【数学】1.1.3《导数的几何意义》学案(新人教A版选修2-2)

第一篇：【数学】1.1.3《导数的几何意义》学案(新人教A版选修2-2)

1.1.3 导数的几何意义

班级：____________姓名：_____________学号：___________ 【学习目标】 1．通过作函数f(x)图像上过点P(x0,f(x0))的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程。

2．掌握函数在某一处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义。

3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程。

一、知识要点填空：

1．对于函数f(x)的曲线上的定点P(x0,y0)和动点Pn(xn,f(xn))，直线PPn称为这条函数曲线上过P点的一条__________；其斜率kn＝_________________；当PnP时，直线PPn就无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过P点的__________；其斜率k＝________________=___________________（其中xxnx0），切线方程为________________________________；过函数曲线上任意一点的切线最多有__________条，而割线可以作_______条。

2．函数的平均变化率的几何意义是___________________________；函数的导数的几何意义是______________________________。

3．当函数f(x)在xx0处的导数f/(x0)0，函数在x0附近的图像自左而右是__________的，并且f/(x0)的值越大，图像上升的就越________；当函数f(x)在xx0处的导数f/(x0)0，函数在x0附近的图像自左而右是__________的，并且f/(x0)的值越小，图像下降的就越________；f(x0)0，函数在x0附近几乎______________________。

/

二、知识点实例探究：

例1． 如图（见课本p11.5），试描述函数f(x)在x5,4,2,0,1附近的变化情况。

变式 根据下列条件，分别画出函数图像在这点附近的大致形状：

（1）f(1)5,f/(1)1；（2）f(5)10,f/(5)15；（3）f(10)20,f/(10)0。

例2．如图（见课本p11.6）已知函数f(x)的图像，试画出其导函数f/(x)图像的大致形状。

变式：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；

例3．已知曲线y切线方程。

变式：已知曲线y

138x上的一点P(2,)，求（1）点P处切线的斜率；（2）点P处的3313x，求与直线x4y80垂直，并与该曲线相切的直线方程。3作业：1．曲线yx2在x0处的（）

A

切线斜率为1

B 切线方程为y2x C

没有切线

D 切线方程为y0 2．已知曲线y2x2上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（）A

B

C

D

3．函数yf(x)在xx0处的导数f/(x0)的几何意义是（）A

在点xx0处的函数值

B

在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C

曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率

D

点(x0,f(x0))与点（0，0）连线的斜率

34．已知曲线yx上过点（2，8）的切线方程为12xax160，则实数a的值为（）

A

－1

B

C

－2

D

5．若f/(x0)3，则limh0f(x0h)f(x03h)＝（）

hf(1)f(1x)1，则曲线yf(x)在点

2xA

－3

B

－6

C

－9

D

－12 6．设f(x)为可导函数，且满足条件limx0（1，1）处的切线的斜率为（）A

B

－1

C

1D

－2 27． 已知曲线yx21上的两点A（2，3），B(2x,3y)，当x1时，割线AB的斜率是__________，当x0.1时，割线AB的斜率是__________，曲线在点A处的切线方程是________________________。

8．．如果函数f(x)在xx0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)在xx0附近的变化情况是__________________。

9．在曲线yx2上过哪一点的切线，（1）平行于直线y4x5；（2）垂直于直线2x6y50；（3）与x轴成135的倾斜角；（4）求过点R（1，－3）与曲线相切的直线。

自

助

餐

1．一木块沿某一平面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为1st2，则t2秒时，此木块在水平方向上的瞬时速度为（）

811A

B

C

D

241232． 已知曲线yx2上一点P(1,)，则过点P的切线的倾斜角为（）

22A

B

5C

135

D

165

3．曲线yx3x2在P点处的切线平行于直线y4x1，则此切线方程为（）A

y4x

B y4x

4C y4x8

D y4x或y4x4 4．已知曲线y程为（）

A 4xy90或4xy250

B

4xy90 C

4xy90或4xy250

D

以上都不对 5．曲线y_______。

6．曲线yx3在点(a,a3)(a0)处的切线与x轴、直线xa所围成的三角形的面积为4在点P（1，4）处的切线与直线l平行且距离为17，则直线l的方x12与yx在他们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积为x1，则a的值为___________。67．已知曲线C:yx。

（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；

（2）第（1）小题中的切线与C是否还有其它的公共点。

38．已知曲线y11上两点P(2,1),Q(1,)。tx2求：（1）曲线在P点、Q点处的切线的斜率；

（2）曲线在P、Q点的切线方程。

9．已知点M（0，－1），F（0，1），过点M的直线l与曲线y13x4x4在x2处3的切线平行。

（1）求直线l的方程；（2）求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程。

10．判断下列函数在x0的切线是否存在，若存在，求出切线方程，否则说明理由。（1）yx；（2）y3x；（3）y|x|；（4）y

3x。6．

17．（1）3xy20（2）有

8．（1）在P、Q41两点的斜率分别为1，；（2）在P处的切线方程为xy30；（2）在Q处的切线41－4

CBDC

5．2方程为x4y30。9．（1）y1；（2）x4y；10（1）k0,y0；（2）在x0处不可导，但切线为x0；（3）在x0处不可导，没有切线；（4）在x0处不可导，但切线为x0。

第二篇：导数的概念及其几何意义3导学案

导数的概念及其几何意义3导学案

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三大段

一中心

五环节

高效课堂—导学案

制作人：张平安

修改人：

审核人：

班级：

姓名：

组名：

课题

第六课时

导数的几何意义

（二）学习

目标

掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得，掌握切线斜率的求法

学习

重点

（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．

学习

难点

（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．

学法

指导

探析归纳，讲练结合 学习

过

程

一

自主学习

．情境：设是曲线上的一点，将点附近的曲线放大、再放大，则点附近将逼近一条确定

的直线．

2．问题：怎样找到在曲线上的一点处最逼曲线的直线呢？

如上图直线为经过曲线上一点的两条直线．

（1）判断哪一条直线在点附近更加逼近曲线．

（2）在点附近能作出一条比更加逼近曲线

的直线吗？

（3）在点附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？

3.归纳

（1）．割线及其斜率：连结曲线上的两点的直线叫曲线的割线，设曲线上的一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为

．

（2）．切线的定义：随着点沿着曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线。当点无限逼近点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线；

（3）．切线的斜率：当点沿着曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点处的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当无限趋近于时，无限趋近于点处的切线的斜率．

二

师生互动

例1．已知曲线，（1）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程．

（2）求曲线在处的切线斜率。

分析：（1）若是曲线上点附近的一点，当沿着曲线无限接近点时，割线的斜率是否无限接近于一个常数．若有，则这个常数是曲线在点处的切线的斜率；（2）为求得过点的切线斜率，我们从经过点的任意一点直线（割线）入手。

例2．已知，求曲线在处的切线的斜率．

分析：为了求过点的切线的斜率，要从经过点的任意一条割线入手．

例3．已知曲线方程，求曲线在处的切线方程．

三、自我检测

练习第1，2，3题；

习题2-2A组中第3题

四、课堂反思、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？

2、你觉得哪些知识，哪些知识

还需要课后继续加深理解？

五、拓展提高、补充：判断曲线在点处是否有切线？如果有，求出切线的方程．

2、习题2-2中B组1、2

第三篇：11-12学年高中数学 1.1.3 导数的几何意义同步练习新人教A版选修2-2

选修2-2

1.1

第3课时

导数的几何意义

一、选择题

1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()

A．f′(x0)＞0

B．f′(x0)＜0

C．f′(x0)＝0

D．f′(x0)不存在[答案]　B

[解析]　切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故应选B.2．曲线y＝x2－2在点处切线的倾斜角为()

A．1

B.C.π

D．－

[答案]　B

[解析]　∵y′＝li

＝li

(x＋Δx)＝x

∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为，故应选B.3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是()

A．(0,0)

B．(2,4)

C.D.[答案]　D

[解析]　易求y′＝2x，设在点P(x0，x)处切线的倾斜角为，则2x0＝1，∴x0＝，∴P.4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()

A．y＝3x－4

B．y＝－3x＋2

C．y＝－4x＋3

D．y＝4x－5

[答案]　B

[解析]　y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足

＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()

A．2

B．－1

C．1

D．－2

[答案]　B

[解析]

＝

＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()

A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直

D．与x轴斜交

[答案]　B

[解析]　由导数的几何意义知B正确，故应选B.7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为()

A．3,3

B．3，－1

C．－1,3

D．－1，－1

[答案]　B

[解析]　由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为()

A．(1,0)或(－1，－4)

B．(0,1)

C．(－1,0)

D．(1,4)

[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0，∴Δy＝3x·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴＝3x＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∴f′(x0)＝3x＋1，又k＝4，∴3x＋1＝4，x＝1.∴x0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为()

A.∪

B.∪

C.D.[答案]　A

[解析]　设P(x0，y0)，∵f′(x)＝li

＝3x2－，∴切线的斜率k＝3x－，∴tanα＝3x－≥－.∴α∈∪.故应选A.10．(2010·福州高二期末)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为()

A．[－1，－]

B．[－1,0]

C．[0,1]

D．[，1]

[答案]　A

[解析]　考查导数的几何意义．

∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－.二、填空题

11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．

[答案]　4x－y－1＝0

[解析]　∵f(x)＝x2＋3，x0＝2

∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2

∴＝4＋Δx.∴li

＝4.即f′(2)＝4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)

即4x－y－1＝0.12．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为________．

[答案]　y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)

[解析]　由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．

∵f′(x)＝li

＝li

＝1＋.∴切线的斜率k＝1＋＝2.∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．

13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．

[答案]　至少一

[解析]　由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．

14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．

[答案]　3x－y－11＝0

[解析]　设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值．

设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.三、解答题

15．求曲线y＝－上一点P处的切线方程．

[解析]　∴y′＝

＝

＝

＝－－

.∴y′|x＝4＝－－＝－，∴曲线在点P处的切线方程为：

y＋＝－(x－4)．

即5x＋16y＋8＝0.16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．

[解析](1)y′＝li

＝3x2－3.则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率

k1＝f′(1)＝0，∴所求直线方程为y＝－2.(2)设切点坐标为(x0，x－3x0)，则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3x－3，∴直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)

又直线l过点P(1，－2)，∴－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－.故所求直线斜率k＝3x－3＝－，于是：y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.17．求证：函数y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析]　y′＝li

＝li

＝li

＝li

＝＝1－＜1，∴y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．

[解析](1)y′|x＝1

＝li

＝3，所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝li

＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程为：y＝－x－.(2)由得

即l1与l2的交点坐标为.又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，.所以所求三角形面积S＝××＝.

第四篇：高中数学《数学归纳法》学案1 新人教A版选修2-2

数学归纳法的典型例题分析

例1 用数学归纳法证明等式

时所有自然数 都成立。

证明（1）当

（2）假设当

时，左式，右式

时等式成立，等式成立。

即

则

则

时，等式也成立。

均成立。

时等式成立时，注意分析

与的两

由（1）（2）可知，等式对

评述 在利用归纳假设论证

个等式的差别。

变到

时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由

应与

合并，才能得到所证式。因而，因此在证明中，右式中的在论证之前，把

时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。

用心爱心专心 1

由例1可以看出，在数学归纳法证明过程中，要把握好两个关键之外：一是

系；二是

与的关系。

与 的关

例2 用数学归纳法证明

对任意自然数，证明（ⅰ）当

时，能被17整除，命题成立。

（ⅱ）设

则

时，由归纳假设，能被17整除，也能被17整除，所以

都能被17整除。

用

表示。上例中的能被17整除。

时，能被17整除。

都能被17整除。

由（ⅰ）（ⅱ）可知，对任意

评述 用数学归纳法证明整除问题，常常把

还可写成，易知它能被17整除。例3 用数学归纳法证明

…

用心爱心专心 2

证明（ⅰ）当

时，左式

右式

∵

∴

即

时，原不等式成立。

（ⅱ）假设

（）时，不等式成立，即

则

时，左边

右边

要证左边 右边

只要证

只要证

只要证

而上式显然成立，所以原不等式成立。即

时，左式 右式

由（ⅰ）（ⅱ）可知，原不等式对大于1的自然数均成立。用心爱心专心 3

评述 用数学归纳法证明不等式时，应分析

与的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式的方法。如上题，关键是证明不等式

。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。

例4 在数列

中，若它的前 项和

（）

1）计算，，；

2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论。

解（1）由题意，即

∴

即

∴

即

∴

∴

（2）猜想

证明 ⅰ）

时，命题成立。

ⅱ）假设

时，命题成立，即

当

时，∴

用心爱心专心 4

又

因而

解得

即

时，命题也成立。

由ⅰ）ⅱ）可知，命题对

均成立。

用心爱心 专心5

第五篇：高中数学 1.2.3导数的四则运算法则教学案 理 新人教B版选修2-2

1.2.3 导数的四则运算法则

【教学目标】记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.【教学重点】导数的四则运算法则

【教学难点】复合函数的导数

一、课前预习（阅读教材19--20页，填写知识点.并自学20页例题，※探究课上学习的例题）1.设函数f(x),g(x)是可导函数

f(x)g(x)__________f(x)g(x)__________

fn)'__________

推广：(f1f2… Cf(x)__________

特别地

f(x)g(x)_________

2.复合函数的求导法则：

yy复合函数yf[(x)]对自变量x的导数x，等于已知函数对中间变量u(x)的导数u，乘以中间变量u对自变量x的导数

二、课上学习：

例1.求yxcosx的导数.例2.求ysin2x的导数.例3.求ytanx的导数.三、自我检测

2yx2xa与直线y3x1相切时，常数a的值等于__________ 1.曲线

ux，即 ______________.713yx232.曲线在点(1,3)处切线的倾斜角为__________

2yx3x1在点（1，5）处的切线方程.3.（1）求曲线2yx3x1过点（2，2）处的切线方程.（2）求曲线4.如果曲线yx3x10的一条切线与直线y4x3平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为_______ exf(x)x5.函数 在xx0处的导数值与函数值互为相反数，则x0=______.32yx3x6x10的切线中，斜率最小的切线方程为___________ 6.在曲线

四、课后练习

[f()]f(x)cosx2等于（）

1.设函数，则A.0

B.1

C. 1

D.以上均不正确

2.设函数f(x)sinx，则f(0)等于

（）

A.1

B.1

C.0

D.以上均不正确 3导数为x1的一个函数是（）

4.设函数

1212B.xx1D.xC.x1A.x2x

yyf(sinx)x等于是可导函数，则

（）

n)cosxx

B.f(six

C.f(sinx)sinx

D.f(coxs)cos

2yx3x3上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范 5.点P在曲线围是（）A.f(sinx)333C.[,)A.[0,]B.[0,)[,)D.(,]42

2424

6.求下列函数的导数

xxyxsincos33y2xxcosx,（2）22

（3）（1）ysin4

xxcos444

y（4）cosxxlnxy2x

（5）1x

（6）f(x)1sinx