高中数学 1.3.3 函数的最值与导数 文档教案 新人教版选修2-2

第一篇：高中数学 1.3.3 函数的最值与导数 文档教案 新人教版选修2-2

宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数 文档教案 新人教版选修2-2

【学习目标】

【复习回顾】

1． 极大值、极小值的概念：

2．求函数极值的方法：

【知识点实例探究】 例1．求函数f(x)13x4x1在[0,3]上的最大值与最小值。3

你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？

变式：1 求下列函数的最值：

（1）已知f(x)612xx,x[,1]，则函数的最大值为______，最小值为______。（2）已知f(x)6xx2,x[1,2]，则函数的最大值为______，最小值为______。（3）已知f(x)x27x,x[3,3]，则函数的最大值为______，最小值为______。（4）f(x)3xx,x[1,2]则函数的最大值为______，最小值为______。变式：2 求下列函数的最值：

（1）f(x)6xx2（2）f(x)612xx 23332313

例2．已知函数f(x)2x36x2a在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在[－2，2]上的最大值。

姓名：_____________ 学号：______________

【作业】

1．下列说法中正确的是（）

A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值 B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值

C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值

D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 2．函数y|x1|，下列结论中正确的是（）

A y有极小值0，且0也是最小值 B y有最小值0，但0不是极小值 C y有极小值0，但0不是最小值

D 因为y在x1处不可导，所以0即非最小值也非极值

3．函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是（）A 0a1 B 0a1 C 1a1 D 0a4．函数f(x)xex,x[0,4]的最小值是（）A 0 B 2142 C 4 D 2 eee5．给出下面四个命题：

（1）函数yx5x4,x[1,1]的最大值为10，最小值为29； 4（2）函数y2x24x1,x[2,4]的最大值为17，最小值为1；（3）函数yx312x,x[3,3]的最大值为16，最小值为－16；（4）函数yx312x,x[2,2]无最大值，无最小值。其中正确的命题有

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 6．函数f(x)4x,x[2,2]的最大值是__________，最小值是_____________。2x13,x[2,)的最小值为____________。x327．函数yx8．已知f(x)2x6xm(m为常数），在[－2，2]上有最大值3，求函数在区间 [－2，2]上的最小值。

9．（1）求函数f(x)x3x6x2,x[1,1]的最大值和最小值；

（2）求函数f(x)48xx3的极值。

自 助 餐

x2x1．设a0为常数，求函数yee在区间[0,a]上的最大值和最小值。

2． 设f(x)x312x2x5，（1）求函数f(x)的单调递增，递减区间； 2（2）当x[1,2]时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。

x22xa,x[1,)，3．已知函数f(x)x（1）当a

（2）若对于任意x[1,),f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围。1，求函数f(x)的最小值； 2

4．已知函数f(x)x3ax23x，（1）若函数f(x)在[1,]上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x

（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，若存在，求出实数b的取值范围；取不存在，试说明理由。

1是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上的最大值； 3

5．当x(1,2]时，函数f(x)值。

1．（1）若0aln2在区间[0,a]上，当xa时，有最大值eax恒大于正数a，试求函数ylg(a2a3)的最小2x1e2a；当x0时，有

1；当x0时，有4最小值0。（2）当aln2，在区间[0,a]上，当xln2时，有最大值最小值0。2．（1）递增区间为(,)和(1,)，递减区间为(3．（1）

232,1)；（2）m7。37（2）a3。4．（1）a0，（2）f(1)6，（3）b7且b3。21115．当a时，yminlg。

第二篇：11-12学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数同步练习新人教A版选修2-2

选修2-2

1.3.3

函数的最值与导数

一、选择题

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()

A．等于0

B．大于0

C．小于0

D．以上都有可能

[答案]　A

[解析]　∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数

∴f′(x)＝0，故应选A.2．设f(x)＝x4＋x3＋x2在[－1,1]上的最小值为()

A．0

B．－2

C．－1

D.[答案]　A

[解析]　y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)

令y′＝0，解得x＝0.∴f(－1)＝，f(0)＝0，f(1)＝

∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()

A.B．2

C．－1

D．－4

[答案]　C

[解析]　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)

令y′＝0解得x＝或x＝－1

当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；

当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为()

A．最大值为13，最小值为

B．最大值为1，最小值为4

C．最大值为13，最小值为1

D．最大值为－1，最小值为－7

[答案]　A

[解析]　∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，令y′＝0，∴x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1.5．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为()

A.B．1

C．0

D．不存在[答案]　A

[解析]　y′＝－＝·

由y′＝0得x＝，在上y′>0，在上

y′<0.∴x＝时y极大＝，又x∈(0,1)，∴ymax＝.6．函数f(x)＝x4－4x

(|x|<1)()

A．有最大值，无最小值

B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，有最小值

D．既无最大值，也无最小值

[答案]　D

[解析]　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．

令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)

∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()

A．5，－15

B．5,4

C．－4，－15

D．5，－16

[答案]　A

[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．

∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于()

A．－

B.C．－

D.或－

[答案]　C

[解析]　y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．

当－1

9．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是

()

A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3

B．－3

C．－2

D．不存在这样的实数

[答案]　B

[解析]　因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2

A．[3，＋∞)

B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞)

D．(－∞，－3)

[答案]　B

[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立

即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立

又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3

∴a≥－3，故应选B.二、填空题

11．函数y＝x＋(1－x)，0≤x≤1的最小值为______．

[答案]

由y′>0得x>，由y′<0得x<.此函数在上为减函数，在上为增函数，∴最小值在x＝时取得，ymin＝.12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．

[答案]　不存在；－28

[解析]　f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝；当x>时，函数为增函数，当－2≤x≤时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f＝－28，所以最小值为－28.13．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．

[答案]　－1

[解析]　f′(x)＝＝

令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)

当x>时，f′(x)<0；当00；

当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．

∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1.14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.[答案]　32

[解析]　f′(x)＝3x2－12

由f′(x)>0得x>2或x<－2，由f′(x)<0得－2

又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8，∴M－m＝32.三、解答题

15．求下列函数的最值：

(1)f(x)＝sin2x－x；

(2)f(x)＝x＋.[解析](1)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝0，得cos2x＝.又x∈，∴2x∈[－π，π]，∴2x＝±，∴x＝±.∴函数f(x)在上的两个极值分别为

f＝－，f＝－＋.又f(x)在区间端点的取值为

f＝－，f＝.比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.(2)∵函数f(x)有意义，∴必须满足1－x2≥0，即－1≤x≤1，∴函数f(x)的定义域为[－1,1]．

f′(x)＝1＋(1－x2)－·(1－x2)′＝1－

.令f′(x)＝0，得x＝

.∴f(x)在[－1,1]上的极值为

f＝＋＝.又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－1.16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间上的最大值和最小值．

[解析]　f(x)的定义域为.f′(x)＝2x＋＝

＝.当－0；

当－1

当x>－时，f′(x)>0，所以f(x)在上的最小值为

f＝ln2＋.又f－f＝ln＋－ln－＝ln＋＝<0，所以f(x)在区间上的最大值为

f＝ln＋.17．(2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值；

(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.[分析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．

解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．

[解析](1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，ln2)

ln2

(ln2，＋∞)

f′(x)

－

0

＋

f(x)

单调递减

2(1－ln2＋a)

单调递增

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．

(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．

于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.18．已知函数f(x)＝，x∈[0,1]．

(1)求f(x)的单调区间和值域；

(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．

[解析](1)对函数f(x)求导，得

f′(x)＝＝－

令f′(x)＝0解得x＝或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

0

(0，)

(，1)

f′(x)

－

0

＋

f(x)

－



－4



－3

所以，当x∈(0，)时，f(x)是减函数；

当x∈时，f(x)是增函数．

当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．

(2)g′(x)＝3(x2－a2)．

因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]．

又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．

任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a2，－2a]⊇[－4，－3]．

即

解①式得a≥1或a≤－；解②式得a≤.又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.

第三篇：11-12学年高中数学 1.3.2 函数的极值与导数同步练习新人教A版选修2-2

选修2-2

1.3.2

函数的极值与导数

一、选择题

1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()

A．导数为零的点一定是极值点

B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值

C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值

D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值

[答案]　C

[解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有()

A．极小值－2，极大值2

B．极小值－2，极大值3

C．极小值－1，极大值1

D．极小值－1，极大值3

[答案]　D

[解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)

令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1

当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－10，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()

A．必有f′(x0)＝0

B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0

[答案]　C

[解析]　如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．

4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．

5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：

①f(x)是增函数，无极值；

②f(x)是减函数，无极值；

③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；

④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．

其中正确的命题有()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

[答案]　B

[解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0

6．函数f(x)＝x＋的极值情况是()

A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值

B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值

C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2

D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2

[答案]　D

[解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

[答案]　A

[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．

8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()

A．有极小值

B．有极大值

C．既有极大值又有极小值

D．无极值

[答案]　D

[解析]　∵y′＝1－(x2＋1)′

＝1－＝

令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，当x<1时，y′>0，∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()

A．极大值为，极小值为0

B．极大值为0，极小值为

C．极大值为0，极小值为－

D．极大值为－，极小值为0

[答案]　A

[解析]　由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①

f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②

由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1

＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0.10．下列函数中，x＝0是极值点的是()

A．y＝－x3

B．y＝cos2x

C．y＝tanx－x

D．y＝

[答案]　B

[解析]　y＝cos2x＝，y′＝－sin2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点．

二、填空题

11．函数y＝的极大值为______，极小值为______．

[答案]　1

－1

[解析]　y′＝，令y′>0得－11或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．

[答案]　a＋4　a－4

[解析]　y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)，令y′>0，得x>或x<－，令y′<0，得－

－9

[解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有

14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．

[答案](－2,2)

[解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图

观察图象得－2

三、解答题

15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；

(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．

[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：

x

(－∞，－1)

－1

(－1,3)

(3，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)

增

极大值

f(－1)

减

极小值

f(3)

增

(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；

(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．

[解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有

又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为f(x)＝x3－x.∴f′(x)＝x2－.令f′(x)＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

x

(－∞，－1)

－1

(－1,1)

(1，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大

值1



极小

值－1



由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．

(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．

[解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即

解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．

令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故

f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故

f(x)在(－1,1)上是减函数．

∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．

(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．

设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.∵f′(x0)＝3(x－1)，故切线的方程为

y－y0＝3(x－1)(x－x0)．

注意到点A(0,16)在切线上，有

16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)．

化简得x＝－8，解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.18．(2010·北京文，18)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．

[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用．

由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c

∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.(1)当a＝3时，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f

′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”

由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)

解得a∈[1,9]，即a的取值范围[1,9]．

第四篇：偏导数求二元函数最值

偏导数求二元函数最值

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

如果能代入的话，就是代入求（将条件最值转化为无条件最值）。如果有些函数很复杂不能代入，有另一个方法，叫做拉格朗日乘数法，就是解决条件最值的问题的。

第五篇：11-12学年高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数同步练习新人教A版选修2-2

选修2-2

1.3.1

函数的单调性与导数

一、选择题

1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()

A．b2－4ac>0

B．b>0，c>0

C．b＝0，c>0

D．b2－3ac<0

[答案]　D

[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()

A．(－∞，2)

B．(0,3)

C．(1,4)

D．(2，＋∞)

[答案]　D

[解析]　考查导数的简单应用．

f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，2]

C．(－∞，－1)和(1,2)

D．[2，＋∞)

[答案]　B

[解析]　令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．

4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()

[答案]　C

[解析]　当0

∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数

当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()

A.和

B.和

C.和

D.和

[答案]　A

[解析]　y′＝xcosx，当－π0，当00，∴y′＝xcosx>0.6．下列命题成立的是()

A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0

B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数

C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数

[答案]　B

[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．

7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()

A．f′(x)>0，g′(x)>0

B．f′(x)>0，g′(x)<0

C．f′(x)<0，g′(x)>0

D．f′(x)<0，g′(x)<0

[答案]　B

[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

A．af(a)≤f(b)

B．bf(b)≤f(a)

C．af(b)≤bf(a)

D．bf(a)≤af(b)

[答案]　C

[解析]　∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．

9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()

A．f(0)＋f(2)<2f(1)

B．f(0)＋f(2)≤2f(1)

C．f(0)＋f(2)≥2f(1)

D．f(0)＋f(2)>2f(1)

[答案]　C

[解析]　由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为

()

[答案]　A

[解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题

11．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．

[答案]　b<－1或b>2

[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．

[答案]　a≥1

[解析]　由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．

设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0(x＞1)，∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．

[答案](－∞，－1)

[解析]　函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．

14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．

[答案]　[3，＋∞)

[解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.三、解答题

15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．

(1)求a、b的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得

f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)

＝3(x＋1)(x－3)．

令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1

当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；

当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．

16．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]　设f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－cosx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．

而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.17．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

[分析]　可先由函数y＝ax与y＝－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

[解析]　∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－＜x＜0.∴当x∈时，函数为增函数．

令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0，∴x＜－，或x＞0.∴在，(0，＋∞)上时，函数为减函数．

18．(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

[解析](1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．

(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．

令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．