第一篇:高中数学《1.2.1排列》教案4 新人教A版选修2-3
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《1.2.1排列》
教案4
例5.(1)7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
解:问题可以看作:7个元素的全排列A77=5040.
(2)7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?
解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040.
(3)7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——A66=720.
(4)7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有A22种;
第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种,所以,共有A22A55=240(5)7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
解法1(直接法):第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A5种方法;第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A5种方法,所以
25一共有A5A5=240025
解法2:(排除法)若甲站在排头有A6种方法;若乙站在排尾有A6种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有A5种方法,所以,甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有A7-2A6+A5=2400种.
说明:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可例6.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定665765不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?
15解法一:(从特殊位置考虑)A9A9136080;
56解法二:(从特殊元素考虑)若选:5A9;若不选:A9,56则共有5A9A9136080种;
65解法三:(间接法)A10A9136080
第二篇:高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列教案新人教B版选修(范文)
1.2.1 排列
教学目标:
理解排列、排列数的概念,了解排列数公式的推导 教学重点:
理解排列、排列数的概念,了解排列数公式的推导 教学过程:
一、复习引入: 1.分类计数原理:
2,乘法原理:
二、新课学习: 1.排列的概念:
从n个不同元素中,任取m(mn)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定..的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 .......说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列;
(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 2.排列数的定义:
从n个不同元素中,任取m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出
m表示 m元素的排列数,用符号An注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从n个不同元素中,任取m个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中,任取m(mn).....
m个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号An只表示排列数,而不表示具体的排列
3.排列数公式及其推导:
mm求An以按依次填m个空位来考虑Ann(n1)(n2)(nm1),排列数公式:
mAnn(n1)(n2)(nm1)=
n!(m,nN,mn)
(nm)!说明:(1)公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是nm1,共有m个因数;
(2)全排列:当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数:nAnn(n1)(n2)21n!(叫做n的阶乘)
4、典例分析
364例1.计算:(1)A16;(2)A6;(3)A6.
m例2.(1)若An17161554,则n,m .
(68n)(69n)用排列数符号表示 .(2)若nN,则(55n)(56n)例3.(1)从2,3,5,71,1这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有多少个?
(2)5人站成一排照相,共有多少种不同的站法?
(3)某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?
课堂小节:本节课学习了排列、排列数的概念,排列数公式的推导
第三篇:11-12学年高中数学 1.2.1 几个常用的函数的导数同步练习新人教A版选修2-2
选修2-2
1.2
第1课时
几个常用的函数的导数
一、选择题
1.下列结论不正确的是()
A.若y=0,则y′=0
B.若y=5x,则y′=5
C.若y=x-1,则y′=-x-2
[答案] D
2.若函数f(x)=,则f′(1)等于()
A.0
B.-
C.2
D.[答案] D
[解析] f′(x)=()′=,所以f′(1)==,故应选D.3.抛物线y=x2在点(2,1)处的切线方程是()
A.x-y-1=0
B.x+y-3=0
C.x-y+1=0
D.x+y-1=0
[答案] A
[解析] ∵f(x)=x2,∴f′(2)=li
=li
=1.∴切线方程为y-1=x-2.即x-y-1=0.4.已知f(x)=x3,则f′(2)=()
A.0
B.3x2
C.8
D.12
[答案] D
[解析] f′(2)=
=
=
(6Δx+12)=12,故选D.5.已知f(x)=xα,若f′(-1)=-2,则α的值等于()
A.2
B.-2
C.3
D.-3
[答案] A
[解析] 若α=2,则f(x)=x2,∴f′(x)=2x,∴f′(-1)=2×(-1)=-2适合条件.故应选A.6.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于()
A.1
B.2
C.3
D.4
[答案] D
[解析] ∵y=x3+x2-x-1
∴=
=4+4Δx+(Δx)2,∴y′|x=1=li
=li[4+4·Δx+(Δx)2]=4.故应选D.7.曲线y=x2在点P处切线斜率为k,当k=2时的P点坐标为()
A.(-2,-8)
B.(-1,-1)
C.(1,1)
D.[答案] C
[解析] 设点P的坐标为(x0,y0),∵y=x2,∴y′=2x.∴k==2x0=2,∴x0=1,∴y0=x=1,即P(1,1),故应选C.8.已知f(x)=f′(1)x2,则f′(0)等于()
A.0
B.1
C.2
D.3
[答案] A
[解析] ∵f(x)=f′(1)x2,∴f′(x)=2f′(1)x,∴f′(0)=2f′(1)×0=0.故应选A.9.曲线y=上的点P(0,0)的切线方程为()
A.y=-x
B.x=0
C.y=0
D.不存在[答案] B
[解析] ∵y=
∴Δy=-
=
=
∴=
∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在,∴切线方程为x=0.10.质点作直线运动的方程是s=,则质点在t=3时的速度是()
A.B.C.D.[答案] A
[解析] Δs=-=
=
=
∴li
==,∴s′(3)=
.故应选A.二、填空题
11.若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为________.
[答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动
[解析] 由导数的物理意义可知:y′=1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
12.若曲线y=x2的某一切线与直线y=4x+6平行,则切点坐标是________.
[答案](2,4)
[解析] 设切点坐标为(x0,x),因为y′=2x,所以切线的斜率k=2x0,又切线与y=4x+6平行,所以2x0=4,解得x0=2,故切点为(2,4).
13.过抛物线y=x2上点A的切线的斜率为______________.
[答案]
[解析] ∵y=x2,∴y′=x
∴k=×2=.14.(2010·江苏,8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.
[答案] 21
[解析] ∵y′=2x,∴过点(ak,a)的切线方程为y-a=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.三、解答题
15.过点P(-2,0)作曲线y=的切线,求切线方程.
[解析] 因为点P不在曲线y=上,故设切点为Q(x0,),∵y′=,∴过点Q的切线斜率为:=,∴x0=2,∴切线方程为:y-=(x-2),即:x-2y+2=0.16.质点的运动方程为s=,求质点在第几秒的速度为-.[解析] ∵s=,∴Δs=-
==
∴li
==-.∴-=-,∴t=4.即质点在第4秒的速度为-.17.已知曲线y=.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程;
(3)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
[解析] ∵y=,∴y′=-.(1)显然P(1,1)是曲线上的点.所以P为切点,所求切线斜率为函数y=在P(1,1)点导数.
即k=f′(1)=-1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为
y-1=-(x-1),即为y=-x+2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y=上.
则可设过该点的切线的切点为A,那么该切线斜率为k=f′(a)=.则切线方程为y-=-(x-a).①
将Q(1,0)坐标代入方程:0-=(1-a).
解得a=,代回方程①整理可得:
切线方程为y=-4x+4.(3)设切点坐标为A,则切线斜率为k=-=-,解得a=±,那么A,A′.代入点斜式方程得y-=-(x-)或y+=-(x+).整理得切线方程为y=-x+或y=-x-.18.求曲线y=与y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.
[解析] 两曲线方程联立得解得.∴y′=-,∴k1=-1,k2=2x|x=1=2,∴两切线方程为x+y-2=0,2x-y-1=0,所围成的图形如上图所示.
∴S=×1×=.
第四篇:高中数学 1.2.2充要条件教案 新人教A版选修2-1
福建省漳州市芗城中学高中数学 1.2.2充要条件教案 新人教A版选
修2-1(一)教学目标
1.知识与技能目标:
(1)正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义.
(2)正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.(3)通过学习,使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,. 2.过程与方法目标:在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质. 3.情感、态度与价值观:
激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神.
(二)教学重点与难点
重点:
1、正确区分充要条件;
2、正确运用“条件”的定义解题 难点:正确区分充要条件.
教具准备:与教材内容相关的资料。
教学设想:在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质.
(三)教学过程 学生探究过程: 1.思考、分析
已知p:整数a是2的倍数;q:整数a是偶数.请判断: p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗? 分析:要判断p是否是q的充分条件,就要看p能否推出q,要判断p是否是q的必要条件,就要看q能否推出p.
易知:pq,故p是q的充分条件; 又q p,故p是q的必要条件. 此时,我们说, p是q的充分必要条件 2.类比归纳
一般地,如果既有pq,又有qp 就记作 p q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p 与 q互为充要条件.3.例题分析
例1:下列各题中,哪些p是q的充要条件?
2(1)p:b=0,q:函数f(x)=ax+bx+c是偶函数;(2)p:x > 0,y > 0,q: xy> 0;(3)p: a > b ,q: a + c > b + c;(4)p:x > 5, ,q: x > 10
22(5)p: a > b ,q: a > b
分析:要判断p是q的充要条件,就要看p能否推出q,并且看q能否推出p. 解:命题(1)和(3)中,pq,且qp,即p q,故p 是q的充要条件; 命题(2)中,pq ,但q p,故p 不是q的充要条件;
命题(4)中,pq,但qp,故p 不是q的充要条件; 命题(5)中,pq,且qp,故p 不是q的充要条件; 4.类比定义
一般地,若pq ,但q p,则称p是q的充分但不必要条件; 若pq,但q p,则称p是q的必要但不充分条件;
若pq,且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件. 在讨论p是q的什么条件时,就是指以下四种之一:
①若pq ,但q p,则p是q的充分但不必要条件;
②若qp,但p q,则p是q的必要但不充分条件;
③若pq,且qp,则p是q的充要条件;
④若p q,且q p,则p是q的既不充分也不必要条件. 5.巩固练习:P14 练习第 1、2题
说明:要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件.
6.例题分析
例2:已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
分析:设p:d=r,q:直线l与⊙O相切.要证p是q的充要条件,只需要分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可. 证明过程略.
例
3、设p是r的充分而不必要条件,q是r的充分条件,r成立,则s成立.s是q的充分条件,问(1)s是r的什么条件?(2)p是q的什么条件?
7.教学反思: 充要条件的判定方法
如果“若p,则q”与“ 若p则q”都是真命题,那么p就是q的充要条件,否则不是. 8.作业:P14:习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题
7、教学反思
8、安全教育
第五篇:高中数学 数学归纳法教案 新人教A版选修4-5
第一课时4.1数学归纳法
教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点:数学归纳法中递推思想的理解.教学过程:
一、复习准备:
1.分析:多米诺骨牌游戏.成功的两个条件:(1)第一张牌被推倒;(2)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾:数学归纳法两大步:(i)归纳奠基:证明当n取第一个值n0时命题成立;(ii)归纳递推:假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.练习:已知f(n)1352n1,nN*,猜想f(n)的表达式,并给出证明?过程:试值f(1)1,f(2)4,„,→ 猜想f(n)n2→ 用数学归纳法证明.3.练习:是否存在常数a、b、c使得等式132435......n(n2)
对一切自然数n都成立,试证明你的结论.二、讲授新课:
1.教学数学归纳法的应用:
① 出示例1:求证11n(an2bnc)611111111,nN* 2342n12nn1n22n
分析:第1步如何写?n=k的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假设出发? 关键:在假设n=k的式子上,如何同补?
小结:证n=k+1时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形.nn② 出示例2:求证:n为奇数时,x+y能被x+y整除.k+2k+22k2k2kk2k2k 分析要点:(凑配)x+y=x·x+y·y=x(x+y)+y·y-x·y
2kkk222kkk=x(x+y)+y(y-x)=x(x+y)+y·(y+x)(y-x).③ 出示例3:平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点,2求证这n个圆将平面分成f(n)=n-n+2个部分.分析要点:n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆C,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆C与k个圆有2k个交点,这2k个交点将圆C分成2k段弧,每段弧将它所在的平
22面部分一分为二,故共增加了2k个平面部分.因此,f(k+1)=f(k)+2k=k-k+2+2k=(k+1)-
(k+1)+2.2.练习:
① 求证
:(11)(1)(1
131)n∈N*).2n1
② 用数学归纳法证明:
(Ⅰ)72n42n297能被264整除;
(Ⅱ)an1(a1)2n1能被a2a1整除(其中n,a为正整数)
n③ 是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.3.小结:两个步骤与一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;从n=k到n=k+1时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习: 1.练习:教材501、2、5题2.作业:教材50 3、4、6题.第二课时4.2数学归纳法
教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点:能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点:理解经典不等式的证明思路.教学过程:
一、复习准备:
1222n2n(n1),nN*.1.求证:1335(2n1)(2n1)2(2n1)
2.求证:11111nn,nN*.2342
1二、讲授新课:
1.教学例题:
① 出示例1:比较n2与2n的大小,试证明你的结论.分析:试值n1,2,3,4,5,6 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明
→ 要点:(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2„.小结:试值→猜想→证明
11② 练习:已知数列an的各项为正数,Sn为前n项和,且Sn(an),归纳出an的公2an
式并证明你的结论.解题要点:试值n=1,2,3,4,→ 猜想an → 数学归纳法证明
③ 出示例2:证明不等式|sinn|n|sin|(nN).要点:|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|
|sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|
④ 出示例3:证明贝努利不等式.(1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)
*2.练习:试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N且a、b、c
nnn互不相等时,均有a+c>2b.bnn解答要点:当a、b、c为等比数列时,设a=, c=bq(q>0且q≠1).∴ a+c=„.q
ancnacn*当a、b、c为等差数列时,有2b=a+c,则需证>()(n≥2且n∈N).2
2ak1ck11k+1k+1k+1k+11(a+c+a+c)>(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)„.当n=k+1时,24
41kkackacack+1=(a+c)(a+c)>()·()=().4222
3.小结:应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式;技巧:凑配、放缩.三、巩固练习:
111tan(2n))(1)....(1)1.用数学归纳法证明:(1.cos2cos4cos2ntan
11112.已知nN,n2,1.2n1n22n
3.作业:教材P543、5、8题.