选修2-2
1.2.2
第1课时
基本初等函数的导数公式及导数运算法则
一、选择题
1．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为()
A．30°
B．45°
C．135°
D．60°
[答案] B
[解析] y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f(x)＝－，则f′(1)等于()
A．－
B.C．－
D.[答案] B
3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
[答案] A
[解析] ∵直线l的斜率为4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x4＝1，故直线l的方程为：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.4．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值等于()
A.B.C.D.[答案] B
[解析] ∵f′(x)＝3ax2＋18x＋6，∴由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.∴选B.5．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒
D．0秒、4秒或8秒
[答案] D
[解析] 显然瞬时速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()
A．y＝x－1
B．y＝－x－1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.7．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()
A.B．0
C．钝角
D．锐角
[答案] C
[解析] y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为
()
A.B．π2
C．2π2
D.(2＋π)2
[答案] A
[解析] 曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为.9．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2011(x)等于()
A．sinx
B．－sinx
C．cosx
D．－cosx
[答案] D
[解析] f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，∴4为最小正周期，∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.故选D.10．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)－g(x)为常数
C．f(x)＝g(x)＝0
D．f(x)＋g(x)为常数
[答案] B
[解析] 令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)为常数．
二、填空题
11．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.[答案] 0
－1
[解析] f′(x)＝2ax－bcosx，由条件知，∴.12．设f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则不等式f′(x)＜0的解集为________．
[答案](－1,3)
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.13．曲线y＝cosx在点P处的切线的斜率为______．
[答案] －
[解析] ∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴切线斜率k＝y′|x＝＝－sin＝－.14．已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解析式是____________．
[答案] f(x)＝－x－ex＋1
[解析] 由题意可知，f′(x)|x＝－1＝－3，∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2，∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－，b＝－e，故f(x)＝－x－ex＋1.三、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；
(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋
.[解析](1)∵y＝x＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－；
(3)∵y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，∴y′＝－sinx；
(4)∵y＝＋＝＋
＝＝－2，∴y′＝′＝＝.16．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] 由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
17．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．
[解析] 设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．
对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.①
对于C2：y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋x－4.②
∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.18．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.[解析](1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0，由f′(1)＝－3，f′(2)＝0
可建立方程组，解得，所以f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由f′(x)是一次函数可知f(x)是二次函数，则可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
f′(x)＝2ax＋b，把f(x)和f′(x)代入方程，得
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1
整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1
若想对任意x方程都成立，则需
解得，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
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