选修2-2
1.1
第2课时
导数的概念
一、选择题
1．函数在某一点的导数是()
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()
A．6
B．18
C．54
D．81
[答案] B
[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32
＝18Δt＋3(Δt)2∴＝18＋3Δt.当Δt→0时，→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为()
A．2x
B．2
C．2＋Δx
D．1
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2
∴＝2＋Δx
当Δx→0时，→2
∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为()
A．37
B．38
C．39
D．40
[答案] D
[解析] ∵＝＝40＋4Δt，∴s′(5)＝li
＝li
(40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是()
A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量
B.＝叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率
C．f(x)在x0处的导数记为y′
D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)
[答案] C
[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即()
A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
B．f′(x0)＝li[f(x0＋Δx)－f(x0)]
C．f′(x0)＝
D．f′(x0)＝li
[答案] D
[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于()
A．4a
B．2a＋b
C．b
D．4a＋b
[答案] D
[解析] ∵＝
＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝li
＝li
(4a＋b＋a·Δx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()
A．圆
B．抛物线
C．椭圆
D．直线
[答案] D
[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为()
A．0
B．3
C．－2
D．3－2t
[答案] B
[解析] ∵＝＝3－Δt，∴s′(0)＝li
＝3.故应选B.10．设f(x)＝，则li
等于()
A．－
B.C．－
D.[答案] C
[解析] li
＝li
＝li
＝－li
＝－.二、填空题
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
li＝________；
li
＝________.[答案] －11，－
[解析] li
＝－li
＝－f′(x0)＝－11；
li
＝－li
＝－f′(x0)＝－.12．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
[答案] 0
[解析] ∵Δy＝－
＝Δx－1＋＝，∴＝.∴y′|x＝1＝li
＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．
[答案] 2
[解析] ∵＝＝a，∴f′(1)＝li
＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝li，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li的值是________．
[答案] 8
[解析] li
＝li
＋li
.由于f(3)＝2，上式可化为
li
－3li
＝2－3×(－2)＝8.三、解答题
15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．
[解析] 由导数定义有f′(x0)
＝li
＝li
＝li
＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
[解析] 位移公式为s＝at2
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2
∴＝at0＋aΔt，∴li
＝li
＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)(2)f′(1)．
[解析](1)＝
＝＝2＋Δx.(2)f′(1)＝
＝
(2＋Δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．
[解析] f(x)＝
Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)
＝
∴
＝
(1＋Δx)＝1，＝
(－1－Δx)＝－1，∵
≠，∴Δx→0时，无极限．
∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)
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