选修2-2
1.2
第1课时
几个常用的函数的导数
一、选择题
1.下列结论不正确的是()
A.若y=0,则y′=0
B.若y=5x,则y′=5
C.若y=x-1,则y′=-x-2
[答案] D
2.若函数f(x)=,则f′(1)等于()
A.0
B.-
C.2
D.[答案] D
[解析] f′(x)=()′=,所以f′(1)==,故应选D.3.抛物线y=x2在点(2,1)处的切线方程是()
A.x-y-1=0
B.x+y-3=0
C.x-y+1=0
D.x+y-1=0
[答案] A
[解析] ∵f(x)=x2,∴f′(2)=li
=li
=1.∴切线方程为y-1=x-2.即x-y-1=0.4.已知f(x)=x3,则f′(2)=()
A.0
B.3x2
C.8
D.12
[答案] D
[解析] f′(2)=
=
=
(6Δx+12)=12,故选D.5.已知f(x)=xα,若f′(-1)=-2,则α的值等于()
A.2
B.-2
C.3
D.-3
[答案] A
[解析] 若α=2,则f(x)=x2,∴f′(x)=2x,∴f′(-1)=2×(-1)=-2适合条件.故应选A.6.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于()
A.1
B.2
C.3
D.4
[答案] D
[解析] ∵y=x3+x2-x-1
∴=
=4+4Δx+(Δx)2,∴y′|x=1=li
=li[4+4·Δx+(Δx)2]=4.故应选D.7.曲线y=x2在点P处切线斜率为k,当k=2时的P点坐标为()
A.(-2,-8)
B.(-1,-1)
C.(1,1)
D.[答案] C
[解析] 设点P的坐标为(x0,y0),∵y=x2,∴y′=2x.∴k==2x0=2,∴x0=1,∴y0=x=1,即P(1,1),故应选C.8.已知f(x)=f′(1)x2,则f′(0)等于()
A.0
B.1
C.2
D.3
[答案] A
[解析] ∵f(x)=f′(1)x2,∴f′(x)=2f′(1)x,∴f′(0)=2f′(1)×0=0.故应选A.9.曲线y=上的点P(0,0)的切线方程为()
A.y=-x
B.x=0
C.y=0
D.不存在[答案] B
[解析] ∵y=
∴Δy=-
=
=
∴=
∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在,∴切线方程为x=0.10.质点作直线运动的方程是s=,则质点在t=3时的速度是()
A.B.C.D.[答案] A
[解析] Δs=-=
=
=
∴li
==,∴s′(3)=
.故应选A.二、填空题
11.若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为________.
[答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动
[解析] 由导数的物理意义可知:y′=1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
12.若曲线y=x2的某一切线与直线y=4x+6平行,则切点坐标是________.
[答案](2,4)
[解析] 设切点坐标为(x0,x),因为y′=2x,所以切线的斜率k=2x0,又切线与y=4x+6平行,所以2x0=4,解得x0=2,故切点为(2,4).
13.过抛物线y=x2上点A的切线的斜率为______________.
[答案]
[解析] ∵y=x2,∴y′=x
∴k=×2=.14.(2010·江苏,8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.
[答案] 21
[解析] ∵y′=2x,∴过点(ak,a)的切线方程为y-a=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.三、解答题
15.过点P(-2,0)作曲线y=的切线,求切线方程.
[解析] 因为点P不在曲线y=上,故设切点为Q(x0,),∵y′=,∴过点Q的切线斜率为:=,∴x0=2,∴切线方程为:y-=(x-2),即:x-2y+2=0.16.质点的运动方程为s=,求质点在第几秒的速度为-.[解析] ∵s=,∴Δs=-
==
∴li
==-.∴-=-,∴t=4.即质点在第4秒的速度为-.17.已知曲线y=.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程;
(3)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
[解析] ∵y=,∴y′=-.(1)显然P(1,1)是曲线上的点.所以P为切点,所求切线斜率为函数y=在P(1,1)点导数.
即k=f′(1)=-1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为
y-1=-(x-1),即为y=-x+2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y=上.
则可设过该点的切线的切点为A,那么该切线斜率为k=f′(a)=.则切线方程为y-=-(x-a).①
将Q(1,0)坐标代入方程:0-=(1-a).
解得a=,代回方程①整理可得:
切线方程为y=-4x+4.(3)设切点坐标为A,则切线斜率为k=-=-,解得a=±,那么A,A′.代入点斜式方程得y-=-(x-)或y+=-(x+).整理得切线方程为y=-x+或y=-x-.18.求曲线y=与y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.
[解析] 两曲线方程联立得解得.∴y′=-,∴k1=-1,k2=2x|x=1=2,∴两切线方程为x+y-2=0,2x-y-1=0,所围成的图形如上图所示.
∴S=×1×=.