第一篇：奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场
(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.案例探究
［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0 ∵0 ∴x2－x1<1－x2x1，∴0<<1,由题意知f()<0， 即f(x2) 结合0 本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)下列函数中的奇函数是（） A.f(x)=(x－1) B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2.(★★★★★)函数f(x)=的图象（） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称 二、填空题 3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0 5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+(a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证： (1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且 f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案 难点磁场 (1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1 (2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)= 由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数 证法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x－1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练 一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C 2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C 二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－1 4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0，∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0） 三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, >1且>0，∴>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴>0，于是f(x2)－f(x1)=+ >0 ∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则>0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=，设1＜x1＜x2＜+∞,则.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决） 7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)= =－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0，∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0，∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式［flog2(x2+5x+4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0 当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>0 4－2 综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： (1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于（） A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 2.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是（） A.(2，3) B.(3，) C.(2，4) D.(－2，3) 二、填空题 3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值； (2)求f(x)的反函数f－1(x); (3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式； (2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案 难点磁场 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ① 或log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集为 {x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0} 歼灭难点训练 一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B 2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴ ∴a∈(2,3).答案：A 二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0 ∴x∈(－3,0)∪(0,3) 答案：(－3，0）∪(0，3） 4.解析：∵f(x)为R上的奇函数 ∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－> －>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1) 三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)=(x∈R)f－-1(x)=log2(－1＜x＜1.(3)由log2>log2log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立，∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则 消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由 且x≠0,故0 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： (1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于（）A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 2.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是（）A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3) 二、填空题 3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值； (2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(－ +cos2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式； (2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案 难点磁场 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ① 或log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤ 得 ≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集为 {x|x≤－5或 ≤x≤－4或－1＜x≤ 或x≥0} 歼灭难点训练 一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B 2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴ ∴a∈(2 ,3).答案：A 二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0 ∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数 ∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ > － >－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1) 三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)=(x∈R)f－-1(x)=log2(－1＜x＜1.(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立，∴m∈［ ,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2，当且仅当x= 时等号成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜ 得 ＜ 即 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得 ＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则 消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2),(1－ ,－2)关于(1，0)对称. 函数性质 一、单调性 1.定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，若都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在．．区间D上单调递增，若都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间D上单调递减。例1.证明fxx1在1,上单调递增 x 总结： 1）用定义证明单调性的步骤：取值----作差----变形-----定号-----判断 2）增+增=增 减+减=减 -增=减 1/增=减 3）一次函数ykxb的单调性 例1.判断函数y2.复合函数分析法 设yf(u)，ug(x)x[a,b]，u[m,n]都是单调函数，则yf[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减 1的增减性 x1性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： ug(x) yf(u) yf[g(x)] 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 例1.判断函数ylog2(x1)在定义域内的单调性 一、函数单调性的应用 1.比较大小 例1.若f(x)在R上单调递增，且f2a1f(a3)，求a的取值范围 3例2.已知函数f(x)在0,上是减函数，试比较f()与f(a2a1)的大小 42.利用单调性求最值 1例1.求函数yx1的最小值 x x22xa1例2.已知函数f(x),x1,.当a时，求函数f(x)的最小值 x2 11例3.若函数f(x)的值域为,3，求函数g(x)f(x)的值域 2f(x) 练习：1）求函数yx21x在0,的最大值 112）若函数f(x)的值域为,3，求函数g(x)f(x)的值域 2f(x) 3.求复合函数的单调区间 1)求定义域 2)判断增减区间 3)求交集 12例1.求函数yx2x3的单调区间 2练习：求函数yx22x8的单调增区间 4.求参数取值范围 例1.函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，求a的取值范围 二、奇偶性 1.判断奇偶性的前提条件：定义域关于原点对称 例1.奇函数f(x)定义域是(t,2t3)，则t .2.奇函数的定义：对于函数f(x)，其定义域D关于原点对称，如果xD,恒有f(x)f(x)，那么函数f(x)为奇函数。 3.奇函数的性质： 1）图像关于原点对称 2）在圆点左右单调性相同 3）若0在定义域内，则必有f(0)0 1奇函数的例子：yx,yx3,yx,ysinx x4.偶函数的定义：对于函数f(x)，其定义域D关于原点对称，如果xD,恒有f(x)f(x)，那么函数f(x)为偶函数。 5.偶函数的性质： 1）图像关于y轴对称 2）在圆点左右单调性相反 偶函数的例子：yx2,yx,ycosx 6.结论：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 四、常见题型： 1.函数奇偶性的判定 4x2例1.判断函数f(x)的奇偶性 x22 例2.判断f(x)(x2) 2x的奇偶性 2x2.奇偶性的应用 例1.已知f(x)x5ax3bx8,f(2)10,则f(2)_______ 例2.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x(x2),求x0时，f(x)的解析式 例3.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x) 3.函数单调性与奇偶性的综合应用 例1.设偶函数f(x)在[0,)为减函数，则不等式f(x)f(2x1)的解集是。 例2.已知函数f(x)是定义在实数集R上的函数，若f(x)在区间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，切f(3)f(1)，则（） A.f(1)f(3)B.f(0)f(1)C.f(1)f(1)D.f(3)f(5)，例3.函数f(x)axb121,1是定义在上的奇函数，且 f()2251x1，求f(x),g(x)x11）求f(x)的解析式 2）判断函数f(x)在1,1上的单调性 3）解不等式f(t1)f(t)0 对数函数的单调性、奇偶性的运用 张军丽 一、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小： (1)log23.4，log28.5 (2)log0.31.8，log0.32.7 (3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1) 思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4 解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4 解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4 (2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7； (3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1 当0 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则 所以，b1 所以，b1>b2，即举一反三： 【变式1】（2011 天津理 7）已知 A． 解析：另 B．，C．，则（） D．，令b2=loga5.9，则 .当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9 当0 又∵为单调递增函数，∴ 2.证明函数 故选C.上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设 举一反三： 【变式1】已知f(logax)=的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1 则 又∵y=log2x在即f(x1) 上是增函数.上是增函数 ∴函数f(x)=log2(x2+1)在∵ 0 解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4，∴ y≥ =-2，即函数的值域为[-2，+∞.(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即 再由：函数y=-1 二、函数的奇偶性 4.判断下列函数的奇偶性.(1) (2) .t(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由 所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称 又 所以函数 是奇函数； 总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由 以函数的定义域为R关于原点对称 即f(-x)=-f(x)；所以函数 所 又 .总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用 5．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现： 使u能取遍一切正数的条件是 .的解集为R，解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R； 当a≠0时，有∴ a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a>1.a=0或 0≤a≤1，∴ a的取值范围为0≤a≤1.6．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域； (3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕 ∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).，又函数y=log2x 由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+在(0，+∞)上是增函数，∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0 (1+)-(1+)=16(+8a2>0，)=16·+8a1>0，a1-a2<0，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，∴ 1<1+ <1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2) ∴ S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，1 一道函数的奇偶性与单调性定义证明题 ax1f(x)x(a1).a1 ax11ax xf(x)，所以f(x)为奇函数。（1）f(x)xa1a1 ax1(ax1)221（2）f(x)x，a1ax1ax1 因为a0，所以a11，所以0 所以f(x)的值域为(1,1).（3）任取x1,x2R，且x1x2，则 xx22，ax1 ax11ax2122f(x1)f(x2)x1x2x2x1 a1a1a1a1 2(ax11)2(ax21)2(ax1ax2) x1(ax11)(ax21)(a1)(ax21) xx因为a1，x1x2，所以a1a2，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) 所以f(x)为R上的增函数。 函数的单调性，函数的奇偶性，反函数 [本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。 (1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1 (2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式； (3)判断f(x1)-f(x2)的正、负； (4)结论 理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。 (1)函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。 (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。 f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。 由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。 (3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。 (4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。 (5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。 (6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。 即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)= [f(x)+f(-x)]。 理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。 (1)由原函数y=f(x)求出它的值域； (2)由原函数y=f(x)反解出x=f- 1(y)； (3)交换x，y改写成y=f-1(x)； (4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。 [例题分析] 例1．证明函数f(x)= 在定义域上的单调性。 [分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。 函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1 任取x1 == 当-∞ ∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。 当0≤x1 >0。 ∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。 例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。 [分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1 由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+ =[f(x1)-f(x2)]·[1-] ∵ 0≤x1 ∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。 例3．证明函数f(x)=的奇偶性。 [分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。 由 函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。 ∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)= =-f(x)，∴ f(x)是奇函数。 例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明 f(x)的奇偶性。 [分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。 令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。 例5．已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。 (1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1)上的单调性。 [分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即 =-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。 ∵ f(2)＜3，∴<3。将2b=a+1代入，∴ <3，解出-1 (2)f(x)==x+。任取0 f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-) ∵ 0 例6．证明函数f(x)= (x≠)的图象关于直线y=x对称。 [分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。 ∴ f(x)的值域为{y|y≠，y∈R}。 由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。 ∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)= (x≠)，显然f(x)与f-1(x)是同一函数，所求f(x)的图象关于直线y=x对称。 [参考练习] 1．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。 A、增函数且是奇函数 B、增函数且是偶函数 C、减函数且是奇函数 D、减函数且是偶函数 2．已知y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是（）。 A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2) 3．若点(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（）。 A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7 4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（）。 A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0 5．设f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数且是单调减函数，求解关于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。 [参考答案]： 1.A 2.D 3.D 4.D 5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函数，∴ f(1-x) {x|0第二篇：单调性奇偶性教案
第三篇：对数函数的单调性、奇偶性的运用
第四篇：一道函数的奇偶性与单调性定义证明题
第五篇：7函数的单调性函数的奇偶性反函数 教案
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