选修2-2
1.3.1
函数的单调性与导数
一、选择题
1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是()
A.b2-4ac>0
B.b>0,c>0
C.b=0,c>0
D.b2-3ac<0
[答案] D
[解析] ∵a>0,f(x)为增函数,∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立,∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0.2.(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()
A.(-∞,2)
B.(0,3)
C.(1,4)
D.(2,+∞)
[答案] D
[解析] 考查导数的简单应用.
f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2,故选D.3.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为()
A.[-1,+∞)
B.(-∞,2]
C.(-∞,-1)和(1,2)
D.[2,+∞)
[答案] B
[解析] 令k≤0得x0≤2,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-∞,2].
4.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()
[答案] C
[解析] 当0 ∴f′(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数 当x>1时xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定A、B、D故选C.5.函数y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是() A.和 B.和 C.和 D.和 [答案] A [解析] y′=xcosx,当-π A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x∈(a,b),都有f′(x)>0 B.若在(a,b)内对任何x都有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上是增函数 C.若f(x)在(a,b)内是单调函数,则f′(x)必存在D.若f′(x)在(a,b)上都存在,则f(x)必为单调函数 [答案] B [解析] 若f(x)在(a,b)内是增函数,则f′(x)≥0,故A错;f(x)在(a,b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系,故C错;f(x)=2在(a,b)上的导数为f′(x)=0存在,但f(x)无单调性,故D错. 7.(2007·福建理,11)已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时() A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 [答案] B [解析] f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反),∴x<0时,f′(x)>0,g′(x)<0.8.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a) C.af(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b) [答案] C [解析] ∵xf′(x)+f(x)≤0,且x>0,f(x)≥0,∴f′(x)≤-,即f(x)在(0,+∞)上是减函数,又0<a<b,∴af(b)≤bf(a). 9.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有() A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) [答案] C [解析] 由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减或f(x)恒为常数,故f(0)+f(2)≥2f(1).故应选C.10.(2010·江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S′(t)的图像大致为 () [答案] A [解析] 由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减,其中恰露出一个角时变化不连续,故选A.二、填空题 11.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________. [答案] b<-1或b>2 [解析] 若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意b<-1或b>2.12.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为________. [答案] a≥1 [解析] 由已知a>在区间(1,+∞)内恒成立. 设g(x)=,则g′(x)=-<0(x>1),∴g(x)=在区间(1,+∞)内单调递减,∴g(x)<g(1),∵g(1)=1,∴<1在区间(1,+∞)内恒成立,∴a≥1.13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________. [答案](-∞,-1) [解析] 函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-1),令f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得x<,∴函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1). 14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________. [答案] [3,+∞) [解析] y′=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax<0在区间(0,2)内恒成立,即a>x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.三、解答题 15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). (1)求a、b的值; (2)讨论函数f(x)的单调性. [解析](1)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f′(1)=-12,即,解得a=1,b=-3.(2)由a=1,b=-3得 f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3) =3(x+1)(x-3). 令f′(x)>0,解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0,解得-1 当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数. 16.求证:方程x-sinx=0只有一个根x=0.[证明] 设f(x)=x-sinx,x∈(-∞,+∞),则f′(x)=1-cosx>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当x=0时,f(x)=0,∴方程x-sinx=0有唯一的根x=0.17.已知函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间. [分析] 可先由函数y=ax与y=-的单调性确定a、b的取值范围,再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间. [解析] ∵函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0.由y=ax3+bx2+5得y′=3ax2+2bx.令y′>0,得3ax2+2bx>0,∴-<x<0.∴当x∈时,函数为增函数. 令y′<0,即3ax2+2bx<0,∴x<-,或x>0.∴在,(0,+∞)上时,函数为减函数. 18.(2010·新课标全国文,21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=,求f(x)的单调区间; (2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围. [解析](1)a=时,f(x)=x(ex-1)-x2,f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令g(x)=ex-1-ax,则g′(x)=ex-a.若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时g(x)≥0,即f(x)≥0.当a>1,则当x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x∈(0,lna)时g(x)<0,即f(x)<0.综合得a的取值范围为(-∞,1].