高中数学_1.3.1单调性与最值教案_新人教A版必修1 2

第一篇：高中数学_1.3.1单调性与最值教案_新人教A版必修1 2

1.3.1 单调性与最值（3）

教学目标： 1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；

2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；

3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；

5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数最值的含义 教学难点：单调函数最值的求法 教学方法：讲授法

1．函数最大值与最小值的含义

①定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么，我们称M是函数yf(x)的最大值（maximum value）.②几何意义：函数yf(x)的最大值是图象最高点的纵坐标。

思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数yf(x)的最小值（minimum value）吗？并说明几何意义？

一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么，我们称M是函数yf(x)的最小值（minimum value）.几何意义：函数yf(x)的最大值是图象最低点的纵坐标。2．最值的求法

①配凑法：研究二次函数yax2bxc(a0)的最大（小）值，若给定区间是(,)，先配b24acb24acb2方成ya(x)后，当a0时，函数取最小值为；当a0时，函数取最大值。2a4a4a若给定区间是[a,b]，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。（此处顺带说出求值域的方法——配方法）

②单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.③数形结合法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.3．例题分析（讲解最值求解方法时带出值域）

例1．教材第30页例题3。

用心

爱心

专心 例2．

1、求函数yx21在下列各区间上的最值：

（1）(,)（2）[1，4]（3）[6,2]（4）[2,2]（5）[2,4]

6的最大值.2xx1661338.解：配方为y，由(x)2，得0123123244(x)(x)2424

2、求函数y例3．求函数y2在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第31页例4）。x1 分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。变式：若区间为[6,2]呢？

例4.求下列函数的最大值和最小值：

53（1）y32xx2,x[,]；（2）y|x1||x2|.22b解：（1）二次函数y32xx2的对称轴为x，即x1.2a39画出函数的图象，由图可知，当x1时，ymax4； 当x时，ymin.24953所以函数y32xx2,x[,]的最大值为4,最小值为.4223(x2)（2）y|x1||x2|2x1(1x2).3(x1)作出函数的图象，由图可知，y[3,3].所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.直接观察得到。随堂巩固：

1、指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？ f(x)2x3，f(x)2x3 x[1,2]；f(x)x22x1，f(x)x22x1 x[2,2]

2在区间[2，4]上的最大值，最小值是（）x111111A．

1、B.、1 C.、D.、2224422、函数y3函数4若0f(x)1x(11x)的最大值

t14，那么1tt的最小值 用心

爱心

专心

5、函数yx1x1的最大值是

能力提升

1已知f(x)

2已知函数x1,x[3,5]函数，求函数的最大值和最小值。x2f(x)x22ax2,x[5,5]

（1）当a1时，求f(x)的最值-5,37.（2）求实数a的取值范围，使yf(x)在x[5,5]上的单调函数a5或5

x22xa3已知函数f(x)，若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，试求实数a的取x值范围 a3

用心

爱心

专心 3

第二篇：高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值1教案 新人教A版必修1

福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值

1教案 新人教A版必修1 三维目标定向 〖知识与技能〗

理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。〖过程与方法〗

借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。〖情感、态度与价值观〗

渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。教学重难点

函数最值的意义及求函数的最值。教学过程设计

一、引例

画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：

（1）f(x)2x3；

（2）

f(x)x22x1。1）说出yf(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 2）指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

y y o x o x

二、核心内容整合

1、函数的最大（小）值的概念

设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。

那么称M是函数yf(x)的最大值。学生类比给出函数最小值的概念：

设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么称M是函数yf(x)的最小值。

注意：

（1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M；

（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。

2yaxbxc(a)的最值：

2、一元二次函数

b24acb2ya(x)2a4a；（1）配方：（2）图象：

（3）a > 0时，ymin4acb24acb2ymax4a。4a；a < 0时，二、例题分析示例

例

1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t14.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

〖知识提炼〗函数的最值与单调性的关系：

（1）f(x)在[a , b]上为增函数，则f(a)为最小值，f(b)为最大值；（2）f(x)在[a , b]上为减函数，则f(a)为最大值，f(b)为最小值。

2y例

3、已知函数2(x[2,6])x1，求函数的最大值和最小值。

分析：证明函数在给定区间上为减函数。

三、学习水平反馈：P36，练习5。补充练习：

2f(x)x4ax2在区间(– ∞，6] 内递减，则a的取值范围是（）

1、函数（A）a ≥ 3

（B）a ≤ 3

（C）a ≥ – 3

（D）a ≤ – 3

22、在已知函数f(x)4xmx1在(,2]上递减，在(2,]上递增，则f(x)在[1，2]上的值域是____________。四、三维体系构建

1、函数的最大（小）值的含义。

2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；

（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。

如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数yf(x)在x = a处有最小值f(a)，在x = b处有最大值f(b)；

如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数yf(x)在x = b处有最小值f(b)；

五、课后作业：P39，习题1.3，A组5，B组2。教学反思：

第三篇：2015年高一数学精品优秀教案：1.3.1《单调性与最大(小)值》(新人教A版必修一)

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三维目标定向 〖知识与技能〗

理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。〖过程与方法〗

借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。〖情感、态度与价值观〗

渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。教学重难点

函数最值的意义及求函数的最值。教学过程设计

一、引例

画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：

（1）f(x)2x3；（2）f(x)x2x1。1）说出yf(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 2）指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

y y 2o o x x

二、核心内容整合

1、函数的最大（小）值的概念

设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么称M是函数yf(x)的最大值。学生类比给出函数最小值的概念：

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设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么称M是函数yf(x)的最小值。注意：

（1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M；（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。

2、一元二次函数yaxbxc(a)的最值：

2b24acb2（1）配方：ya(x；)2a4a（2）图象：（3）a > 0时，ymin

二、例题分析示例

例

1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t14.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

〖知识提炼〗函数的最值与单调性的关系：

（1）f(x)在[a , b]上为增函数，则f(a)为最小值，f(b)为最大值；（2）f(x)在[a , b]上为减函数，则f(a)为最大值，f(b)为最小值。

例

3、已知函数y24acb24acb2；a < 0时，ymax。4a4a2(x[2,6])，求函数的最大值和最小值。x1分析：证明函数在给定区间上为减函数。

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三、学习水平反馈：P36，练习5。补充练习：

1、函数f(x)x4ax2在区间(– ∞，6] 内递减，则a的取值范围是（）（A）a ≥ 3（B）a ≤ 3（C）a ≥ – 3（D）a ≤ – 3

2、在已知函数f(x)4xmx1在(,2]上递减，在(2,]上递增，则f(x)在[1，2]上的值域是____________。四、三维体系构建

1、函数的最大（小）值的含义。

2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：

（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；

（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。

如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数yf(x)在x = a处有最小值

22f(a)，在x = b处有最大值f(b)；

如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数yf(x)在x = b处有最小值f(b)；

五、课后作业：P39，习题1.3，A组5，B组2。教学反思：

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第四篇：示范教案(1.3.1单调性与最大(小)值 第2课时)

示范教案（1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时）

导入新课

思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m的矩形新厂址,新厂址的长为x m，则宽为10000x

2m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短? 学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+

10000x),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］； ③f(x)=x+2x+1;④f(x)=x+2x+1,x∈［-2,2］.学生回答后，教师引出课题：函数的最值.推进新课 新知探究 提出问题

①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.22

2图1-3-1-11 ②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？

③你是怎样理解函数图象最高点的? ④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？

图1-3-1-12 ⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？

⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？ ⑦函数最大值的几何意义是什么？ ⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？ ⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？ ⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？

讨论结果: ①函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈［-1,+∞)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.④由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立.⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.⑦函数图象上最高点的纵坐标.⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.提出问题

①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？

活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.讨论结果：①函数最小值的定义是: 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.应用示例

思路1 例1求函数y=2x1在区间［2，6］上的最大值和最小值.活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=2x1的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.解：设2≤x1

2[(x21)(x11)](x11)(x21)=

2(x2x1)(x11)(x21)

∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0.∴f(x1)>f(x2),即函数y=

2x1在区间［2，6］上是减函数.2所以，当x=2时，函数y=当x=6时，函数y=2x1x1在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2；

25在区间［2，6］上取得最小值f(6)=.变式训练

1.求函数y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值_______.答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.设x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)，又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数，则当t=0时，函数y=t+2t-1(t≥0)取最小值－1.所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是－1.答案：-1 3.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.解：函数图象如图1-3-1-13所示.2

图1-3-1-13 由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地

2面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.2

2图1-3-1-14 由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有： 当t=14.72(4.9)=1.5时，函数有最大值, 即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练

1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）A.323cm2

B.4cm2

C.32cm2

D.23cm2

解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x)cm，两个三角形的面积和为S，则S=34x2+

34(4-x)2=

32(x-2)2+23≥23.当x=2时，S取最小值23m2.故选D.答案：D 2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量.解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则 y=(x-8)［60-(x-10)·10］

=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x＜16).当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.思路2 例1已知函数f(x)=x+1x,x>0，（1）证明当00的最小值.活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则 f（x1）－f（x2）=（x1＋

1x1）－（x2+

1x2）=（x1－x2）+

x2x1x1x2=

(x1x2)(x1x21)x1x2，∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，∴f（x1）－f（x2）＞0.∴f（x1）＞f（x2），即当00，∴f（x1）－f（x2）＜0.∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+又f(1)=2，则函数f(x)=x+

1x1x,x>0取最小值.,x>0取最小值是2.1x解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，图1-3-1-15 由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+

1x,x>0取最小值f(1)=2.点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.变式训练 1.求函数y=3x12x（x≥0）的最大值.3x12x解析:可证明函数y=∴函数y=3x12x（x≥0）是减函数，（x≥0）的最大值是f(0)=3.2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.2x,解法一：（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=2,2x,x1,1x1,其图象如图1-3-1-16所示.x1，图1-3-1-16 由图象得，函数的最小值是2，无最大值.解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，图1-3-1-17 观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0

14≤

14, 例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 活动：让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键.解：设每个售价为x元时，获得利润为y元，则每个涨（x-50）元，从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-10x(个).∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50≤x＜100）.∴当x=70时,ymax=9000, 即为了赚取最大利润，售价应定为70元.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练

1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数.当m=商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

解：设商品现在定价a元，卖出的数量为b个,当价格上涨x%时，销售总额为y元.由题意得y=a(1+x%)·b(1-mx%), 即y=ab100001212时，该［-mx2+100(1-m)x+10 000］.ab20000当m=时,y=［-(x-50)2+22 500］，98则当x=50时，ymax=ab.即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.2.2007天利第一次全国大联考江苏卷，18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：1400xx2,R(x)=280000,0x400,x400,其中x是仪器的月产量.（1）将利润表示为月产量的函数.（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益＝总成本＋利润）.分析：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.（1）利润＝总收益－总成本；（2）转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值.解：（1）设月产量为x台，则总成本为20 000+100x，12x300x20000,0x400,从而f(x)=2

x400.60000100x,12（2）当0≤x≤400时，f(x)=(x-300)+25000;

2当x=300时，有最大值25000； 当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数;又f(x)<60000-100×400<25000, 所以，当x=300时，有最大值25000, 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.知能训练

课本P32练习5.［补充练习］

2007上海市闵行五校联合调研，20某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=32m1.已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2007年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；（2）求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

分析：（1）年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；（2）利用单调法求函数的最大值.解：（1）每件产品的成本为y=1.5×816xx816xx元，故2007年的利润

2m1×x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(316m116m1)-m=2816m1-m（万元）（m≥0）.16m1（2）可以证明当0≤m≤3时，函数y=28-m是增函数，当m>3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28拓展提升 问题：求函数y=1xx12的最大值.探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，图1-3-1-18 故图象最高点是(则函数y=1xx121423,).43的最大值是.(方法二)函数的定义域是R，可以证明当x<当x≥1212时，函数y=

11xx12是增函数；

时，函数y=12则当x=时，函数y=xx1122是减函数.取最大值

43xx1, 即函数y=1xx112的最大值是

43.(方法三)函数的定义域是R，由y=xx12,得yx2+yx+y-1=0.∵x∈R，∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.当y≠0时，则关于x的方程yx+yx+y-1=0是一元二次方程，则有Δ=(-y)-4×y(y-1)≥0.∴0

243.的最大值是

43.axdx22点评：方法三称为判别式法，形如函数y=

bxcexf(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx+nx+k=0；②分类讨论m=0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0,即关于y的不等式，n24mk0,解不等式组

m0.2m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.课堂小结

本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域.作业

课本P39习题1.3A组5、6.设计感想

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤.备课资料

基本初等函数的最值

1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［a,b］上存在最值，当k>0时，函数y=kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k<0时，函数y=kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.2.反比例函数：y=kx(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b］（ab>0）上

kx存在最值，当k>0时，函数y=数y=kx的最大值为f(a)＝

kaka，最小值为f(b)＝

kb；当k<0时，函的最大值为f(b)＝

kb，最小值为f(a)＝.3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［m,n］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)＝km+b；当k<0时，函数y=kx+b的最大值为f(m)＝km+b，最小值为f(n)＝kn+b.24.二次函数：y=ax+bx+c(a≠0):

当a>0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最小值f(2

b2ab2a)=

b4ac4ab4ac4a22，无最大值；

当a<0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最大值f(2)=，无最小值.二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：(1)若b2a2＜p，则f(x)在区间［p，q］上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).b2ab(2)若p≤①当p≤②当③当≤q，则f(x)min=f(＜pq2b2ab2ab2a),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：

2apq2pq2b2a时，则f(x)max=f(q);＝＜时，则f(x)max=f(p)＝f(q);＜q时，则f(x)max=f(p).(3)若≥q，则f(x)在区间［p，q］上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).b2a由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f(x)=ax+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值

b2a2是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；当b2a［p,q］时,二次函数f(x)=ax+bx+c(a

2＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.(设计者：方诚心)

第五篇：11-12学年高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数同步练习新人教A版选修2-2

选修2-2

1.3.1

函数的单调性与导数

一、选择题

1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()

A．b2－4ac>0

B．b>0，c>0

C．b＝0，c>0

D．b2－3ac<0

[答案]　D

[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()

A．(－∞，2)

B．(0,3)

C．(1,4)

D．(2，＋∞)

[答案]　D

[解析]　考查导数的简单应用．

f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，2]

C．(－∞，－1)和(1,2)

D．[2，＋∞)

[答案]　B

[解析]　令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．

4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()

[答案]　C

[解析]　当0

∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数

当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()

A.和

B.和

C.和

D.和

[答案]　A

[解析]　y′＝xcosx，当－π0，当00，∴y′＝xcosx>0.6．下列命题成立的是()

A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0

B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数

C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数

[答案]　B

[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．

7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()

A．f′(x)>0，g′(x)>0

B．f′(x)>0，g′(x)<0

C．f′(x)<0，g′(x)>0

D．f′(x)<0，g′(x)<0

[答案]　B

[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

A．af(a)≤f(b)

B．bf(b)≤f(a)

C．af(b)≤bf(a)

D．bf(a)≤af(b)

[答案]　C

[解析]　∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．

9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()

A．f(0)＋f(2)<2f(1)

B．f(0)＋f(2)≤2f(1)

C．f(0)＋f(2)≥2f(1)

D．f(0)＋f(2)>2f(1)

[答案]　C

[解析]　由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为

()

[答案]　A

[解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题

11．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．

[答案]　b<－1或b>2

[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．

[答案]　a≥1

[解析]　由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．

设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0(x＞1)，∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．

[答案](－∞，－1)

[解析]　函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．

14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．

[答案]　[3，＋∞)

[解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.三、解答题

15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．

(1)求a、b的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得

f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)

＝3(x＋1)(x－3)．

令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1

当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；

当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．

16．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]　设f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)，则f′(x)＝1－cosx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．

而当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.17．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

[分析]　可先由函数y＝ax与y＝－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

[解析]　∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－＜x＜0.∴当x∈时，函数为增函数．

令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0，∴x＜－，或x＞0.∴在，(0，＋∞)上时，函数为减函数．

18．(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

[解析](1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．

(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．

令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．