高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大选修2-2讲解

第一篇：高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大选修2-2讲解

§2 综合法和分析法

在数学中,常用推理和证明来证明一个命题,证明是引用一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式,在过去的学习中,我们曾经用直接证明或间接证明两类方法证明过许多命题.本节的内容就是学习直接证明的两种方法:综合法和分析法.高手支招1细品教材

一、演绎推理

1.概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.2.演绎推理的特点

(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.状元笔记

演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.【示例】判断下列推理,哪些为合情推理,哪些不是合情推理。

(1)a//b,b//c,则a//c;（2)a⊥b,b⊥c,则a⊥c;（3)三角形的内角和为180°,四边形的内角和为360°,五边形的内角和为540°, „„,所以n边形的内角和为(n-2)×180°;(4)今天是星期日,7天之后也是星期日.思路分析：根据实际问题中推理所得问题的真假来判断是否为合情推理.答案：合情推理为(1)(3)(4),不是合情推理的是(2).二、直接证明 1.概念

直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明.2.答案：直接证明的一般形式

本题条件已知定义本题结论

已知公理已知定理

三、综合法

1.定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种思维方法叫做综合法.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因导果的证明方法.2.综合法的证明步骤用符号表示为:P0(已知)P1P2„Pn(结论).状元笔记

用综合法证明问题时因果关系要清晰,逻辑表达要明确.综合法所说的“由已知推结论”这里已知是已知的条件和某些数学定义、公理、定理.【示例】设a、b、c＞0,求证：

bcacab++≥a+b+c.abc1 思路分析：从不等式的形式看,具有字母轮换性,而且又是齐次式,可考虑用分合思想加以证明,由三个二项式相加而得出.证明：因为bcacbcac+≥2=2c, ababacababbcacababbc≥2≥2=2a,=2b,将以上三个不等式左、右分别相加,bccabcca得:2(bcacabbcacab)≥2a+2b+2c,即≥a+b+c.abcabc

四、分析法

1.定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止.分析法也是数学证明中的一种常用直接方法,它先假设所要求证明命题的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断,而当这些判断恰恰都是已知的命题(定义、公理、法则、公式等)时,命题得证.2.分析法的证明步骤用符号表示为:B(结论)B1B2„BA(已知).状元笔记

分析法就是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归纳为一个明显成立的条件.使用分析法证明不等式,在分析推理时,要学会正确使用连接有关步骤的关键词,如:“为了证明”“只需证明”等.【示例】如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证:AF⊥SC.思路分析：本题所给的已知条件中,垂直关系较多,不容易确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件.在立体几何中,通常可以把证明两条直线互相垂直的问题转化为证明直线与平面垂直的问题.证明：要证AF⊥SC, 只需证SC⊥平面AEF, 只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC), 只需证AE⊥平面SBC, 只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB), 只需证BC⊥平面SAB, 只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC).由SA⊥平面ABC可知,上式成立.所以AF⊥SC.1.区别:由于分析法是执果索因,立足于寻找欲证结论的合适的充分条件,利于思考;分析法确定解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,证明思路条理清晰,适宜于表述.分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步向“已知”靠拢,其实际上是找寻它的充 分条件.综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法各有特点.有些具体的待证命题,用分析法或综合法都可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种.2.联系:对于一个新的问题,多半采取先用分析法寻求思路、解法,后用综合法有条理地表述解题过程,实际证题过程,分析与综合是统一运用的,把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合;没有综合也就没有分析.高手支招2基础整理

本节讲的是直接证明的两种方法:综合法和分析法.掌握并应用这两种证明方法就是本节的主要内容.本节的知识结构如下:

第二篇：高中数学第一章推理与证明12综合法与分析法分析法北师大版2-2.

分析法

一、教学目标：

1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；

2、了解分析法的思考过程、特点。

二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

(一)、复习：综合法的思考过程、特点

（二）、引入新课

在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。特点：执果索因。即：要证结果Q，只需证条件P

（三）、例题探析

例

1、已知：a，b是不相等的正数。求证：ababab。

证明：要证明ababab

只需证明(ab)(aabb)ab(ab)，只需证明(ab)(aabb)ab(ab)0，只需证明(ab)(a2abb)0，只需证明(ab)(ab)0，只需证明(ab)0且(ab)0。

由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保证上式成立。这样就证明了命题的结论。例

2、求证：87510。证明：要证明 87510，***2只需证明(87)2(510)2，即 87256510250，只需证明 5650，即 56>50，这显然成立。

这样就证明了87510

例

3、求证：函数f(x)2x212x16在区间（3，+∞）上是增加的。证明：要证明函数f(x)2x212x16在区间（3，+∞）上是增加的，只需证明 对于任意x1，x2∈（3，+∞），且x1>x2时，有f(x1)f(x2)0，只需证明 对任意的x1>x2>3，有

2f(x1)f(x2)(2x1212x116)(2x212x216)22x122x2(12x112x2)2(x1x2)(x1x2)12(x1x2)2(x1x2)(x1x26)0∵x1>x2>3 ∴x1-x2>0，且x1+x2>6，它保证上式成立。

这样就证明了：函数f(x)2x12x16在区间（3，+∞）上是增加的。

（四）、小结：分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（五）、练习：课本P11练习1：

1、2。

（六）、作业：课本P12习题1-2 4、5。

五、教后反思：

第三篇：选修1-2第二章推理与证明的综合法与分析法教案

2.2.1综合法和分析法

（二）教案

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：基本不等式的形式？

2.讨论：如何证明基本不等式ab2(a0,b0).（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1.教学例题：

① 出示例1：求证3725.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→ 板演证明过程（注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？→ 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：

③ 练习：学案练习第1题

要点：逆推证法；执果索因.④出示例5：见教材P49.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2.练习:学案巩固练习第2题：设x > 0，y > 0，证明不等式：(x

提示：先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.1222331y)(xy)

33．用综合法和分析法评析课本P41的例6

4.小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P,P12,，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）

三、巩固练习：

1.设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证

：cab4ab222.略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4ab即证：2cosCCsinC，

6，CcosC2，即证：sin(C.)1（成立）

2.作业：教材P52 练习2、3题.

第四篇：选修1-2第二章推理与证明的综合法与分析法学案Word 文档

课题：2.2.1综合法与分析法学案（2）学习目标：

1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法；

2、会运用分析法和综合法进行证明；

3、了解分析法和综合法的思考过程、特点.学习重点：会用分析法证明问题；注意分析法的连接词.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.学习过程：

一、引入：1）提问：基本不等式的形式？

2.）

讨论：如何证明基本不等式ab

2(a0,b0).3）新知探索

讨论、归纳分析法的概念（课本上P39）并用框图表示

二、学习新课：

例1.72.如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

例

2、已知，k

2(kZ),且

sincos2sin,sincossin2;

1tan21tan2

1tan22(1tan2)

（注意格式）

二、巩固练习：（个人完成，小组评改，课堂展示）

1、例1针对性练习：



2、设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)(xy)

3、设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab

三、对比综合法和分析法的区别与联系（小组讨论，课堂展示）

四、延伸提高：

用分析法证明：若a

五、作业：P44B组1、2题 1a2． a21223133

第五篇：高中数学第三章推理与证明3.2数学证明同步测控北师大选修1-2讲解

高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明同步测控 北师大版选

修1-2

我夯基 我达标

1.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°

B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质

C.某校高三共有10个班,一班有51人,二班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人

D.在数列{an}中,a1=1,an=

11(an-1+)(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2an1解析:演绎推理的一般形式是三段论.A符合三段论形式,B、C、D都是猜测不符合三段论,故选A.答案:A 2.下列说法中正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理一般模式是“三段论”形式

④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:演绎推理在大前提和小前提都正确的情况下结论正确.(2)不对;(4)对;(1)(3)对.答案:C 3.“因对数函数y=logax是增函数(大前提），而y=log1x是对数函数(小前提），所以y=log1x

33是增函数（结论）.”上面推理的错误是()A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错

C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 解析:对数函数y=logax不一定是增函数, 当a>1时,y=logax是增函数;当0

B.因为正方形的对角线互相平分且相等,所以对角线互相平分且相等的四边形是正方形 C.因为a>b,ab,c>d,所以a-d>b-c 解析:A中不是三段论,B中对角线互相平分且相等是矩形,而正方形是特殊情况,C中a>b,则a-b>0.ad,∴-d>-c.∵a>b,∴a-d>b-c.答案:D 1001007._____________,(2+1)是奇数,所以(2+1)不能被2整除.将此三段论补充完整.解析:本三段论缺少大前提:奇数不能被2整除.答案:奇数不能被2整除

8._____________,木星是太阳系的大行星,因此木星以椭圆轨道绕太阳运行.将此三段论补充完整.解析:本三段论缺少大前提:太阳系的大行星以椭圆轨道绕太阳运行.答案:太阳系的大行星以椭圆轨道绕太阳运行

我综合 我发展

9.指出三段论“自然数中没有最大的数字（大前提），9是最大的数字（小前提）,所以9不是自然数（结论）”中错误的是___________.解析:大前提出错.自然数中没有最大的数,“数”与“数字”是不同的概念,本题概念混淆.答案:大前提

10.“平面内到两定点F1、F2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提).平面内动点M到两定点F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M点的轨迹是椭圆(结论)中错误的是__________.解析:大前提中到两定点距离之和为定值(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密.答案:大前提

11.在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、AD、BC、DC的中点.用三段论证明EF∥GH.解析:按三段论形式写出.证明:平行于同一直线的两直线平行,(大前提)在△ABD中,E、F为AB、AD的中点, ∴EF∥BD.同理GH∥BD,(小前提)∴EF∥GH.(结论)12.已知空间四边形ABCD中,点E、F分别是AB、AD的中点,如图所示.2

求证:EF∥平面BCD(指出大前提和小前提).解析:根据线面平行的判定定理判定,用三段论的形式写出.证明:连结BD.三角形中位线与第三边平行,„„大前提

点E、F分别是AB、CD的中点,EF是△ABD的中位线,„„小前提 ∴EF∥BD.平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与平面平行,„„大前提 EF平面BCD,BD平面BCD,EF∥BD,„„小前提

∴EF∥平面BCD.13.数列{an2n}的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=nSn.求证:(1)数列{Snn}是等比数列;(2)Sn+1=4an.解析:已知an+1与Sn之间的关系,研究Sn需将an+1换成Sn+1-Sn表示,从而解答.证明:(1)∵a2n+1=Sn+1-Sn=nnSn, ∴S2(n1)n+1=S,即Sn1Snn1=2·nnn.∴{Snn}是等比数列,公比为2.(2)由(1)知Snn=S11·2n-1=an-1n-

11·2=2, ∴S=n·2n-1n, Snn+1=(n+1)·2.由an2n2n-1n+1=nSn-1n=n·n·2=(n+2)·2, 知当n≥2时,an-2n=(n+1)·2, 当n=1时,a1=1适合上式.∴an-2n=(n+1)·2.∴Sn+1=4an成立.14.已知函数f(x)=(m-1)x

2+2mx+3是R上的偶函数,求f(x)的单调区间.解析:由f(x)是偶函数可确定m的值,即确定f(x)的解析式,从而求出单调区间.解:∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数, ∴f(-x)=f(x), 即(m-1)x2-2mx+3=(m-1)x2

+2mx+3.∴m=0.∴f(x)=-x2+3, f(x)的单调增区间为(-∞,0］,单调减区间为［0,+∞).我创新 我超越

15.求证:f(x)=x4-x3+x2+1的图像都在x轴上方.解析:当x<0时,易证f(x)>0, 当x>0时,可将f(x)变形、合并或分解因式加以判断.证明:当x<0时,∵x4+x2+1>0,-x3

>0, ∴f(x)=x4-x3+x2+1>0.当x=0时,f(x)=1>0;当0≤x≤1时,f(x)=x4+x2

(1-x)+1.∵x4≥0,1-x≥0,∴f(x)>0.当x>1时,f(x)=x3(x-1)+x2

+1>0.综上f(x)>0恒成立.∴f(x)的图像恒在x轴的上方.16.设a>0,b>0,a+b=1.求证:

11a+b+1ab≥8.解析:本题为带有条件的不等式证明, 由已知条件易知ab的范围.而所证不等式左边11ababa+b可变形为a+b=2+ba+ab,由均值不等式转化为常数4.证明:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1=a+b≥2ab.∴ab≤12.∴1ab≥4.又∵1a+1b=aba+abb=2+ba+ab≥2+2baab=4, ∴1a+1b+1ab≥4+4=8成立.