数学选修2-2教案：2.2.1综合法和分析法、2.2.2反证法

第一篇：数学选修2-2教案：2.2.1综合法和分析法、2.2.2反证法

综合法和分析法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.已知 “若a1,a2R，且a1a21，则

1a

11a

2，试请此结论推广猜想.4”

1a1

1a2

....

1an

2 n）

（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则2.已知a,b,cR，abc1，求证：

1a1b1c9.先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？

二、讲授新课： 1.教学例题：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：

要点：顺推证法；由因导果.bca

a



acb

b



abc

c

3.③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2.练习：



① A,B为锐角，且tanAtanBAtanB求证：（提示：算tan(AB)）AB60.② 已知abc, 求证：

1ab



1bc



4ac

.3.小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：

1.求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2.（教材P52 练习1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2.ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：3.作业：教材P54A组 1题.1ab



1bc



3abc

.第二课时2.2.1综合法和分析法

（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式ab

2(a0,b0).（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1.教学例题：

① 出示例

1

讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→ 板演证明过程（注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：

22要点：逆推证法；执果索因.1331③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)2(xy)3.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P48.讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例5：见教材P49.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2.练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为

形边长为l4ll2，截面积为(l22)>().24ll2)，周长为l的正方2，截面积为()2，问题只需证：（43.小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）

三、巩固练习：

2221.设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：cab4ab.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4absinC，即证：2cosC

CCcosC2，即证：sin(C

2.作业：教材P52 练习2、3题.6)1（成立）.第三课时2.2.2反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）

2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.讨论如何证明这个命题？

3.给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。

但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课：

1.教学反证法概念及步骤： A① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么ab

② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2.教学例题：

① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例

2.（同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为m/n）

m/n（m,n为互质正整数），从而：(m/n)23，m23n2，可见m是3的倍数.设m=3p（p是正整数），则 3n2m29p2，可见n 也是3的倍数.这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）.m/n.③ 练习：如果a1为无理数，求证a是无理数.提示：假设a为有理数，则a可表示为p/q（p,q为整数），即ap/q.由a1(pq)/q，则a1也是有理数，这与已知矛盾.∴ a是无理数.3.小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

三、巩固练习： 1.练习：教材P541、2题2.作业：教材P54A组3题.

第二篇：2.2.1综合法和分析法

数学选修1-2第二章推理与证明编号：3姓名：班级：评价：编制人：许朋朋 赵阳领导签字：

§2.2.1 综合法和分析法

一、教学目标：

（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；

（三）情感、态度与价值观：，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

三、教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

四、教学过程:

（一）导入新课：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通

过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

（二）新课：

1.综合法的概念：

综合法的特点：用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，综合法可表示为：PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

例1：已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a

2)4abc

例

2、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例

3、已知a,bR,求证aa

bb

ab

ba

.注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。2.分析法的概念： 分析法的特点：分析法可表示为：QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

例4：求证725。

3.分析法和综合法结合的应用：在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条

件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘

．若

由P‘可以推出Q‘

成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

数学选修1-2第二章推理与证明编号：3姓名：班级：评价：编制人：许朋朋 赵阳领导签字：

例5、已知,k



(kZ)，且 sincos2sin①sincossin2②

tan

21tan2

求证：

1

1tan22(1tan2

)。

（三）课堂小结：

综合法和分析法的特点：

（四）当堂检测

1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac<3a索的因应是()A．a－b>0

B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0

2．设a>0，b>0，a＋b＝1.求证：(1)111a＋bab≥8；(2)a＋1a2＋b＋1b2≥252.3．若a，b，c为不全相等的正数，求证：lga＋bb2lg＋cc＋a

2＋lg2>lga＋lgb＋lgc.，求证(a－b)2a＋b(a－b)2

4．已知a>b>08a2－ab<8b.（五）布置作业：

1、a,b,cR,求证

abc)

2.设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,s=1

(a+b+c)

试证s<2a

第三篇：2.2.1 综合法和分析法

2．2 直接证明与间接证明

2．2.1 综合法和分析法

整体设计

教材分析

在以前的学习中，学生已经能用综合法和分析法证明数学问题，但他们对综合法和分析法的内涵和特点不一定非常清楚．本节内容结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习中，能自觉地、有意识地运用综合法和分析法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯．

课时分配

2课时．第1课时综合法，第2课时分析法．

第1课时

教学目标

1．知识与技能目标

(1)理解综合法证明的概念；

(2)能熟练地运用综合法证明数学问题．

2．过程与方法目标

(1)通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；

(2)引导学生归纳出综合法证明的操作流程图．

3．情感、态度与价值观

(1)通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性；

(2)通过综合法的学习，养成审慎思维的习惯．

重点难点

重点：(1)结合已经学过的数学实例理解综合法；

(2)了解综合法的思考过程、特点．

难点：(1)对综合法的思考过程、特点的概括；

(2)运用综合法证明与数列、几何等有关内容．

教学过程

引入新课

证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．

提出问题：给出以下问题，让学生思考应该如何证明．

请同学们证明：

已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，找出以上问题的证明方法，教师巡视指导，并注意与学生交流．

活动结果：(学生板书证明过程)

证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.引导学生应用不等式证明以上问题，体会综合法证明的思考过程，为引出综合法的定义做准备．

探究新知

提出问题：请同学们回顾，你证明这道题的思维过程．

活动设计：学生自由发言．

教师活动：整理学生发言，得到证明上题的思维过程．

首先，分析待证不等式的特点：不等式右端是3个数a，b，c乘积的四倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积，据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式两端出现相同的形式；

其次，寻找转化的依据及证明中要用的知识，本题应用不等式x2＋y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据；

最后，给出证明即可．

(在总结证明上题思维过程的同时，向学生灌输解决问题先粗后细，先框架，后具体的思想)

这样，我们可以把上题的证明过程概括为：从已知条件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性质出发，通过推理得出结论成立．

活动结果：

综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

设计意图

让学生先表达综合法证明的特点，但他们对综合法的内涵和特点表达不一定非常清楚，因此再由老师整理出综合法证明的思维特点来，进而将问题一般化，得到综合法的定义．

运用新知

例1在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

思路分析：本题首先把已知条件进行语言转换，即将A，B，C成等差数列转化为2B＝A＋C，a，b，c成等比数列转化为b2＝ac，接着把隐含条件显性化，将A，B，C为△ABC三个内角明确表示为A＋B＋C＝π，然后寻找条件与结论的联系；利用余弦定理可以把边和角联系起来，建立边和角的关系，进而判断三角形的形状．这样，就可以尝试直接从已知条件和余弦定理出发，运用综合法来推导出结论．

证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①

由A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②

π由①②，得B＝，③

3由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④

由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤

π由②③⑤，得A＝B＝C＝△ABC为等边三角形． 3

点评：在证明数学命题时，经常要把已知条件进行语言转换，把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等，还要把命题中的隐含条件显性化，然后寻找条件与结论的联系，最后运用综合法来推导结论．

bn1an111设a＋b>0，n为偶数，证明＋.abab－－

bn1an111an－bnan1－bn1证明：＝，ababab－－－－

(1)当a>0，b>0时，(an－bn)(an1－bn1)≥0，(ab)n>0，－－

an－bnan1－bn1bn1an111所以≥0，故＋ababab－－－－

(2)当ab为负值时，不妨设a>0，b<0，由于a＋b>0，所以a>|b|.又n是偶数，所以(an－b)(ann－1－bn－1an－bnan1－bn1bn1an111)>0.又(ab)>0，故>0，即＋.ababab－－－－n

bn1an111综合(1)(2)可知，≥ abab－－

理解新知

(1)由于综合法证明的特点，我们有时也把这种证明方法叫“顺推证法”或“由因导果法”．

(2)框图表示

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．

2如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．

证明SO⊥平面ABC.思路分析：从已有的定义、定理、公理出发，推出要证的结论．

证明：由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝2SA，且AO⊥BC.22，从而OA2＋SO2＝

SA2.2又因为△SBC与△ABC全等，故有SO⊥BC，且SO＝

所以△SOA为直角三角形，所以SO⊥AO.又AO∩BO＝O，所以SO⊥平面ABC.点评：让学生进一步熟悉综合法证明的思维过程与特点，学习综合法证明的规范证明过

程，同时熟悉综合法证明的操作流程图．

巩固练习

11＋已知a，b，c∈R，求证：(a＋b＋c)()≥4.ab＋c

a＋b＋ca＋b＋cb＋c11a＋证明：由于a，b，c∈R，则(a＋b＋c)(＋＝＋＝1＋＋1＋ab＋caab＋cb＋c

b＋ca＝2＋(≥2＋ab＋cb＋ca4.ab＋c

变练演编

＋已知x，y，z∈R，a，b，c∈R，b＋c2c＋a2a＋b2求证：＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

思路分析：抓住要证明式子的结构特征，合理运用均值不等式，用综合法证明上述不等式．

b＋c2c＋a2a＋b2b2c2c2a＋证明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，则＋y＋＝＋＋＋abcaabbabbacacby2＋2＋2＝(x22)＋(x2＋z2)＋(2＋z2)≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋xz＋yz)，ccabacbc

b＋c2c＋a2a＋b2所以有＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

点评：学会结合条件及所证的结论，寻找到解决问题所需的知识，充分体会综合法证明不等式的方法，规范解题步骤．

达标检测

1．综合法：(1)一般的，利用____________，经过____________最后________，这种证明方法叫做综合法．

2．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列各式中，一定正确的是()

A．ac≥bB．ab≥c

C．bc≥aD．ab≤c

答案：1.已知条件和某些数学定义，公理，定理 一系列的推理论证 推导出证明的结论成立

2．B

课堂小结

1．综合法证明是证明题中常用的方法．从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论．

2．综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等，还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

3．综合法可用于证明与函数、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题．

布置作业

课本本节练习1、3.补充练习

基础练习

1．△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosA＝cosC，求证：△ABC为等边三角形．

证明：由3b＝3asinB3sinB＝23sinAsinBsinA3π2πA＝.23

3π由cosA＝cosCA＝C，且A＋B＋C＝π，所以A＝C＝B.所以△ABC为等边三角3

形．

拓展练习

22．已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，f(x)的导函数是f′(x)．对任意两个不相等的正数x

fx1＋fx2x1＋x2x1、x2，证明当a≤0时，>f(． 2

22证明：由f(x)＝x2＋＋alnx，x

得fx1＋fx212211a(x1＋x2)＋(＋＋1＋lnx2)22x1x22

x1＋x212＝(x2＋x)＋＋alnx1x2.221x1x2x1＋x2x1＋x22x1＋x24＝()＋aln，222x1＋x2

∵x1≠x2且都为正数，x1＋x2212122有(x2＋x)>[(x＋x)＋2xx]＝(.① 212214122

2又(x1＋x2)2＝(x21＋x2)＋2x1x2>4x1x2，∴x1＋x24.② x1x2x1＋x2

x1＋x2x1＋x2∵x1x2<∴lnx1x2

x1＋x2∵a≤0，∴alnx1x2>aln.③ 2

fx1＋fx2x1＋x2由①、②、③得． 2

2设计说明

本节通过具体证明实例，使学生了解直接证明的基本方法——综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力；并能用综合法证明数列、几何等有关内容．本节重点突出学生的自主性，教师主要是点拨思路，与知识升华，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，加深对知识的理解和提高证明问题的能力．

备课资料

例1已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1，求证：a＋bc3.思路分析：此题是应用综合法证明不等式问题，需要用到不等式中的均值不等式的知识来进行证明．

证明：∵a，b，c∈R，∴a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac.∴2(a＋b＋c)≥ab＋bcac)．∴a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a＋b＋c)＝3.∴(a＋b＋c)2≤3.abc3.点评：运用综合法证明不等式，关键是要由已知条件寻找到正确的所需知识，进而来证＋

明问题．

例2设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；

3(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求证：

21{为等差数列． bn

思路分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，恰当处理递推关系是关键．

证明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，an＋12m两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，由于m≠－3，∴.∴{an}是等比数列． anm＋

3(2)b1＝a1，q＝f(m)＝2m332bn－1∴n∈N，n≥2时，bn＝f(bn－1)＝×.22bn－1＋3m＋3

11111∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴＝.∴{}是首项为1，公差为 bnbn－13bn3

点评：本题主要考查利用综合法和数列的定义，合理处理递推关系的数列证明问题． 例3在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.思路分析：此题事实上比较简单，但学生入手却有些不知所措．对已知条件(1)a2－c2＝2b左侧是二次的，右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件

(2)sinAcosC＝3cosAsinC，过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口．

解：由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.b由正弦定理，得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c

由①，②解得b＝4.点评：在解题中应注意总结，提高对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力．

(设计者：莫静波)

第四篇：选修2-2§2.2.1综合法与分析法

人教版数学选修精品——推理与证明

§2.2.1直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为b2c22bc,a0,所以a(b2c2)2abc,因为ca2ac,b0,所以b(ca)2abc.因此, a(bc)b(ca)4abc.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1.综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式用综合法证明不等式的逻辑关系是： 2222222

2PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公例

1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C;A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之

2间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=． ⑧

由①②，得B=.3由a, b，c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及③，可得

bac2accosBacac.22222

再由④，得a2c2acac.2(ac)0,因此ac.从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=.3

所以△ABC为等边三角形．

解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

2.分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3······直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么用分析法证明不等式的逻辑关系是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：分析法的书写格式：

要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

„„

这只需要证明命题A而已知A为真，故命题B例

3、求证3

证明：因为3只需证明(3725 7和25都是正数，所以为了证明37)(25)22725 展开得1022120

即22110,212

5因为2125成立，所以

(3227)(25)成立 即证明了3725

说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故B必真

在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特

‘‘点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例4 已知,k(kZ)，且

2sincos2sin①

sincossin②2

求证：1tan

1tan221tan2(1tan)22。

分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系

2222(sincos)2sincos1，于是，由 ①一2×② 得4sin2sin1．把

4sin2sin1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：22

统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为cossin

cossin222212

12(cossin),再与4sin2sin1比较，发现只要把c(os222222sin中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．)2证明：因为(sincos)2sincos1，所以将 ① ② 代入，可得 4sin2sin1.③ 2

另一方面，要证

sin21tan1tan2221tan2(1tan)22 1

即证

12sin

cos

22212(1sincossincos1

2222，)222即证cossin

即证12sin

22(cossin)，2122(12sin)，即证4sin2sin1。

由于上式与③相同，于是问题得证。

课堂小结：直接证明的两种方法-综合法和分析法

课后作业：第91页A组 2,3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

首先，介绍为什么要引入证明，以及经常用的两种证明方法，主要介绍的是直接证明的两种方法。然后具体讲解综合法和分析法并举例说明，强调分析法的步骤以及两者的区别。最后举一个两种方法综合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

222222a(bc)b(ca)c(ab)6abc

证明：∵b2c2≥2bc,a＞0,∴a(b2c2)≥2abc①

同理 b(c2a2)≥2abc②

c(ab)≥2abc③ 2

2因为a，b，c不全相等，所以b2c2≥2bc, c2a2≥2ca, a2b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例

2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)

2证明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴b2ac

又∵a，b，c都是正数，所以0b

∴acb

∴2(abbcac)2(abbcb)2b(acb)0

∴abc(abc)

2422例

3、若实数x1，求证：3(1xx)(1xx).22222ac≤ac2ac

证明：采用差值比较法：

3(1xx)(1xx)242

2=33x3x1xx2x2x2x

43=2(xxx1)

=2(x1)(xx1)=2(x1)[(x224242322

12)

2234].1

2)2x1,从而(x1)0,且(x

4]0,22340, ∴2(x1)[(x24212)2∴3(1xx)(1xx).例

4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2)

分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即证ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即证2abcd≤b2c2+a2d

22即证0≤(bc-ad)

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

***22222证法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比较法

证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a-2ab+b＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命题得证.2222

第五篇：2.2.1综合法与分析法

2.2.1 综合法与分析法

一．教学目标：

1．知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2．过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

3．情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

三．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

四．教学过程

直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。常用的直接证明方法有综合法与分析法。

综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。具体地说，综合法是从已知条件出法，经过逐步的推理，最后达到待证结论。分析法则是从待证结论出法，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实。

1.教学实例：

1232例1log519log319log219 1证明：因为 logba

左式=log 1952log 1933log 192log 19360l

因为log 19360log 19361

2所以 123

2log519log319log219

这个证明就是从已知条件出法，进行简单的运算和推理，得到要证明的结论，其中要用到一些已经证明的命题。

例2．如图，设四面体PABC中, ∠ABC=90°，PA=PB=PC，D中点，求证：PD 垂直于△ABC 所在的平面。

证明：连接PD，BD，因为BD 是Rt△ABC 斜边上的中线，所以DA=DB=DC，又因为PA=PB=PC，而PD 是△PDA、△PBD、△PCD 的公共边，所以△PDA≌△PBD≌△PCD，于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，而∠PDA=∠PDC=90°，可见PD⊥AC，PD⊥BD，由此可知，PD 垂直于△ABC 所在的平面。

这个证明的步骤是：

（1）由已知BD 是Rt△ABC 斜边上的中线，推出DA=DB=DC，记为P0(已知)⇒P1；

（2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出三个三角形全等，记为P1⇒P2；

（3）由三个三角形全等，推出∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，记为P2⇒P3；

（4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，推出PD 垂直于△ABC 所在的平面，记为P3⇒P4(结论)； logba

这个证明步骤用符号表示就是P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论).2．分析法

例3

证明：因为3

7和2

只需证明7）(25)

展开得10 + 2 2221 < 20，即21 < 5，只需证明21<25，因为21<25成立，所以不等式72成立。

分析法证明的逻辑关系是：B(结论)⇐Bl ⇐B2 ⇐ „„ ⇐Bn ⇐A(已知).在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明的事实。因此从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。

例4．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。

LL证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为，正方形的面积为。42

LL因此本题只需证明>，242222

L2L2

为了证明上式成立，只需证明, 1642

两边同乘以正数411，得 24L

22LL因为上式是成立的，所以> 24

这就证明了如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。

从前面的例子可以看出，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件，分析法与综合法各有其特点。有些具体的待证命题，用分析法和综合法都可以证出来，人们往往选择比较简单的一种。从以上几中可以看出，分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路，综合法解题条理清晰，易于表述。因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻找思路，再用综合法有条理地表述解题过程

3．小结：

（1）分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是

从数学题的（2）已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。