高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案 新人教A版选修1-2

第一篇：高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案 新人教A版选修1-2

§2.2.1综合法和分析法(二)

.2.根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.4850

复习1：综合法是由导;

复习2：基本不等式:

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：分析法

问题：

ab如何证明基本不等式(a0,b0)

2新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示

要点：逆推证法；执果索因

※ 典型例题

例

1变式：求证

小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 在四面体SABC中,SA面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AFSC.变式：设a,b,c为一个三角形的三边,s1

2(abc),且s22ab,试证s2a.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※ 动手试试

练1.求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2.设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab

三、总结提升

※ 学习小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立.※ 知识拓展

证明过程中分析法和综合法的区别:

在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.,其中最合理的是

A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法

ba2.不等式①x233x;②2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正确

3.已知yx0,且xy1,那么

xyxyA.xy2xyB.2xyxy 22

xyxyC.x2xyyD.x2xyy 22

2224.若a,b,cR,则abcabbcac.5.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(ba0),则其浓度为;若再加入m千克的白糖(m0),糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式:.1.已知ab0,(ab)2ab(ab)2

求证

:.8a28b

2.设a,bR,且ab,求证:a3b3a2bab2

第二篇：高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案2_新人教A版选修1-2

§2.2.1综合法和分析法（3）

学习目标：1.能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;

2.学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3.养成勤于观察、认真思考的数学品质.复习1：综合法是由导;2：分析法是由索.新课导学：综合法和分析法的综合运用

问题：已知,k

2(kZ),且sincos2sin,sincossin

2, 求证:1tan21tan21tan2

2(1tan2).新知：用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：

试试：已知tansina,tansinb，求证：(a2b2)216ab.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.例1： 已知A,B都是锐角，且AB

2，(1tanA)(1tanB)2，求证：AB45

变式：已知

1tan

2tan

1，求证：3sin24cos2.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体PABC中，PDABC，ACBC，D是AB的中点，求证：ABPC.变式：如果a,b0，则lgablgalgb

2

2.总结提升：学习小结

综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一

.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.※ 动手试试

练1.设实数a,b,c成等比数列，非零实数x,y分别为a与b，b与c的等差中项，求证

axc

y

2.练2.已知AB54，且A,Bk

(kZ)，求证：(1tanA)(1tanB)2.三、总结提升 ※ 学习小结

1.直接证明包括综合法和分析法.2.比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径

.※ 知识拓展

综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.给出下列函数①yxx3，②yxsinxcosx,③ysinxcosx,④y2x2x,其中是偶函数的有（）.A．1个B．2个C．3 个D．4个

2.m、n是不同的直线，,,是不同的平面，有以下四个命题（）.①////// ；②

m//m③mm//n

m// ；④

nm//

其中为真命题的是（）A．①④B.①③C．②③D．②④

3.下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）.A．a，b均为负数，则abb

a



2B

2 C．lgxlogx102

D．aR,(1a)(1

1a)

44.设α、β、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若α⊥r，β⊥r，则α∥β

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥α，n⊥α，则m⊥n 其中真命题是.5.已知p:2x31,q:x(x3)0, 则p是q的条件.1.已知a,b,cR，a,b,c互不相等且abc

1.

1a11bc

.2.已知a,b,c,d都是实数，且a2b21,c2d21，求证：|acbc|1.

第三篇：高中数学：2.2.1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案

教学目标：

（一）知识与技能：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；

（三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时2.2.1综合法和分析法

（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

114”，试请此结论推广猜想.aa11112.... n2）（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则a1a2an1112.已知a,b,cR，abc1，求证：9.abc先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 1.已知 “若a1,a2R，且a1a21，则

二、讲授新课：

1.教学例题：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？

→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

2.练习：

① A,B

为锐角，且tanAtanBbcaacbabc3.abctanAtanBAB60.（提示：算3tan(AB)）

② 已知abc, 求证：

3.小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：

1.求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2.（教材P100 练习1题）

（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）

2.ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：

3.作业：教材P102A组 2、3题.第二课时2.2.1综合法和分析法

（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式

二、讲授新课：

1.教学例题：

① 出示例

1

讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程（注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：

2114.abbcac113.abbcabc（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）ab(a0,b0).2要点：逆推证法；执果索因.1223133③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)(xy).先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P97.讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例3：见教材P99.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2.练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.ll，截面积为()2，周长为l22ll2l2l2的正方形边长为，截面积为()，问题只需证：()>().442

43.小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为

所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）

三、巩固练习：

1.设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4absinC，即证：2cosC

CCcosC2，即证：sin(C

2.作业：教材P100 练习2、3题.第三课时2.2.2反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）

2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.讨论如何证明这个命题？

3.给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。

但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课：

1.教学反证法概念及步骤：

① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么a

② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2.教学例题：

6)1（成立）.① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例2：

.（同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为m/n）

m/n（m,n为互质正整数），从而：(m/n)23，m23n2，可见m是3的倍数.设m=3p（p是正整数），则 3n2m29p2，可见n 也是3的倍数.这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）.m/n.③ 练习：如果a1为无理数，求证a是无理数.提示：假设a为有理数，则a可表示为p/q（p,q为整数），即ap/q.由a1(pq)/q，则a1也是有理数，这与已知矛盾.∴ a是无理数.3.小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

三、巩固练习： 1.练习：教材P1021、2题2.作业：教材P102A组4题.

第四篇：选修2-2§2.2.1综合法与分析法

人教版数学选修精品——推理与证明

§2.2.1直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为b2c22bc,a0,所以a(b2c2)2abc,因为ca2ac,b0,所以b(ca)2abc.因此, a(bc)b(ca)4abc.P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1.综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式用综合法证明不等式的逻辑关系是： 2222222

2PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公例

1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C;A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之

2间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=． ⑧

由①②，得B=.3由a, b，c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及③，可得

bac2accosBacac.22222

再由④，得a2c2acac.2(ac)0,因此ac.从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=.3

所以△ABC为等边三角形．

解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

2.分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3······直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么用分析法证明不等式的逻辑关系是：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的思维特点是：分析法的书写格式：

要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

„„

这只需要证明命题A而已知A为真，故命题B例

3、求证3

证明：因为3只需证明(3725 7和25都是正数，所以为了证明37)(25)22725 展开得1022120

即22110,212

5因为2125成立，所以

(3227)(25)成立 即证明了3725

说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有„„

这只需要证明命题B2为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真

而已知A为真，故B必真

在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特

‘‘点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例4 已知,k(kZ)，且

2sincos2sin①

sincossin②2

求证：1tan

1tan221tan2(1tan)22。

分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系

2222(sincos)2sincos1，于是，由 ①一2×② 得4sin2sin1．把

4sin2sin1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：22

统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为cossin

cossin222212

12(cossin),再与4sin2sin1比较，发现只要把c(os222222sin中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．)2证明：因为(sincos)2sincos1，所以将 ① ② 代入，可得 4sin2sin1.③ 2

另一方面，要证

sin21tan1tan2221tan2(1tan)22 1

即证

12sin

cos

22212(1sincossincos1

2222，)222即证cossin

即证12sin

22(cossin)，2122(12sin)，即证4sin2sin1。

由于上式与③相同，于是问题得证。

课堂小结：直接证明的两种方法-综合法和分析法

课后作业：第91页A组 2,3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

首先，介绍为什么要引入证明，以及经常用的两种证明方法，主要介绍的是直接证明的两种方法。然后具体讲解综合法和分析法并举例说明，强调分析法的步骤以及两者的区别。最后举一个两种方法综合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

222222a(bc)b(ca)c(ab)6abc

证明：∵b2c2≥2bc,a＞0,∴a(b2c2)≥2abc①

同理 b(c2a2)≥2abc②

c(ab)≥2abc③ 2

2因为a，b，c不全相等，所以b2c2≥2bc, c2a2≥2ca, a2b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

例

2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)

2证明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比数列，∴b2ac

又∵a，b，c都是正数，所以0b

∴acb

∴2(abbcac)2(abbcb)2b(acb)0

∴abc(abc)

2422例

3、若实数x1，求证：3(1xx)(1xx).22222ac≤ac2ac

证明：采用差值比较法：

3(1xx)(1xx)242

2=33x3x1xx2x2x2x

43=2(xxx1)

=2(x1)(xx1)=2(x1)[(x224242322

12)

2234].1

2)2x1,从而(x1)0,且(x

4]0,22340, ∴2(x1)[(x24212)2∴3(1xx)(1xx).例

4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤(a2b2)(c2d2)

分析一:用分析法

证法一:(1)当ac+bd≤0时,(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即证ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即证2abcd≤b2c2+a2d

22即证0≤(bc-ad)

因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:分析二:用综合法

***22222证法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比较法

证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a-2ab+b＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命题得证.2222

第五篇：数学选修2-2教案：2.2.1综合法和分析法、2.2.2反证法

综合法和分析法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.已知 “若a1,a2R，且a1a21，则

1a

11a

2，试请此结论推广猜想.4”

1a1

1a2

....

1an

2 n）

（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则2.已知a,b,cR，abc1，求证：

1a1b1c9.先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？

二、讲授新课： 1.教学例题：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：

要点：顺推证法；由因导果.bca

a



acb

b



abc

c

3.③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程→ 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2.练习：



① A,B为锐角，且tanAtanBAtanB求证：（提示：算tan(AB)）AB60.② 已知abc, 求证：

1ab



1bc



4ac

.3.小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：

1.求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2.（教材P52 练习1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2.ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：3.作业：教材P54A组 1题.1ab



1bc



3abc

.第二课时2.2.1综合法和分析法

（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式ab

2(a0,b0).（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1.教学例题：

① 出示例

1

讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→ 板演证明过程（注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：

22要点：逆推证法；执果索因.1331③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)2(xy)3.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P48.讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例5：见教材P49.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2.练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为

形边长为l4ll2，截面积为(l22)>().24ll2)，周长为l的正方2，截面积为()2，问题只需证：（43.小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）

三、巩固练习：

2221.设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：cab4ab.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4absinC，即证：2cosC

CCcosC2，即证：sin(C

2.作业：教材P52 练习2、3题.6)1（成立）.第三课时2.2.2反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）

2.提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”.讨论如何证明这个命题？

3.给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，即O是l与m的交点。

但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课：

1.教学反证法概念及步骤： A① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么ab

② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.注：结合准备题分析以上知识.2.教学例题：

① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例

2.（同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为m/n）

m/n（m,n为互质正整数），从而：(m/n)23，m23n2，可见m是3的倍数.设m=3p（p是正整数），则 3n2m29p2，可见n 也是3的倍数.这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）.m/n.③ 练习：如果a1为无理数，求证a是无理数.提示：假设a为有理数，则a可表示为p/q（p,q为整数），即ap/q.由a1(pq)/q，则a1也是有理数，这与已知矛盾.∴ a是无理数.3.小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

三、巩固练习： 1.练习：教材P541、2题2.作业：教材P54A组3题.