高中数学 (1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积)示范教案 新人教A版必修2（精选5篇）

第一篇：高中数学 (1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积)示范教案 新人教A版必修2

1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

整体设计

教学分析

本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.三维目标

1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.重点难点

教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？ 思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？ 推进新课 新知探究 提出问题

①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

正方体及其展开图(1)长方体及其展开图(2)

图1 ②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？ ⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.2

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为

2l，那么圆柱的底面面积为πr,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积2S=2πr+2πrl=2πr(r+l).图2 图3 圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它2的表面积S=πr+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧22面的面积，即S=π(r+r′+rl+r′l).图4 ⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：

1212S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r1+r2)S圆锥表=πr(r+l).rrr2

2r0,rr从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题

①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？

②比较柱体、锥体、台体的体积公式： V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；

1Sh(S为底面积，h为锥体的高)； 31V台体=(SSS'S')h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).3V锥体=你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？

活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.3

②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？ 讨论结果：

32①棱长为a的正方体的体积V=a=aa=Sh；

长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；

2底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πrh=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.11Sh(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.3311棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=Sh(S为底面面积，h为高).33圆锥的体积公式是V=由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的1.31(S′+S'S+S)h, 3 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：

图5 应用示例

思路1

例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC（图6），求它的表面积.图6

活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.4

因为BC=a,SD=SBBD22a3a2()2a，22所以S△SBC=13321aa.BC·SD=a224232a3a2.4因此，四面体S—ABC的表面积S=4×点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练

1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为

SS，由题意得圆锥的高为，又圆锥2r2r2的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l=r(得

S2)，根据圆锥的侧面积公式2rS2)S圆锥侧=πrl=π·r·r(2r242r4S2.22.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（）

A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为（3［r2h)∶

3∶［(2r)2·2h］

3(3r)2·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B 3.三棱锥V—ABC的中截面是△A1B1C1，则三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A—A1BC的体积之比是（）

A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8

分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A—A1BC转化为三棱锥A1—ABC，这样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B 例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）

图7

活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［(-π（1521520)1515］2221.5222)≈1 000(cm)=0.1(m).2涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练

21.有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）

解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，2∵圆柱的侧面积为S侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，2∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m，10m220因此油漆工完成任务所需的时间t=≈6.37秒.0.5m2点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.11112xyx(4x)(x-2)2+，由于x＞0，则当

332662x=2时，三棱锥的体积取最大值.32答案：

3分析：由题意得三棱锥的体积是例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）

3图8

活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=3102233×12×6×10-3.14×()×10≈2 956(mm)=2.956(cm).42所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.变式训练

如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）

图9

解：如图10，设水面的半径为r，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10 在△ABG中，∵EH∥BG，AHEH.∵AH=2分米, AGBG2r214∴.∴r=分米.525∴∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为

142148762)+×4+4］=立方分米，2555876292∴所用的时间为25≈36.69秒.325V水=·3［(13答：所用的时间为36.69秒.思路2

例1（2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）

图11 A.1 B.111 C.D.236活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=1111SABCPA1.3326

图12

答案：D 点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练

1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（）

图13 A.183 B.153 C.2483 D.24163 分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为23，正三棱柱的高为

2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为 3×4×2+2×1×4×23=24+83.2

图14

答案：C 2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）A.323 B.C.3 D.333分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为

3，所以这个几何体的体积为V=13123.33答案：A 3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为

8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为

6、高为4的等腰三角形.图15（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.图16（1）V=1×(8×6)×4=64.3AB28)42()242, 229(2)设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在△VBC中，BC边上的高为h1=VO（在△VAB中，AB边上的高为h2=VO(2BC26)42()2=5.22所以此几何体的侧面积S=2(64212185)=40+242.2点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）

图17 活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.2解：正方体的表面积为16×6=96（cm），2一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm），2则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm）.2答：几何体的表面积为133.68 cm.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练

图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图18

分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.22解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为1×9=9（cm），2222前面的表面积为1×8=8（cm），左面的表面积为1×7=7（cm），2则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48(cm).2答：此几何体的表面积为48 cm.知能训练

1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）

A.486 B.64 C.16 D.96 分析：设正方体的棱长为a，则6a=96，解得a=4，则正方体的体积是a=64.答案：B 2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）

A.π B.2π C.3π D.4π

3分析：设圆锥的母线长为l，则l=31=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.答案：C 3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积是（）

A.27393279 B.C.D.444422分析：可得正三棱锥的高h=(23)(3)=3，于是V=13329333.44答案：D 4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.2分析：圆柱的体积公式为V圆柱=πrh，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为

2原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的4=16倍.答案：4 16 5.图20是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?

图20

分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.3解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a.三棱锥的底面是Rt△AGF，即∠FAG为90°，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以AF=AG=

1a.2 11

1111aaa2.又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以2228111113AH=a.所以锯掉的部分的体积为aa2a.2328481311又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.aa3484848所以△AGF的面积为6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是____________.2SlS,分析：如图21，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得2解得r=，所

2l2r,以圆锥的底面积为πr=

2SS.22

图21

答案：S 27.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.图22 图23 分析：图22中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则V=S△ABCh.又图23中水组成了一个

3SABC2a3334a.直四棱柱，其底面积为SABC，高度为2a，则V=SABC·2a，∴h=

SABC244答案：3a 28.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.12

分析：设这个圆台的高为h，画出圆台的轴截面，可得台的体积是

26h，解得h=3，所以这个圆4622(2+2×4+4)×3=28π.3答案：28π

9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（）

图24 A.400080003333 cm B.cm C.2 000 cm D.4 000 cm 33分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,2底面是边长为20 cm的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm，所以该几何体的体积是180003×400×20=cm.33答案：B 拓展提升

问题：有两个相同的直三棱柱，高为

2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a＞0).用它a们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是___________.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：

2四棱柱有一种，就是边长为5a的边重合在一起，表面积为24a+28，三棱柱有两种，边长为

224a的边重合在一起，表面积为24a+32，边长为3a的边重合在一起，表面积为24a+36，两

2个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a+48, 最小的是一个四棱柱，这说明24a+28＜12a+4812a＜200＜a＜

15.3答案：0＜a＜15 3课堂小结

本节课学习了：

1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.作业

习题1.3 A组 第1、2、3题.设计感想

新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上.由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术.

第二篇：【数学】1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)》教案(新人教A版必修2)

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

（二）第二课时

一、教学目标

1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。

3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体的体积计算 难点：台体体积公式的推导

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：实物几何体，投影仪

四、教学过程

1、复习准备：

(1).提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？(2).提问：正方体、长方体、圆柱的体积计算公式？

2、探究新知

教学柱锥台的体积计算公式：

① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）

② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

→给出柱体体积计算公式：V柱Sh（S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱Shr2h

③ 讨论：等底、等高的棱柱与棱锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？

→给出锥体的体积计算公式：V锥13Sh

S为底面面积，h为高）

⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？

→ 如何计算台体的体积？ ⑥ 给出台体的体积公式：V台

→ V圆台13(S''13(S132'SSS)h

（S，S分别上、下底面积，h为高）

2''SSS)h(rrRR)h（r、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

3、例题分析讲解

① 出示例：一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8g/cm3）

讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？

→ 列式计算

→ 小结：体积计算公式

② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.4、小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用.5、作业：P30 3题； P32习题 3、4题.五、教学后记:

第三篇：高中数学 课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)教案 新人教A版

课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积

（二）课 型：新授课 教学目标

1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。

3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

教学要求：了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.教学重点：运用公式解决问题.教学难点：理解计算公式之间的关系.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？

2.练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积.3.提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？

二、讲授新课：

1.教学柱锥台的体积计算公式： ① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

→给出柱体体积计算公式：V柱Sh（S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱Shr2h

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？

→给出锥体的体积计算公式：V锥Sh S为底面面积，h为高）

⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？

→ 如何计算台体的体积？

⑥ 给出台体的体积公式：V台(S'S'SS)h（S，S分别上、下底面积，h为高）

→ V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h（r、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

1313'1313

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

公式记忆：V锥Sh 131V台(S'S'SS)h

311V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h

332.教学体积公式计算的运用：

例

1、一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估

3算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8g/cm）

讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？

→ 列式计算 → 小结：体积计算公式

② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.三、巩固练习：

1.把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。

2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，3求这个棱台的体积。（答案：2325cm）

3.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.234.高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm,体积为2800cm，求它的侧面积。

5.仓库一角有谷一堆，呈1/4圆锥形，量得底面弧长2.8m，母线长2.2m，这堆谷多重？3720kg/m

四、小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用

五、作业：P28 2、3题； P30习题 3题.课后记

第四篇：高中数学_1.3.1单调性与最值教案_新人教A版必修1 2

1.3.1 单调性与最值（3）

教学目标： 1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；

2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；

3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；

5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数最值的含义 教学难点：单调函数最值的求法 教学方法：讲授法

1．函数最大值与最小值的含义

①定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么，我们称M是函数yf(x)的最大值（maximum value）.②几何意义：函数yf(x)的最大值是图象最高点的纵坐标。

思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数yf(x)的最小值（minimum value）吗？并说明几何意义？

一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么，我们称M是函数yf(x)的最小值（minimum value）.几何意义：函数yf(x)的最大值是图象最低点的纵坐标。2．最值的求法

①配凑法：研究二次函数yax2bxc(a0)的最大（小）值，若给定区间是(,)，先配b24acb24acb2方成ya(x)后，当a0时，函数取最小值为；当a0时，函数取最大值。2a4a4a若给定区间是[a,b]，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。（此处顺带说出求值域的方法——配方法）

②单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.③数形结合法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.3．例题分析（讲解最值求解方法时带出值域）

例1．教材第30页例题3。

用心

爱心

专心 例2．

1、求函数yx21在下列各区间上的最值：

（1）(,)（2）[1，4]（3）[6,2]（4）[2,2]（5）[2,4]

6的最大值.2xx1661338.解：配方为y，由(x)2，得0123123244(x)(x)2424

2、求函数y例3．求函数y2在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第31页例4）。x1 分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。变式：若区间为[6,2]呢？

例4.求下列函数的最大值和最小值：

53（1）y32xx2,x[,]；（2）y|x1||x2|.22b解：（1）二次函数y32xx2的对称轴为x，即x1.2a39画出函数的图象，由图可知，当x1时，ymax4； 当x时，ymin.24953所以函数y32xx2,x[,]的最大值为4,最小值为.4223(x2)（2）y|x1||x2|2x1(1x2).3(x1)作出函数的图象，由图可知，y[3,3].所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.直接观察得到。随堂巩固：

1、指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？ f(x)2x3，f(x)2x3 x[1,2]；f(x)x22x1，f(x)x22x1 x[2,2]

2在区间[2，4]上的最大值，最小值是（）x111111A．

1、B.、1 C.、D.、2224422、函数y3函数4若0f(x)1x(11x)的最大值

t14，那么1tt的最小值 用心

爱心

专心

5、函数yx1x1的最大值是

能力提升

1已知f(x)

2已知函数x1,x[3,5]函数，求函数的最大值和最小值。x2f(x)x22ax2,x[5,5]

（1）当a1时，求f(x)的最值-5,37.（2）求实数a的取值范围，使yf(x)在x[5,5]上的单调函数a5或5

x22xa3已知函数f(x)，若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，试求实数a的取x值范围 a3

用心

爱心

专心 3

第五篇：高中数学 (4.1.2 圆的一般方程)示范教案 新人教A版必修2

4.1.2 圆的一般方程

整体设计

教学分析

教材通过将二元二次方程

x+y+Dx+Ey+F=0

2配方后化为D2F2D2E24F222222(x+)+(y+)=后只需讨论D+E-4F＞0、D+E-4F=0、D+E-4F＜0.与圆的224DE122标准方程比较可知D+E-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,D2E24F为半径的222DDEE22圆；当D+E-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);当

2222D+E-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.22 从而得出圆的一般方程的特点：(1)x和y的系数相同,不等于0；(2)没有x·y这样的2222二次项；(3)D+E-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.222 同圆的标准方程(x－a)＋(y－b)=r含有三个待定系数a、b、r一样,圆的一般方程22x+y+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.三维目标

1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定

2222圆的圆心、半径.掌握方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件,通过对方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.重点难点 教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.课时安排 1课时

教学过程 22导入新课

思路1.①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得22222x+y-2ax-2by+a+b-r=0.22222③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a+b-r,得到方程x+y+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.22④能不能说方程x+y+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.思路2.问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.推进新课 新知探究 提出问题

①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法? ②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢? 22③给出式子x+y+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.2222222④把式子(x－a)＋(y－b)=r与x+y+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点? 讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.D2E2D2E24F③把式子x+y+Dx+Ey+F=0配方得(x+)+(y+)=.22422④(x－a)＋(y－b)=r中,r＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r＜0时不表示任何图形.222D2E2D2E24F因此式子(x+)+(y+)=.224DE1,-)为圆心,D2E24F为半径的圆； 222DDEE22(ⅱ)当D+E-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);

2222(ⅰ)当D+E-4F＞0时,表示以(-22(ⅲ)当D+E-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.22 综上所述,方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成222222x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D+E-4F＞

22220时,它表示的曲线才是圆.因此x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D+E-4F＞0.22 我们把形如x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.⑤圆的一般方程形式上的特点: 22 x和y的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定22了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.应用示例

思路1

例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.22(1)4x+4y-4x+12y+9=0;22(2)4x+4y-4x+12y+11=0.解:(1)由4x+4y-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=而D+E-4F=1+9-9=1＞0, 所以方程4x+4y-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为((2)由4x+4y-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=22222222

29, 4131,-),半径为； 2221122,D+E-4F=1+9-11=-1＜0, 42所以方程4x+4y-4x+12y+11=0不表示圆的方程.2222点评:对于形如Ax+By+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x+y+Dx+Ey+F=022的形式,再利用条件D+E-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练

求下列圆的半径和圆心坐标：

2222(1)x+y-8x+6y=0;(2)x+y+2by=0.22222解:(1)把x+y-8x+6y=0配方,得(x－4)＋(y+3)=5,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；

22222(2)x+y+2by=0配方,得x＋(y+b)=b,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例2 求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.22解:方法一：设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有

F0. DEF20,4D2EF200.解得D=-8,E=6,F=0, 22222故所求圆的方程为x+y-8x+6y=0,即(x－4)＋(y+3)=5.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM1的中点E（1153,),M1M2的中点F(,), 222211再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-=-(x-), ①

2235AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-)，22②

xy1,x4,联立①②得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.3xy9,y3.方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|, 222222即x+y=(x-1)+(y-1)=(x-4)+(y-2),解之得P(4,-3),OP=5为半径.方法四：设所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)=r,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即

222(1a)2(1b)2r2,222 abr,(4a)2(2b)2r2.a4,222解此方程组得b3,所以所求圆的方程为(x－4)＋(y+3)=5,圆心坐标为(4,-3),半径为r5.5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.22例3 已知点P(10,0),Q为圆x+y=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.图1 解法一:如图1,作MN∥OQ交x轴于N, 则N为OP的中点,即N(5,0).因为|MN|=1|OQ|=2(定长).2

22所以所求点M的轨迹方程为(x-5)+y=4.点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).10x0x,x02x10.2因为M是PQ的中点,所以(*)即y0y0,y02y.2又因为Q(x0,y0)在圆x+y=16上,所以x0+y0=16.将(*)代入得

22(2x-10)+(2y)=16.22故所求的轨迹方程为(x-5)+y=4.点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0).2

2②求出点M与点Q坐标间的关系xf1(x0,y0),(Ⅰ)

yf2(x0,y0).)

中

解

出③从(Ⅰ

x0g1(x,y), y0g2(x,y).(Ⅱ)④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.变式训练 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)+y=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.解:设点M的坐标是(x,y), 点A的坐标是(x0,y0).由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点,所以x=

x04y3,y=0.于是有22x0=2x-4,y0=2y-3.①

222222因为点A在圆(x+1)+y=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)+y=4,即(x0+1)+y0=4.② 把①代入②,得(2x-4+1)+(2y-3)=4,整理,得(x-所以点M的轨迹是以（2

3232)+(y-)=1.2233,)为圆心,半径长为1的圆.22思路2

2222例1 求圆心在直线l：x+y=0上,且过两圆C1:x+y-2x+10y-24=0和C2:x+y+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.22xy2x10y240,解:解两圆方程组成的方程组2得两圆交点为(0,2),(-4,0).2xy2x2y80.设所求圆的方程为(x-a)+(y-b)=r,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l上,所以得方程组

222(4a)2b2r2,222a(2b)r, ab0.解得a=-3,b=3,r=10.故所求圆的方程为(x+3)+(y-3)=10.2

2点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.例2 已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.解法一:利用圆的一般方程.22设所求的圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,由已知,该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有1DF0,22233DF0，解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为x+y-4x+4y+3=0.(1)2EF0.解法二:利用圆的标准方程.由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0), 222设圆的方程为(x-a)+(y-b)=r,则圆心C(a,b)在PQ的垂直平分线上,故a=2.22因为|PC|=|RC|,所以(a1)ba2(b1)2.将a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).22而r=|PC|=5,故所求圆的方程为(x-2)+(y+2)=5.例3 试求圆C:x+y-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C′的方程.活动：学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求.解法一:设P′(x,y)为所求曲线C′上任意一点,P′关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.22由题意可得

xx0yy010,22yy011,xx0解得

x0y1, y0x1.(*)

22因为P(x0,y0)在圆C上,所以x0+y0-x0+2y0=0.将(*)代入

22得(y-1)+(x+1)-(y-1)+2(x+1)=0, 22化简得x+y+4x-3y+5=0,即为C′的方程.解法二:(特殊对称)圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C′,即13,-1)关于直线l:x-y+1=0的对称点C′(-2,),因此所求圆C′的方程为223252(x+2)+(y-)=.24求(点评：比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单.知能训练

课本练习1、2、3.拓展提升

22问题：已知圆x+y-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值.解:设P(x1,y1)、Q(x2,y2), 22xyx8ym0,2由消去y得5x+4m-60=0.① x2y60.由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m＞0,m＜15.x1x20,由韦达定理 4x1x2m12.5因为PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以即② 因为y1=3-

y11y21=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0, x11x21x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.x1xxxxxxx3,y2=32,所以y1y2=(3-1)(32)=9-(x1+x2)+12=9+12，2224422554x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.445y1+y2=6,代入②得所以m=10,适合m＜15.所以实数m的值为10.课堂小结

22221.任何一个圆的方程都可以写成x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D+E-4F＞0时,方程表示圆心为(-r=

2DE,-),半径为

2212D2E24F的圆.2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.作业

习题4.1 A组1、6,B组1、2、3.设计感想

这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过

22类比进行条件的探求——“D+E－4F”与“Δ”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.