试举例说明分析法和综合法

第一篇：试举例说明分析法和综合法

1.试举例说明分析法和综合法。

答：例⑴：设a>0,b>0,ab,证明a

b

2用分析法解：为了证明a

b2成立，要证明下面不等式成立：

由于a>0,b>0,即要证(a+b)*(a+b)>4ab成立

a*a+2ab+b*b>4ab

两边减去4ab,得a*a-2ab+b*b>0

左边写成(a-b)^2>0成立

由此倒推，即可证明

a

b

2⑵：例1 已知：如图1，在△ABC中，AC=+1，AB=2，∠A=30°，D为AB上一动点（不与A、B点重合）。过D、B、C三点作⊙O与AC交于E。（1）设AD=x，y=DE2+DB2。求y与x的函数关系

用综合法求解：

①找解题途径。由条件AB=2，AD=x，可得DB=2-x。因为y=DE2+DB2，所以只需求出DE，由图形中DE的位置可推断证△ADE∽△ABC方可求出DE。②求BC。在DE和BC中主要是求DE，因此只有先求出BC。因为∠A=30°，从Rt△和解Rt△的有关性质知显然应造直角（即作辅助线），从而过B或C作垂线，得Rt△AEB或Rt△BHC，求得BF=1，AF=，FC=1，BC=。

式，并求自变量x的取值范围。

③求DE并得出结论。解略。答：y=(3-)x2-4x+4(0＜x＜2)。

2.在中学数学中找出几个用反证法或者同一法或者数学归纳法来证明命题的例子。并通过这些例子说明生么是反证法？什么是同一法？什么是数学归纳法？

答：反证法的例子：

⑴在同一平面内，两条直线a,b都和直线c垂直。求证：a与b平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。

不妨设直线a,b的交点为M,a,b与c的交点分别为P,Q,如图所示，则PMQ00.这样，MPQ的内角和PMQMPQPQM

PMQ9009001800

这与定理“三角形的内角和等于180

0所以，直线a与b不相交，即a与b平行。

⑵.证明：假设 是有理数，那么它就可以表示成两个整数

之比，q

p,p0,且p,qq。

所以，2p2q2。---------①

故q2是偶数，q也必然为偶数。

不妨设q2k，代入①式，则有2p24k2，即p22k2，所以，p也为偶数。

p和q都是偶数，它们有公约数2，这与p,q互素相矛盾。

同一法：

如图，已知E是正方形ABCD内部一点，∠ECD =∠EDC =15°，求证：△ABE是等边三角形．

证明：

1)作出符合命题结论的图形。以AB为边向正方形内部作等边△ABE＇，连CE＇、DE＇．

2)证明所作图形符合已知条件。∵△ABE＇是等边三角形

∴∠ABE＇= 60°

∵∠ABC = 90°

∴∠CBE＇=∠ABC-∠ABE＇= 30°

∵△ABE＇是等边三角形

∴AB =BE＇

∵AB =BC

∴BC = BE＇

∴△BCE＇是顶角为30°的等腰三角形

∴底角∠BCE＇=(18030)75

21∵∠BCD = 90°

∴∠DCE＇=∠BCD-∠BCE＇= 15°同理，∠CDE＇= 15°

3)根据唯一性，∵在△CDE和△CDE＇中，CDECDE15

确定所作图形与已知图形重合。CDCD

DCEDCE15

∴△CDE≌△CDE＇

∴CE = CE＇

∵在△BCE和△BCE＇中，CECE

BCEBCE75

BCBC∴△BCE≌△BCE＇

∴BE = BE＇

同理，AE = AE＇

∵在△ABE和△ABE＇中，AEAE

BEBE

ABAB

∴△ABE≌△ABE＇

∴E和E＇重合4)断定原命题成立。∴△ABE是等边三角形

数学归纳法：

已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．

求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．

分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．

①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．

②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+

3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．

因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除． 反证法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。同一法是在符合同一法则的前提下,代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构

第二篇：综合法和分析法

课题综合法与分析法课时 1课时课型 新授课 使用说明及学法指导

1.先精读教材P60-P64内容，用红色笔进行勾画，再针对导学案的问题，二次阅读教材部分内容，并回答，时间为15分钟.2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论和质疑.3.必须记住的内容：综合法和分析法证明不等式.学习目标

1.理解并掌握综合法与分析法;2.会利用综合法和分析法证明不等式

3.高效学习，通过对典型案例的探究，激发学习数学激情.学习重点

会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.学习难点

根据问题的特点，选择适当的证明方法.一．预习自学

1.常用直接证明方法有和

2.综合法：一般的，利用已知条件和某些数学、、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫综合法.综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知1→可知2→…结论”.3.分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的条件，直至最后，把证明的结论归结为判定一个为止，这种证明方法叫做分析法，分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知1→需知2→…已知”..如果a,bR, 那么a2b22ab.当且仅当时, 等号成立..如果a,bR,那么ab当且仅当时, 等号成立..如果a

2bc

a,b,cR, 那么

3

当且仅当时, 等

号成立.40.如果a,b,cR, 那么

baab、caa

b

bc



二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a

2b2

c2

abbcca． 证明：∵a，b，cR，∴a2

b2

≥2ab，b2

c2

≥2bc，c2

a2

≥2ac

变式训练

已知a,b,c0,且不全相等,求证:a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

2.用分析法证明 求证:3621.达标检测

1.下列说法不正确的是（）

Ａ.综合法是由因导果的顺推证法Ｂ.分析法是执果索因的逆推证法

Ｃ.综合法与分析法都是直接证法Ｄ.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2．分析法是()

A．执果索因的逆推法B．执因导果的顺推法 C．因果分别互推的两头凑法D．逆命题的证明方法 3.以下数列不是等差数列的是（）

Ａ．Ｂ．π2，π5，π8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P、Q的大小关系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定 5.已知

a,b

是不相等的正数，x

y,y，则

x的大小关系

是.6.用分析法证明（:15（2）

7.已知a,b,cR，abc1，求证：（1a

1)（1b

1)（1c

1)8

8.已知a,b,cR，abc1，求证：1a



11b



c

9

变式.已知a,b,c是两两不相等的正实数，bca

acb

bc

a



b



ac

3

综合法与分析法各有何特点？

【思考·提示】 分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种．平时我们常用分析法探索解题思路，然后用综合法书写步骤．

第三篇：综合法分析法

综合法分析法

学习目标：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.高考题：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）设x1,y1,证明xy111xy;xyxy，logablogbclogcalogbalogcblogac.（Ⅱ）1abc，证明

2、（2010全国卷1文数）（10）设alog32,bln2,c52则

（A）abc（B）bca(C)cab(D)cba 1教材分析：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法----综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。本节的教学应该是比较成功的。

考点预测：1.高考题多以选择题和填空为主，是高考常考内容；

2.主要考察综合法。

授课过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式ab(a0,b0).2（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

教学例题：

综合法证题

例

1、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)

2证明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴b2ac

acac 又∵a，b，c都是正数，所以0bac≤2

∴acb

∴2(abbcac)2(abbcb2)2b(acb)0

∴a2b2c2(abc)2

abba例

2、已知a,bR,求证abab.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法

进行。

证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于

a,b对称，不妨设ab0.ab0

aabbabbaabbb(aabbab)0，从而原不

等式得证。

2）商值比较法：设ab0,aabbaa1,ab0,ba()ab1.bb ab故原不

等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差

（或作商）、变形、判断符号。

例

3、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)

2=33x23x41x2x42x2x22x

3=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)13=2(x1)2[(x)2].2

413x1,从而(x1)20,且(x)20, 24

13∴2(x1)2[(x)2]0, 24

∴3(1x2x4)(1xx2)2.分析法证题

例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞

a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证

例

2、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2)

分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即证2abcd≤b2c2+a2d2

即证0≤(bc-ad)2

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

证

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比较法 证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2b2)(c2d2)例

3、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证.课堂小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.1、a,b,cR,求证

abc)

2、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4absinC，即证：2cosCC，即：CcosC2，即证：sin(C)1（成6

立）.新学案31页6、7,33页3、4.作业：教材P52 练习2、3题.

第四篇：综合法和分析法

《综合法和分析法（1）》导学案

编写人：马培文

审核人：杜运铎

编写时间：2016-02-24 【学习目标】

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。【重点难点】

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。【学法指导】

① 课前阅读课文（预习教材P85～P89，找出疑惑之处）② 思考导学案中的探究问题，并提出你的观点。

【知识链接】

复习1

两类基本的证明方法:

和

。复习2

直接证明的两中方法:

和

。知识点一

综合法的应用 问题

已知a,b0, 求证

a(b2c2)b(c2a2)4abc。

新知

一般地,利用

,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。反思

框图表示

因导果。

【典型例题】

例

1111变式

已知a,b,cR，abc1，求证

(1)(1)(1)8。

abc

要点

顺推证法；由已知a,b,cR，abc1，求证：

1119 abc

小结

用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。

例2

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形。

变式

设在四面体PABC中,ABC90,PAPBPC,D是AC的中点.求证

PD垂直于ABC所在的平面。

小结

解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。

【基础达标】

A1.求证

对于任意角θ，cos4sin4cos2。

B2.A,B为锐角，且tanAtanB3tanAtanB3，求证

AB60.（提示：算tan(AB)）。

【归纳小结】

综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.运用综合

法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。【知识拓展】

综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法。【当堂检测】

1.已知x,yR,则“xy1”是“x2y21”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.如果a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则（）

A．a1a8a4a5

B．a1a8a4a5

C．a1a8a4a5

D．a1a8a4a5

3..设P1111，则（）log211log311log411log511A．0P1

B．1P2

C．2P3

D．3P4

3314.若关于x的不等式(k22k)x(k22k)1x的解集为(,)，则k的222范围是。

ab,yab，则x,y的大小关系是5.已知a,b是不相等的正数，x2____。

【能力提升】

bcaacbabc1.已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

3。

abc

2.在△ABC中，证明

cos2Acos2B11。2222

【学习反思】

① 基础知识 ＿＿＿。

② 学习方法＿＿＿。

③ 情感认知 ＿＿。

高二数学选修2-2

abab＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

第五篇：综合法和分析法习题

直接证明与间接证明测试题

一、选择题

1．下列说法不正确的是（）

Ａ．综合法是由因导果的顺推证法

Ｂ．分析法是执果索因的逆推证法

Ｃ．综合法与分析法都是直接证法

Ｄ．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）

Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾

Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾

Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用

Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件

3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcca．

证明过程如下：

∵a，b，cR，∴a2b2≥2ab，b2c2≥2bc，c2a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“”不成立，∴将以上三式相加得2(abc)2(abbcac)，∴abcabbcca．此证法是（）22222

2Ａ．分析法

Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法并用Ｄ．反证法

41．

1



1，即证7511

1，∵3511，∴原不等式成立．

以上证明应用了（）Ａ．分析法

5．以下数列不是等差数列的是（）

Ａ．

Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法配合使用Ｄ．间接证法

Ｂ．π2，π5，π8

6．使不等式Ａ．ab

1a16

Ｄ．20，40，60

成立的条件是（）

Ｂ．ab

Ｄ．ab，且ab0

Ｃ．ab，且ab0

二、填空题

7．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的”．

8．已知a0，b0，m

9．当a0，b0时，①(ab)

1a

1

≥4b

2nlg

m与nn的关系为．

；②a2b22≥2a2b；

；④

2abab

≥

以上4个不等式恒成立的是．（填序号）

10．函数f(x)sinx2sinx，x[0，2π]的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是．

11．设函数f(x)lgx，若0a,b，且f(a)f(b)，则ab．

12．已知平面，，满足，，l，则l与的位置关系为．

三、解答题

13．已知a，b，c(0，1)．求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于

14．已知数列an为等差数列，公差d1，数列cn满足cnan2an21(nN)．判断数列cn是否为等差数列，并证明你的结论．

15．若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，至少有一个方程有实根，试求实数aa的取值范围．

．

答案

1.答案：Ｄ2.答案：Ｂ3.答案：Ｂ4.答案：Ａ 5.答案：Ｃ6.答案：Ｄ7.答案：三个内角都小于60° 8.答案： m≤n9.答案：①②③

10.答案：1k3 11.答案：(0，1)12.答案：l

13.证明：假设三式同时大于

14，即(1a)b

164

14，(1b)c

14，(1c)a

14，三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c

11aa又(1a)a≤

24

．①，14164

同理(1b)b≤

14，(1c)c≤．，所以(1a)a(1b)b(1c)c≤

与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．

14.答案：是．证明：由条件ana1(n1)，则cnan2an212n2a11． 所以cn1cn2，所以数列cn为等差数列．

116a24(4a3)0，

15.解：设三个方程均无实根，则有2(a1)24a20，2

34a4(2a)0，