高考数学函数单调性与最值试题选讲

第一篇：高考数学函数单调性与最值试题选讲

由莲山课件提供http://www.xiexiebang.comn(n1)(nx1)x(x1)(xx1),x1,, 求当x,3时，函数C8x的值域

[解析](4,3216288338](,28]；当x[,2)时，[x]1，C8x，因为函数u在[,2)2x33x2上是减函数，得456816；C8x当x[2,3)时，因为2x(x1)6，[x]2，x3x(x1)由单调性得 28561628328，故当x,3时，函数C8x的值域是(4,](,28]

333x(x1)2由莲山课件提供http://www.xiexiebang.com/ 资源全部免费

第二篇：高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案

函数的单调性与最值

学习目标：

1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。2.会用单调性求最值。

3.掌握基本函数的单调性及最值。知识重现

1、一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；

（2）存在x0I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）

2、一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（3）对于任意的xI，都有f(x) M；（4）存在x0I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimum value）理论迁移

例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18,那么烟花冲出后什么1 时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1米）？

例2 已知函数f(x)=

22(x［2,6］),求函数的最大值和最小值。x1归纳基本初等函数的单调性及最值

1.正比例函数：f(x)=kx(k0)，当k0时,f(x)在定义域R上为增函数；当k0时,f(x)在定义域R上为减函数，在定义域R上不存在最值，在闭区间［a,b］上存在最值，当k0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k0时, ,最大值为f(a)=ka，函数f(x)的最小值为f(b)=kb。2.反比例函数：f(x)=k(k0)，在定义域（-，0）（0,+）上无单调性，也不存在x最值。当k0时，在（-，0），（0,+）为减函数；当k0时，在（-，0），（0,+）

为增函数。在闭区间［a,b］上，存在最值，当k0时函数f(x)的最小值为f(b)= 最大值为f(a)=

k,bkkk, 当k0时, 函数f(x)的最小值为f(a)=，最大值为f(b)=。aab3.一次函数：f(x)=kx+b(k0),在定义域R上不存在最值，当k0时，f(x)为R上的增，当k0时，f(x)为R上的减函数，在闭区间［m,n］上，存在最值，当k0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k0时, 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b，最大值为f(m)=km+b。4.二次函数：f(x)=ax+bx+c, 当a0时，f(x)在（-,-2bb）为减函数，在（-，+）为增函数，在定义域R上

2a2ab4acb2有最小值f()=,无最大值。

2a4a当a0时，f(x)在（-,-

bb）为增函数，在（-，+）为减函数，在定义域R上

2a2ab4acb2有最大值f()=,无最小值。

2a4a函数单调性的应用

1.利用函数的单调性比较函数值的大小

例1 如果函数f(x)=x+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。

例2 已知函数y=f(x)在［0,+）上是减函数，试比较f（22

32)与f(a-a+1)的大小。42.利用函数的单调性解不等式

例3 已知f(x)是定义在R上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)

（1）解方程 f(x)=f(1-x)

(2)解不等式 f(2x)f(1+x)

(3)求适合f(x)2或f(x)0的x的取值范围。

3．利用函数的单调性求参数的取值范围

已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。

例3 已知f(x)=x-2(1-a)x+2在（-，4）上是减函数，求实数a的取值范围。

例4 已知A＝［1,b］(b1),对于函数f(x)=求b的值。

练习：已知函数y=f(x)=-x+ax-

2212(x-1)+1,若f(x)的定义域和值域都为A，2a1+在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a的值。

42求函数值域（最值）的一般方法

1.二次函数求最值，要注意数形结合

与二次函数有关的函数，可以用配方法求值域，但要注意函数的定义域。例1：求函数y=-x2x2的最大值和最小值。

例2：求f(x)=x-2ax+x2,x［-1,1］,求f(x)的最小值g(a).4.利用单调性求值域：当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。例3：求函数f(x)=2x在区间［2,5］上的最大值与最小值。x

5.分段函数的最值问题

分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。

12x,(x1)2例6：已知函数f(x)= 求f(x)的最大最小值。

1,(1x2)x

第三篇：《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计

《函数的基本性质──单调性与最值》

教学设计

一、内容和内容解析

函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。另一方面，函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。因此，函数单调性与最大(小)值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。

函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大(小)值，也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大(小)值。因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大(小)值，利用单调性和最大(小)值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。

二、目标和目标解析

1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。

3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。

4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。

5、函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。培养学生的探究能力和创新精神，体验到思考与探索的乐趣，培养学生勇于探索，善于研究的精神，挖掘其非智力因素的资源，培养学生良好的思维品质。

三、教学问题诊断分析

函数的单调性这一性质学生在初中曾经接触过,但只是从图象上直观分析图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。在函数的单调性的概念教学中，学生往往在理解“任意两个”、“都”这两个词的含义出现障碍，误认为“有两个”、“某两个”，而教学中利用函数的图象，举一些反例加以理解巩固。函数的单调性一定与某个区间相对应，而学生容易犯“某个函数单调递增（减）函数”这一错误。“函数在（-∞，0）上y随x增大而减少，在（0，+∞）上y随x的增大而减少。”

在定义域内是减函数，即把两个单调区间进行合并；分别在而学生容易错误理解函数区间上取两个数-1和5，-1<5，而f(-1)

四、学习行为分析

学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二次函数，反比例函数的函数值y与变量x之间的关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，这为理解函数的单调性和最大（小）值奠定了一定的基础。但另一方面，以前对函数的单调性和最大（小）值的研究是一种定性的研究，侧重于直观的思维，而本节内容是要对函的最值，讨论函数

（x>0）单调区间等具数单调性和最大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思维能力，这给学生的学习带来了较大的困难。因此，在教学过程中，多创设熟悉的问题情景：如在引课中利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函数，上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。在定义教学中，多给学生思考问题的时间和空间，引导学生观察，归纳，总结。特别利用数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数学语言来描述，以便于学生的理解和掌握。利用类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学生自己得出相应减函数的定义；当介绍了函数最大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的定义；便于学生进一步加深对定义的理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数上y随x的增大而减少，则函数

在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在（0,+∞）

在定义域内是减函数”。“所有函数是否都有最大（小）值？”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性？”。还有一些比较复杂的问题：“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，培养学生的自主探究能力。

五、教学支持条件分析

函数的单调性和函数的最大（小）值这一性质学生在初中接触到过，但只侧重于图象上直观分析，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，为了突破这一难点，充分发挥信息技术的辅助教学的功能。在概念教学中，首先利用多媒体技术画出函数y=x，y=x2，y=x3相应的函数的图象，然后在函数上取不同的点，由学生观察函数的值y随x的变化而变化的规律，化静为动，化抽象为直观，便于学生理解。对于概念中的一些关键字词，比如 “任意”、“都”、“存在”在多媒体课件中用不同的颜色加以标明，便于学生加深印象。对于一些容易出错的问题采取小组讨论法，纠错法。例如教师提出“讨论函数的单调性”，让学生分组讨论，然后推荐代表发言。有学生会回答是“递减函数”，理由是“图形的形状是下降”。也有同学会回答“不是单调函数”，理由是“因为x1=-1，x2=1时，x1

六、评价设计

《高中数学课程新标准》中提出：“对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成与发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。”根据新课程标准的要求，发展性评价的核心是关注学生的发展、促进学生的发展，实现评价发展性功能的一个重要举措就是突出评价的过程性，评价将贯穿于教学的整个过程，将学生在数学学习活动过程中的全部情况都纳入评价的范围，而不只是评价学生的学习的结果。在本教学设计过程中，始终注重过程评价，注重评价的针对性，实效性。主要体现在三个方面：一是基础知识掌握情况的评价。对函数的单调性和函数的最大（小）值的定义能否深刻的，全面的理解，特别是一些关键字词，如“任意两个”、“都”、“存在”的理解。举出正面和反面的例子让学生辨别，个别评价与集体评价相结合。二是基本技能掌握情况的评价。主要包括函数单调性判断的基本方法（图象法，定义法，复合函数法），如何选择不同的方法。证明函数单调性的基本步骤和基本策略（主要是作差变形的策略），单调区间的确定。求最值的基本方法的掌握情况等。三是数学思想的落实和数学探究能力培养的评价。运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），提升学生数形结合的思想。函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。让学生真正参与到数学活动中来，让学生真正成为学习的主人。（具体的教学评价见教学过程）

七、教学过程设计 设计环节 设计意图 师生活动

教师提出问题：

“问题是数学的心脏”，把问题作为出发点，为一．创设情境，导下一步提出探索性的出问题

问题创设有效的学习

学校准备建造一个长环境。

方形的花坛，周长设计为16米。由于受周围地理位 置限制，其中一边的长度既不能超过6米，又不能 少于1米。

二、借助信息技y=x，y=x，y=，y=x3 术，利用熟悉的函学生动手画图，个别板演，集体探讨函数值与自变从形象、直观的图形入数，给出单调性直量之间的关系，教师适当引导。

手，为探索与思考问题观认识。y=x在R上y随x的增大而增大。

提供方向和“路标”，并

借机发展学生的动手y=x在(-∞,0)上y随x的增大而减少，在(0,+∞)上y

实践能力、创新能力、随x的增大而增大。

和探索能力。y=在（-∞，0）上y随x的增大而减少,在（0，+∞）上y随x的增大而减少。

y=x3 在R上y随x的增大而增大。

教师利用信息技术，动画演示函数的图象。

怎样用数学语言表示y=x在R上y随x的增大而增 大呢？（学生讨论，教师引导，得出增函数的定 义）(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住从定性描述到定量描时机予以启发，纠正，补充)。述，从通俗的日常用语一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I到严谨的数学语言，让内某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2,当x1

三、从定性到定会逻辑地、合理地思考量，引出单调性的问题。定义，并能深刻理 解定义的含义。

增函数(increasing function)

注意数形结合，定义是用类比的方法得出减函数的定义： 严谨的语言，图象是直如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量观的语言，注意两者有值x1、x2,当x1 f(x2).那么就说f(x)在机的结合。这个区间D上是减函数(decreasing 问

1、建立面积y与一边长x的函数关系式。

生：y=x(8-x)(1≤x≤6)

问

2、画出上面函数的图象。

问

3、指出y的值与x值的变化关系。以实际问题为背景、以生：当1≤x≤4时，y随x值的增大而增大，学生熟悉的一元二次当4≤x≤6时，y随x值的增大而减小。函数为入口点，激活学问

4、求出面积的最大值与最小值。生原有的认知，让学生

生：当x=4时，Smax=16m；当x=1时，Smin=7m 对所要学的新知获得感性的认识。引导学生解决，体会函数单调性与最大（小）值在实际中的应用。

请学生分别画出下列函数的图象，并探讨函数值y与自变量x之间的关系：

利用类比方法，实现知识与能力的迁移 教师提出问题，让学生

在自主探索，讨论，在function)合作交流中，充分体现如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数。学生学习的主体性，对那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调概念进一步深入的领性，区间D叫做y= f(x)的单调区间.会。

1、“函数y=x2是单调递增函数”这一说法对吗？

2、y=在（0,+∞）上是减函数，在(-∞,0)是减函数，能否说函数在整个定义域上是减函数？

3、函数在某个区间是否一定具有单调性？

4、如何理解定义中“任意”两个字？

1、教材例（1）p34讲解：让学生自己通看教材，例（1）是利用函数的学生提问，学生自行解决，师生共同总结： 图象来判断函数的单（1）单调性与端点无关。

调性，具有直观性，也（2）判断函数的基本方法-----图象法。是常用方法。

2、教材例（2）p34讲解：教师板演，师生共同总 结：

四、讲解例题、巩（1）判断函数的基本方法-----定义法。

固知识，提高能（2）总结定义法证明单调性的基本步骤：

力。例（2）是利用单调性 1 任取x1，x2∈D，且x1

深对定义的理解。⑤下结论（指出函数f(x)在区间D上的单调性）

3、在解题中，根据题目的实际情况和具体要求，选择适当的方法。

从熟悉，具体的二次函数入手，探讨最大，最小值，让学生有感性认

五、回归引例，探识。

重新演示 讨最大（小）值的

含义 引例函数的图象及面积的最大值与最小值

分析上面图象可以发现，函数y=x(8-x)(1≤x≤6)的 图象上有一个最高点（4，16），任意的x∈［1,6］,用数学语言描述最大都有f(x)≤f(4),当一个函数f(x)有最高点，我们就说值，最小值。函数有最大值。有一个最低点（1，7），任意的x

∈［1,6］,都有f(x)≧f(1),当一个函数f(x)有最低点，我们就说函数有最小值。而函数f(x)=x的图象没有

最高点也没有最低点，所以函数f(x)=x没有最大值，也没有最小值。

得出函数最大值的定义： 从特殊到一般，揭示数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实学通常的发现过程，便数M满足： 于学生接受。⑴ 对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；

⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）利用类比方法，实现知让学生仿照最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小

六、归纳最大(小）识与能力的迁移 值的定义（minimum value）。值的定义，并加以 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实

说明，解释 数M满足：

⑴ 对于任意的x∈I,都有f(x)≥M； 教师提出问题，让学生⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M 在自主探索，讨论，在那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（maximum 合作交流中，对概念进value）一步深入的领会。

1、函数y=x、y=有没有最值？

2、如何理解定义中的“存在”“任意”的含义？

3、以前求最值有哪些方法？

例(3）、例(4)的教学采用自学导学法，按以下步骤 实施：

例(3)是学生熟悉的烟

1、学生通读题目，理解题意 花问题，可转化为二次

2、利用多媒体演示动画，激发学生学习兴趣。函数来解决，难度不

3、学生自学，相互讨论，共同解决。大。

4、学生提问，教师答疑。

七、函数单调性、5、师生共同小结求最值的基本方法：

最大（小）值应用

（1）转化为二次函数的最值问题。例(4)是单调性与最值①配方法 问题的综合，具有一定②注意实际问题的条件限制。的难度。注意转化为反（2）利用函数的单调性求最值------在闭区间上。比例函数，利用数形结①先证明在在闭区间上具有单调性。合。②端点值即为函数的最值。利用课堂练习巩固所课堂练习： 学的知识内容，数学思课本第38页练习

1、练习

2、练习

3、练习4。想，数学方法，以达到学生独立思考与讨论相结合，教师巡查，个别辅导

八、练习、交流、教学目标，本环节以个与

反馈、评价

别辅导为主，体现面对集体辅导相结合。全体学生的课改新理念。

九、课堂小结 通过学生自我小结，既知识小结：

充分发挥学生的主观

1、函数单调性，最大（小）值的概念。

能动性，提高学生分

2、判断函数单调性的基本方法。

十、布置作业 析，概括，综合，抽象

3、用定义法判断函数的基本步骤 能力，又有利于学生把

4、求最大（小）值的基本方法。新知融入自己已有的师生、生生互动： 知识体系。

1、你觉得本节课中印象最深的是什么？

2、你觉得本节课中最大的困惑是什么？ 让学生提问题，自行解决，教师适当补充。

沟通课内与课外，使学作业布置

生基础性学力与发展

1、书面作业：课本P45习题1．3（A组）第1-5性学力协调发展，让不题．

同学生得到不同的发

2、研究性作业：设f(x)是定义在R上的增函数，展。f(xy)=f(x)+f(y)，1）求f(0)、f(1)的值；

2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1解集

八、设计反思

在普通高中数学课程标准强调高中数学活动中的师生互动，明确指出“必须关注学生的主体参与，师生互动”进行在教师指导或引导下“数学化”过程，“再创造”过程。建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。备课不只是对知识和教学内容的准备，也包括对学生、学情的分析和掌握.二者的和谐统一是提高教学效果的基本要求。发现、探究、讲解、演练相结合教学法的确立，就是基于对学生认知基础和认知规律的关注。

在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程。强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。通过讨论交流，进一步加深对概念的理解，完善认知结构，让学生在“平衡－－不平衡－－新平衡”中不断得到丰富和发展。通过讨论交流，实现生生互助，丰富情感体验；实现师生互助，活跃课堂气氛。

第四篇：第3讲函数的单调性

第5课时函数单调性

第一部分知识梳理

1.增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

数的定义可定义减函数.2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3.判断单调性的步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1

（1）f(x)= x从左至右图象上升还是下降 ______? ○在区间 ____________ 上，随着x的增 ○

大，f(x)的值随着 ________ ．

（2）f(x)=-x+从左至右图象上升还是下降 ______? ○在区间 ____________ 上，随着x的增 ○

大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x)= x

1在区间 ____________ 上，○

2f(x)的值随着x的增大而 ________ ．在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○

着x的增大而 ________ ．

【例2】如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

4.判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1

③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 【例】

① 证明函数yx

② 作出函数y =－x +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间

第二部分例题讲解

【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(x)

在（1，+∞）上为增函数 x

2x

在区间（0，1）上的单调性.x

12x12x22(x2x1)

解：任取x1,x2∈(0,1)，且x1x2.则f(x1)f(x2).x11x21(x11)(x21)

由于0x1x21，x110，x210，x2x10，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).2x

所以，函数f(x)在（0，1）上是减函数.x1

【例2】求二次函数f(x)ax2bxc(a0)的单调区间及单调性.解：设任意x1,x2R，且x1x2.则

f(x1)f(x2)(ax12bx1c)(ax22bx2c)a(x12x22)b(x1x2)(x1x2)[a(x1x2)b].bb

若a0，当x1x2时，有x1x20，x1x2，即a(x1x2)b0，从而f(x1)f(x2)0，2aa

bb

即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(,]上单调递增.同理可得f(x)在[,)上单调递减.2a2a

练习（1）证明：函数fxx21在-3，0上是减函数。

（1）求二次函数fxx24x1的单调区间及单调性.第六课时

【例3】求下列函数的单调区间：

（1）y|x1||2x4|；（2）yx22|x|3.3x3,x1



解：（1）y|x1||2x4|x5,2x1，其图象如右.3x3,x2

由图可知，函数在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数.2x2x3,x0

（2）yx22|x|32，其图象如右.x2x3,x0

由图可知，函数在(,1]、[0,1]上是增函数，在[1,0]、[1,)上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到f(|x|)的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.3x

1【例4】已知f(x)，指出f(x)的单调区间.x23(x2)5

5解：∵ f(x)，3

x2x25

∴ 把g(x)的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单

x位，得到f(x)的图象，如图所示.由图象得f(x)在(,2)单调递增，在(2,)上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象.需知f(xa)b平移变换规律.第三部分 课堂练习

1．已知函数f(x)是2,2上的单调函数，若f(1)2，f(1)2，则函数f(x)在2,2上是单调函数．

2． 如图所示，该函数的单调增区间是：； 单调减区间是：．

3．下列函数在定义域上是单调增函数是（）

（A）yx2（B）y（C）y2x3（D）yx1

x4．若函数y(k1)x在(,)上是减函数，则（）（A）k1（B）k1（C）k1（D）k1

5．函数yx2x2在下列哪个区间上是的单调减函数（）（A）(0,)（B）(,0)（C）(1,)（D）(,1)6．求证：y2x4在R上是增函数．

7．如果函数yx2(a1)x1在区间1,3上为减函数，求实数a的取值范围．

8． 试写出函数yx1的单调区间．

9．已知函数f(x)x1．

（1）求函数的定义域；（2）判断该函数在定义域上的单调性，并证明之．

10．已知函数f(x)x24x3．

（1）画出该函数的图象；（2）写出函数的单调区间．

11．判断函数yx

12． 若函数f(x)

第四部分过关检测

1．函数yx26x的减区间是（）.A.(,2]B.[2,)C.[3,)D.(,3] 2．在区间（0，2）上是增函数的是（）.A.y=－x+1B.y

y= x－4x＋5D.y=3．函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是（）.A.(,0],(,1]B.(,0],[1,)C.[0,),(,1]D.[0,),[1,)4．已知f(x)是R上的增函数，令F(x)f(1x)3，则F(x)是R上的（）.A．增函数 B．减函数 C．先减后增D．先增后减

在(1,)的单调性，并用定义证明之． x

ax

在(2,)上为增函数，求实数a的取值范围． x1x

5．二次函数f(x)x22axb在区间(∞，4)上是减函数，你能确定的是（）.A.a2B.b2C.a4D.b

46．函数f(x)的定义域为(a,b)，且对其内任意实数x1,x2均有：(x1x2)[f(x1)f(x2)]0，则f(x)在(a,b)上是.（填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）

7．已知函数f(x)= x－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f

之间的大小关系为.x

38．指出下列函数的单调区间及单调性：（1）f(x)；（2）y|x22x3|

x1

0.（1）求b与c的值；（2）试证明函数f(x)在区间(2,)上是9．若f(x)x2bxc，且f(1)0,f(3)

增函数.11

10．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有f(mn)f(m)f(n)1，且f(又当x2，22

时，有f(x)0.（1）求f()的值；（2）求证：f(x)是单调递增函数.

第五篇：函数单调性教学与反思

函数单调性教学与反思

教学内容：

（一）引入课题

我国的人口出生率变化曲线（如下图），请同学们观察说出人口出生的大致变化情况。我们可以很方便地从图象观察出人口出生的变化情况，对今后的工作具有一定的指导意义。

下面我们开始研究函数在这方面的主要性质之一―――函数的单调性。

（二）形成概念

1、观察引入

演示动画（1）函数y=2x+1随自变量x 变化的情况

（2）函数y=-2x+1随自变量x 变化的情况

（设计意图：由初中知识过度到今天要学的知识，对初中知识进行深化，激起学生新的认知冲突，从而调动学生积极性）

2、步步深化

演示动画(3)函数y=x2随自变量x 变化的情况，设置启发式问题：

(1)在y轴的右侧部分图象具有什么特点？

(2)指出在y轴的右侧部分自变量与函数值的变化规律？(3)如果在y轴右侧部分取两个点（x1，y1），（x2，y2），当x1

(4)如何用数学符号语言来描述这个规律？

教师补充：这时我们就说函数y=f(x)=x2在(0,+ )上是增函数.(5)反过来，如果y=f(x)在(0,+ )上是增函数，我们能不能得到自变量与函数值的变化规律呢？ 类似地分析图象在y轴的左侧部分。

（设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”“文字语言”“符号语言”多方面认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换，另外，我认为学生对“任意性”较难理解，特设计了（3）、（4）问题，步步深入，从而突破难

点，突出重点。）

3、形成概念

注意：（1）变量属于定义域

（2）注意自变量x1、x2取值的任意性

（3）都有f(x1)>f(x2)或f(x1)

（设计意图：体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。）

（三）深化概念

例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.(通过讲解例1，让学生学会通过观察图象写出函数的单调区间。)例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1

11xx－=21,（注意变形程度）x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+ )，得x1x2>0, 又由x10 ,于是f(x1)－f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)∴f(x)= 1在(0,+ )上是减函数.x(此题是为了进一步加强证明的规范性，严谨性)（设计意图：通过例题的教学，有助于学生内化所学的概念，建构新的知识体系，在例题教学中通过学生的交流，实现师生互动；通过教师针对性点评，有利于深刻理解概念。）

（四）即时训练 课堂练习：

1、书P60 练习1（请同学口答）

2、判断函数f(x)=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你

1x的结论.（设计意图：一个新知识的出现，要达到熟练运用的效果，仅仅了解是不够的，一定量的“重复”是有效的，也是必要的，所谓“温故而知新”、“熟才能生巧”。）反思：

函数单调性是函数的一个重要性质，并且学生是头一次接触函数的单调性，陌生感强。函数单调性，单调区间的概念掌握起来有一定困难，这样会增加学生的负担，不利于学生学习兴趣的激发。学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念。进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应。学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量x的增大函数值y增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势通过一组常见的具体函数例子，引导学生借助初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的图象，从函数图像分析入手，使学生对增、减函数有一个直观的感知。从图象直观感知函数的单调性，完成对函数单调性的第一次认识。

教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出单调增的说法。通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x的增大，y也增大”的特征。进一步给出函数单调性的定义。然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念。

用函数单调性的定义证明函数的单调性。应该注意证明的四个基本步骤：取值——作差变形——定号——判断。把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的。使用函数单调性定义证明是本节课的一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫。