导数的应用----单调性 典型练习

第一篇：导数的应用----单调性 典型练习

§1.3.1 利用导数判断函数的单调性

题型一 利用导数求单调区间 例

1、求下列函数的单调区间（1）f(x)3x22lnx（2）f(x)sinx(1cosx)（3）f(x)(xk)ex（4）f(x)x3

3ax1(a0)

（5）f(x)exexx[0,) 题型二 证明函数的单调性 例2 证明：函数f(x)

lnx

x

在区间(0,2)上是单调递增函数.练习1 证明：f(x)xlnx在其定义域上是增函数.求证函数yxsinxcosx在区间(32,5)内是增函数.题型三 利用导数证明不等式问题（思想方法：构造函数法）例3 已知x1，求证：xln(x1)练习3 证明不等式：lnx

2(x1)

x1

(x1)练习4 当x0时，证明：12xe2x.题型四 证明方程根的唯一性（方法同题型三）例4 求证：方程x12

sinx0只有一个跟.练习5 ：证明方程2x376x2在区间(0,2)内有唯一实根.题型五 利用导数求值域

例5 求函数yx32x2x3,x[23,1]的值域.练习6 求函数f(x)4x27

2x

在[0,1]上的单调区间及值域.题型六 利用单调性求参数的范围或求参数的值.例6 已知函数f(x)2ax1

x2，x(0,1]，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围.例7 已知函数f(x)ax3bx26x1的单调增区间为(2,3)，求a、b的值.例8 已知a(x2,x1)，b(1x,t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数.求

实数t的取值范围.练习7 已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求a的取值范围.练习8 若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数.求实数m的取值范围.练习9 设函数(x)ex

f1ax，其中a为正实数，若f(x)为R上的单调函数.求a的取值范围.练习10 设函数f(x)1x31x22ax.若f(x)在(23

3,)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.

第二篇：导数的应用单调性教学反思

（一）教学整体设计

导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路，整个教学过程，从创设情境—实例验证—揭示本质—强化应用—回顾反思，五个方面入手，层层递进，螺旋上升．

情境引入

本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入阶段，利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，第一次抽象：引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与曲线上升下降的联系；适当建系后，第二次抽象：将曲线看做是函数y=f(x)上的一段图象，那么切线斜率即为函数在该点处的导数，顺势猜想结论，感知导数正负与函数单调性之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲.合作探究

前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解.再从“形”回到 “数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．

典例应用

在典例演练，强化应用的过程中，例题1由“形”到“数”，规范了用导数研究单调性的书写，加深了对结论的理解；例题2在了解函数的性质基础上，要求学生画出三次函数的大致图象，经历由“数”到“形”的过程，并对导函数图象与原函数图象进行对比、深化理解，突显了利用导数研究函数单调性的优越性；例题3由三角函数图象很快能得出结论，解三角不等式时，学生可以画出导函数图象辅助解题，题目解完后数形结合再次画出原函数图象加以验证，并且突显了利用导数研究函数单调性的一般性．三道例题逐层推进，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和有效性，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终．

（二）教学中存在的不足

教师语言感染力度不够。一节课下来，语言起伏度较低，未能将重点知识通过起伏的语言方面传递出来。同时课堂评价语言单调，不能够起到鼓励学生的作用。作为一名新教师，教学基本功不够扎实，仍需多加练习，增加听课频率，多像优秀教师学习教学技能和技巧。

教学重难点内容的安排形式有待改善。本节重点知识在于为什么用导数研究函数的单调性，怎样用导数研究函数的单调性。怎样引导学生将导数的正负与函数单调性之间建立联系。实际上，这节课的重点，我觉得教师必须讲清楚函数在一个区间上的任一点出的导数为正时，在任一点处的切线斜率为正，函数在这个区间上的任一点处呈上升趋势，所以函数在整个区间上单调递增。但根据上课效果来看，学生并没有这样层次的理解，对于知识的认知还停留在表面，所以我提醒自己在今后的教学过程中应该加强数学知识本质的教学，让学生知其然，知其所以然。

小组讨论环节有待改善。本次课的小组讨论环节实际上是让班级学生分小组互相列举一些基本初等函数验证导数的正负和单调性的关系。但在实际教学中没有达到应该有的效果。每个学生自己单独完成了这个过程，并没有合作探究。课后我反思了这一过程，主要是和班级学生的熟悉程度不够，也是我在教学中引导过度不够自然，没有引起共鸣。通过这节课的教学，我有一个这样的疑惑，在数学教学中小组讨论，合作探究这个过程对学生的学习是否一定需要，是否一定会起到正面的效果，我觉得这是一个可以深入思考的问题。

板书设计有待改进。本节课板书不太理想，客观原因上课班级黑板不好使用，当然我对于本节课的板书设计确实准备不足，应该将情境引入部分整体思路理清楚，本节课的重点知识展示清晰。

经过这次的组内赛课，我感触颇深，也意识到自己教学技能的薄弱，对教研和教学认识的浅薄。关于教学，还有很多需要我学习的地方。不论是教研水平还是教学技能，我都急需向组内各教师好好学习，以期成为一名具有强大的语言功底、丰富的知识储备、强悍的课堂驾驭能力的优秀教师。我相信在各位同仁的指导帮助下，自己一定能够取得进步。

第三篇：《导数在函数中的应用——单调性》教学反思

本节课是一节新授课，教材所提供的信息很简单，如果直接得出结论学生也能接受。可学生只能进行简单的模仿应用，为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课。设计思路如下以便教会学生会思考解决问题。

1、首先从同学们熟悉的过山车模型入手，将实际问题转化为数学模型，提出如何刻画函数的变化趋势，引出课题。研究从学生熟悉的一次函数，二次函数入手，寻找导数和单调性的关系，用几何画板演示特殊的三次函数的图像，研究单调性和导数。在此基础上提出问题：单调性和导数到底有怎样的关系？学生通过思考、讨论、交流形成结论。也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。

2、在结论得出后，继续引导学生思考，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。

3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开始引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾呼应。

4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深刻。

5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切机会去实施，在例1的教学中，我让学生先熟练法则，再从形上分析，加深印象，这样在后面紧接的高考题中（没有给解析式），学生会迎刃而解。

为了培养学生的自主学习、自主思考的能力，激发学习兴趣，在教学中采取引导发现法，利用多媒体等手段引导学生动口、动脑、参与数学活动，发挥主观能动性，主动探索新知。让学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。但是，真正做到以学生为中心，学生100%参与，体现三维目标，培养学习能力还是比较困难。在今后的教学中，应更注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。

第四篇：函数单调性与导数教案

3.3.1函数的单调性与导数

【三维目标】

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。【教学重点难点】

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。【教

具】多媒体 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一．复习回顾

复习1：导数的几何意义

复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）

问题提出：判断y=x的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）2那么如何判断f(x)sinxx,x0,;的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数

二．新知探究

探究任务一：函数单调性与其导数的关系：

问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t6.5t10的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度V(t)h'(t)9.8t6.5h的图像.通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现h(t)和h'(t)这两个函数图像有什么联系吗?

启发:函数h'(t)在(0,a)上是大于0，函数h(t)在(0,a)上有何特点呢？函数h'(t)在(a，b)上是小于0，那么函数h(t)在(a,b)上有何特点呢？

问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？

问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？（形成初步结论，板书结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减．）

问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？

探究任务二：f'x0与函数单调性的关系：

问题5：若函数fx的导数f'x0，那么fx会是一个什么函数呢？（板书：特别的，如果）f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常值函数．问题6：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？

例1:已知某函数的导函数的下列信息:

时，f'(x)0;当1x4时，f'(x)0;当x4,或x1时，f'(x)0.试画出函数fx图像的大致形状.当x4,或x

1跟踪练习

1、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是()

问题7：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？

例3：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:（1）f(x)sinxx,x0,;（2）f(x)2x33x224x1;（3）f(x)x33x;（4）f(x)x22x3;（5）f(x)＝x＋ln x

（对于（2）让学生课后探究尝试单调性的定义法和图象法）

问:你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法?你能总结出利用导数求单调区间的步骤吗？（简单易行）

（板书“求解函数yf(x)单调区间的步骤：

（1）确定函数yf(x)的定义域；（2）求导数y'f'(x)；（3）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．

问题8：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？下面我们就来看一下下面这个问题

例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

分析：

在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：1B,2A,3D,4C

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

如右图, 函数yf(x)的图象，在(0,b)或(a,0)内的图象“陡峭”, 在(b,)或(,a)内的图象平缓.（跟踪练习）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()

三，课堂练习

1．确定下列函数的单调区间

(1)y=ex

(2)y=3x－x3

(3)f(x)3x22lnx x

四，课堂小结

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.五，作业设计 课本98页，A组1，2

第五篇：浅谈导数在求解与函数单调性有关问题中的应用

浅谈导数在求解与函数单调性有关问题中的应用

函数单调性是高中阶段函数的一个最基本的性质，导数为我们提供了一套新的理论和方法，只通过简单的求导和解相关的不等式就可以判断出函数的单调性，进而更深入地解决问题，比如最值问题等。那么，怎样用导数解决有关单调性的问题呢？

一、导数与函数单调性的关系

1.定义

设函数y=f（x）在某个区间（a，b）内可导，如果f'（x）>0，那么y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f'（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。

2.说明

（1）如果函数y=f（x）在区间I内恒有f'（x）=0，则y=（x）在区间I内为常函数。

（2）f'（x）>0是f（x）递增的充分不必要条件，如y=x3在（-∞，+∞）上并不是都有f'（x）>0，有一个点例外，即x=0时f'（x）=0，同样f'（x）<0是f（x）递减的充分不必要条件。

（3）设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果 f（x）在该区间上单调递增（或单调递减），则先列不等式f'（x）≥0（或≤0），再去验证f'（x）=0时是否恒成立。

（4）利用导数证明不等式时，往往要先构造函数，再利用导数判断其单调性求解。

（5）利用导数求函数单调区间的三个步骤：

①确定函数的定义域。

②求函数f（x）的导数f'（x）。

③令f'（x）>0解不等式，得x的范围就是递增区间；令f'（x）<0解不等式，得x的范围就是递减区间。

二、典型例题

1.判断单调性

例：讨论函数的单调性。

题型分析：求出y'，在函数定义域内讨论y'的符号，从而确定函数的单调性。

解题归纳：在判断函数单调性时，在某个区间内若出现个别的点使f'（x）=0，则不影响包含该点的这个区间上函数的单调性，只有在某个区间内恒有f'（x）=0，才能判定f（x）在该区间内为常函数。

2.证明单调性

例：求证函数f（x）=在区间（0，2）上是单调递增函数。

题型分析：利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质就是判断或证明不等式f'（x）>0（f'（x）<0）在给定区间上恒成立，一般步骤为：求导数f'（x），判断f'（x）的符号，给出单调性结论。

解题归纳：判断导数符号时应注意利用不等式的关系。

3.已知单调性求参数的范围

例：设函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R在区间（-，-）内是减函数，求a的取值范围。

题型分析：函数解析式中含有参数，已知单调性，求参数的取值范围，解答本题可先求函数的导数，以导数符号确定参数的取值范围。

解：因为函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，所以当x∈（-，-）时，f'（x）≤0恒成立，结合二次函数图象可以知道f'（-）≥0且f'（-）≤0，解得a≥2。

经验证，当a=2时也成立，所以a≥2。

解题归纳：本题一定要注意最后的验证，了解导数符号和单调性的非充要关系，做到知识掌握的准确性和做题逻辑的严密性。

变式：若函数f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在区间（1，4）上是减函数，在区间（6，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围。

题型分析：本变式给出了两个单调区间，应该得出两个导数不等式，再求参数范围。

解：f'（x）=x2-ax+（a-1），令f'（x）=0得x=1或x=-1，结合函数图象可知4≤a-1≤6，故a∈[5，7]。

解题归纳：本题也可转化为f'（x）≤0，x∈（1，4）恒成立且 f'（x）≥0，x∈（6，+∞）恒成立，再验证等号的方法来求解。

4.利用单调性证明不等式

例：求证当x>0时，ln（x+1）>x-x2。

题型分析：利用导数证明不等式的基本方法是通过移项或者变形后再移项来构造一个新的函数，利用新函数单调性再求最值的方法来证明。

证明：设f（x）=ln（x+1）-（x-x2）=ln（x+1）-x+x2

函数的定义域为（-1，+∞）

则f'（x）=-1+x=，当x∈（-1，+∞）时，f'（x）>0

所以，f（x）在（-1，+∞）上是增函数。

所以，当x>0时，f（x）>f（0）=0

即当x>0时，ln（x+1）>x-x2

解题归纳：通过考查函数的单调性证明不等式是不等式证明的一种常用方法，也是证明不等式的一种巧妙方法。

总之，导数在求解与单调性有关问题中有广泛应用，在以后的工作和学习中我将不断探索和积累。

（责任编辑冯璐）