x1＋x2∵x1x2<∴lnx1x2

x1＋x2∵a≤0，∴alnx1x2>aln.③ 2

fx1＋fx2x1＋x2由①、②、③得． 2

2设计说明

本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容．本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力．

备课资料

例1已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1，求证：a＋bc3.思路分析：此题是应用综合法证明不等式问题，需要用到不等式中的均值不等式的知识来进行证明．

证明：∵a，b，c∈R，∴a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac.∴2(a＋b＋c)≥ab＋bcac)．∴a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a＋b＋c)＝3.∴(a＋b＋c)2≤3.abc3.点评：运用综合法证明不等式，关键是要由已知条件寻找到正确的所需知识，进而来证＋

明问题．

例2设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；

3(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求证：

21{为等差数列． bn

思路分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，恰当处理递推关系是关键．

证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，an＋12m两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，由于m≠－3，∴.∴{an}是等比数列． anm＋

3(2)b1＝a1，q＝f(m)＝2m332bn－1∴n∈N，n≥2时，bn＝f(bn－1)＝×.22bn－1＋3m＋3

11111∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴＝.∴{}是首项为1，公差为 bnbn－13bn3

点评：本题主要考查利用综合法和数列的定义，合理处理递推关系的数列证明问题． 例3在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.思路分析：此题事实上比较简单，但学生入手却有些不知所措．对已知条件(1)a2－c2＝2b左侧是二次的，右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件

(2)sinAcosC＝3cosAsinC，过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口．

解：由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.b由正弦定理，得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c

由①，②解得b＝4.点评：在解题中应注意总结，提高对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力．

(设计者：莫静波)

第二篇：综合法和分析法

课题综合法与分析法课时 1课时课型 新授课 使用说明及学法指导

1.先精读教材P60-P64内容，用红色笔进行勾画，再针对导学案的问题，二次阅读教材部分内容，并回答，时间为15分钟.2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论和质疑.3.必须记住的内容：综合法和分析法证明不等式.学习目标

1.理解并掌握综合法与分析法;2.会利用综合法和分析法证明不等式

3.高效学习，通过对典型案例的探究，激发学习数学激情.学习重点

会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.学习难点

根据问题的特点，选择适当的证明方法.一．预习自学

1.常用直接证明方法有和

2.综合法：一般的，利用已知条件和某些数学、、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫综合法.综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知1→可知2→…结论”.3.分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的条件，直至最后，把证明的结论归结为判定一个为止，这种证明方法叫做分析法，分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知1→需知2→…已知”..如果a,bR, 那么a2b22ab.当且仅当时, 等号成立..如果a,bR,那么ab当且仅当时, 等号成立..如果a

2bc

a,b,cR, 那么

3

当且仅当时, 等

号成立.40.如果a,b,cR, 那么

baab、caa

b

bc



二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a

2b2

c2

abbcca． 证明：∵a，b，cR，∴a2

b2

≥2ab，b2

c2

≥2bc，c2

a2

≥2ac

变式训练

已知a,b,c0,且不全相等,求证:a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

2.用分析法证明 求证:3621.达标检测

1.下列说法不正确的是（）

Ａ.综合法是由因导果的顺推证法Ｂ.分析法是执果索因的逆推证法

Ｃ.综合法与分析法都是直接证法Ｄ.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2．分析法是()

A．执果索因的逆推法B．执因导果的顺推法 C．因果分别互推的两头凑法D．逆命题的证明方法 3.以下数列不是等差数列的是（）

Ａ．Ｂ．π2，π5，π8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P、Q的大小关系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定 5.已知

a,b

是不相等的正数，x

y,y，则

x的大小关系

是.6.用分析法证明（:15（2）

7.已知a,b,cR，abc1，求证：（1a

1)（1b

1)（1c

1)8

8.已知a,b,cR，abc1，求证：1a



11b



c

9

变式.已知a,b,c是两两不相等的正实数，bca

acb

bc

a



b



ac

3

综合法与分析法各有何特点？

【思考·提示】 分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种．平时我们常用分析法探索解题思路，然后用综合法书写步骤．

第三篇：综合法分析法

综合法分析法

学习目标：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.高考题：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）设x1,y1,证明xy111xy;xyxy，logablogbclogcalogbalogcblogac.（Ⅱ）1abc，证明

2、（2010全国卷1文数）（10）设alog32,bln2,c52则

（A）abc（B）bca(C)cab(D)cba 1教材分析：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法----综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。本节的教学应该是比较成功的。

考点预测：1.高考题多以选择题和填空为主，是高考常考内容；

2.主要考察综合法。

授课过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式ab(a0,b0).2（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

教学例题：

综合法证题

例

1、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)

2证明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴b2ac

acac 又∵a，b，c都是正数，所以0bac≤2

∴acb

∴2(abbcac)2(abbcb2)2b(acb)0

∴a2b2c2(abc)2

abba例

2、已知a,bR,求证abab.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法

进行。

证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于

a,b对称，不妨设ab0.ab0

aabbabbaabbb(aabbab)0，从而原不

等式得证。

2）商值比较法：设ab0,aabbaa1,ab0,ba()ab1.bb ab故原不

等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差

（或作商）、变形、判断符号。

例

3、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)

2=33x23x41x2x42x2x22x

3=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)13=2(x1)2[(x)2].2

413x1,从而(x1)20,且(x)20, 24

13∴2(x1)2[(x)2]0, 24

∴3(1x2x4)(1xx2)2.分析法证题

例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞

a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

例

2、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2)

分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即证2abcd≤b2c2+a2d2

即证0≤(bc-ad)2

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

证

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比较法 证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2b2)(c2d2)例

3、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证.课堂小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.1、a,b,cR,求证

abc)

2、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4absinC，即证：2cosCC，即：CcosC2，即证：sin(C)1（成6

立）.新学案31页6、7,33页3、4.作业：教材P52 练习2、3题.

第四篇：综合法和分析法

《综合法和分析法（1）》导学案

编写人：马培文

审核人：杜运铎

编写时间：2016-02-24 【学习目标】

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。【重点难点】

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。【学法指导】

① 课前阅读课文（预习教材P85～P89，找出疑惑之处）② 思考导学案中的探究问题，并提出你的观点。

【知识链接】

复习1

两类基本的证明方法:

和

。复习2

直接证明的两中方法:

和

。知识点一

综合法的应用 问题

已知a,b0, 求证

a(b2c2)b(c2a2)4abc。

新知

一般地,利用

,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。反思

框图表示

因导果。

【典型例题】

例

1111变式

已知a,b,cR，abc1，求证

(1)(1)(1)8。

abc

要点

顺推证法；由已知a,b,cR，abc1，求证：

1119 abc

小结

用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。

例2

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形。

变式

设在四面体PABC中,ABC90,PAPBPC,D是AC的中点.求证

PD垂直于ABC所在的平面。

小结

解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。

【基础达标】

A1.求证

对于任意角θ，cos4sin4cos2。

B2.A,B为锐角，且tanAtanB3tanAtanB3，求证

AB60.（提示：算tan(AB)）。

【归纳小结】

综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.运用综合

法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。【知识拓展】

综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法。【当堂检测】

1.已知x,yR,则“xy1”是“x2y21”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.如果a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则（）

A．a1a8a4a5

B．a1a8a4a5

C．a1a8a4a5

D．a1a8a4a5

3..设P1111，则（）log211log311log411log511A．0P1

B．1P2

C．2P3

D．3P4

3314.若关于x的不等式(k22k)x(k22k)1x的解集为(,)，则k的222范围是。

ab,yab，则x,y的大小关系是5.已知a,b是不相等的正数，x2____。

【能力提升】

bcaacbabc1.已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

3。

abc

2.在△ABC中，证明

cos2Acos2B11。2222

【学习反思】

① 基础知识 ＿＿＿。

② 学习方法＿＿＿。

③ 情感认知 ＿＿。

高二数学选修2-2

abab＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

第五篇：综合法和分析法习题

直接证明与间接证明测试题

一、选择题

1．下列说法不正确的是（）

Ａ．综合法是由因导果的顺推证法

Ｂ．分析法是执果索因的逆推证法

Ｃ．综合法与分析法都是直接证法

Ｄ．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）

Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾

Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾

Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用

Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件

3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcca．

证明过程如下：

∵a，b，cR，∴a2b2≥2ab，b2c2≥2bc，c2a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“”不成立，∴将以上三式相加得2(abc)2(abbcac)，∴abcabbcca．此证法是（）22222

2Ａ．分析法

Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法并用Ｄ．反证法

41．

1



1，即证7511

1，∵3511，∴原不等式成立．

以上证明应用了（）Ａ．分析法

5．以下数列不是等差数列的是（）

Ａ．

Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法配合使用Ｄ．间接证法

Ｂ．π2，π5，π8

6．使不等式Ａ．ab

1a16

Ｄ．20，40，60

成立的条件是（）

Ｂ．ab

Ｄ．ab，且ab0

Ｃ．ab，且ab0

二、填空题

7．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的”．

8．已知a0，b0，m

9．当a0，b0时，①(ab)

1a

1

≥4b

2nlg

m与nn的关系为．

；②a2b22≥2a2b；

；④

2abab

≥

以上4个不等式恒成立的是．（填序号）

10．函数f(x)sinx2sinx，x[0，2π]的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是．

11．设函数f(x)lgx，若0a,b，且f(a)f(b)，则ab．

12．已知平面，，满足，，l，则l与的位置关系为．

三、解答题

13．已知a，b，c(0，1)．求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于

14．已知数列an为等差数列，公差d1，数列cn满足cnan2an21(nN)．判断数列cn是否为等差数列，并证明你的结论．

15．若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，至少有一个方程有实根，试求实数aa的取值范围．

．

答案

1.答案：Ｄ2.答案：Ｂ3.答案：Ｂ4.答案：Ａ 5.答案：Ｃ6.答案：Ｄ7.答案：三个内角都小于60° 8.答案： m≤n9.答案：①②③

10.答案：1k3 11.答案：(0，1)12.答案：l

13.证明：假设三式同时大于

14，即(1a)b

164

14，(1b)c

14，(1c)a

14，三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c

11aa又(1a)a≤

24

．①，14164

同理(1b)b≤

14，(1c)c≤．，所以(1a)a(1b)b(1c)c≤

与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．

14.答案：是．证明：由条件ana1(n1)，则cnan2an212n2a11． 所以cn1cn2，所以数列cn为等差数列．

116a24(4a3)0，

15.解：设三个方程均无实根，则有2(a1)24a20，2

34a4(2a)0，