学案15函数的奇偶性、单调性习题课（合集五篇）

第一篇：学案15函数的奇偶性、单调性习题课

滕州一中东校高一数学学案 滕州一中东校高一数学学案 制作人：韩霞

制作时间：2007-9-16

二、课堂听评：你能掌握要领,提高能力吗？ 例

1、函数奇偶性的判定

（1）f(x)= | x+2 |-| x-2 |

2f(x)4x2x24

例

2、已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在0，是增函数。证明y=f(x)在，0上也是增函数。

例

3、若y=f(x)是奇函数,定义域为R,当x>0时,f(x)=x2＋2x, 求f(x)的表达式

世界上最伟大的事业，都是一点一滴完成的 滕州一中东校高一数学学案 滕州一中东校高一数学学案 制作人：韩霞

制作时间：2007-9-16

5．已知f(x)ax2bx3ab是偶函数,且其定义域为[a1,2a],则a__ ,b____.6、已知函数y=f(x)在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数。若f(1a)f(1a2)0,求实数a的取值范围。

四、学后反思：

五、课下练习：走出教材,迁移发散,你的能力提高了吗？

1.已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x,则在R上f(x)的表达式为（）A.x(x2)B.x(x2)C.x(x2)D.x(x2)

2、函数f(x)=(a－1)x2＋2ax＋3为偶函数，那么f(x)在(－5, －2)上是（）

A．增函数

B．减函数

C．先减后增

D．先增后减

3、若函数f(x)为定义在区间[－6, 6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是（）

A．f(－1)

B．f(0)

C．f(3)>f(2)

D．f(2)>f(3)

4、f(x)是定义在,0(0,)上的奇函数，且在,0上是增函数，若f(-3)=0,则不等式x0的解集是（）f(x)A.(3,0)(0,3)B.(,3)(0,3)C.(3,0)(3,)D.(,3)(3,).5.已知函数fx对一切x,y,都有fxyfxfy.1求证fx是奇函数2若f3a,试用a来表示f12

课下练习答案：BAAA 5.证明：令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)所以f(-x)=-f(x)所以f(x)是奇函数f(12)=-4a 世界上最伟大的事业，都是一点一滴完成的

第二篇：学案15函数的奇偶性、单调性习题课作业

学案15函数的奇偶性和单调性习题课作业

班级__________姓名__________学号___________成绩_________ A组（基础题

必做）

1、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在[-7,-3]上是（）

A．增函数且最小值为-5

B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5

D．减函数且最大值为-5 2．若f(x)是偶函数,其定义域为R,且在[0,+∞）上是减函数,则f(-3/4)与f(a2-a+1)的大小关系是______________________.x1x,3.判定函数的奇偶性 fxx1x.

B组(提高题

有能力的完成)1．已知函数y＝f(x)是偶函数(x∈R), 在x<0时,y是增函数,对x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|,则（）。

A．f(－x1)>f(－x2)

B．f(－x1)

C．f(－x1)＝f(－x2)

D．以上都不对

2、设f(x)是R上的奇函数,且当x[0,)时f(x)=x(1x), 求f(x)的解析式

C 组

高考题尝试

6、(2006年山东理6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为（）

A.-1 B.0 C.1 D.2

第三篇：单调性奇偶性教案

函数性质

一、单调性

1.定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，若都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在．．区间D上单调递增，若都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间D上单调递减。例1.证明fxx1在1,上单调递增 x

总结：

1）用定义证明单调性的步骤：取值----作差----变形-----定号-----判断 2）增+增=增

减+减=减

-增=减

1/增=减 3）一次函数ykxb的单调性 例1.判断函数y2.复合函数分析法

设yf(u)，ug(x)x[a,b]，u[m,n]都是单调函数，则yf[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减

1的增减性 x1性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

ug(x)

yf(u)

yf[g(x)]

增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增

例1.判断函数ylog2(x1)在定义域内的单调性

一、函数单调性的应用 1.比较大小

例1.若f(x)在R上单调递增，且f2a1f(a3)，求a的取值范围

3例2.已知函数f(x)在0,上是减函数，试比较f()与f(a2a1)的大小

42.利用单调性求最值

1例1.求函数yx1的最小值

x

x22xa1例2.已知函数f(x),x1,.当a时，求函数f(x)的最小值

x2

11例3.若函数f(x)的值域为,3，求函数g(x)f(x)的值域

2f(x)

练习：1）求函数yx21x在0,的最大值

112）若函数f(x)的值域为,3，求函数g(x)f(x)的值域

2f(x)

3.求复合函数的单调区间 1)求定义域

2)判断增减区间 3)求交集

12例1.求函数yx2x3的单调区间

2练习：求函数yx22x8的单调增区间

4.求参数取值范围

例1.函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，求a的取值范围

二、奇偶性

1.判断奇偶性的前提条件：定义域关于原点对称 例1.奇函数f(x)定义域是(t,2t3)，则t

.2.奇函数的定义：对于函数f(x)，其定义域D关于原点对称，如果xD,恒有f(x)f(x)，那么函数f(x)为奇函数。

3.奇函数的性质： 1）图像关于原点对称 2）在圆点左右单调性相同

3）若0在定义域内，则必有f(0)0

1奇函数的例子：yx,yx3,yx,ysinx

x4.偶函数的定义：对于函数f(x)，其定义域D关于原点对称，如果xD,恒有f(x)f(x)，那么函数f(x)为偶函数。

5.偶函数的性质： 1）图像关于y轴对称 2）在圆点左右单调性相反

偶函数的例子：yx2,yx,ycosx

6.结论：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

四、常见题型： 1.函数奇偶性的判定

4x2例1.判断函数f(x)的奇偶性

x22

例2.判断f(x)(x2)

2x的奇偶性 2x2.奇偶性的应用

例1.已知f(x)x5ax3bx8,f(2)10,则f(2)_______

例2.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x(x2),求x0时，f(x)的解析式

例3.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)

3.函数单调性与奇偶性的综合应用

例1.设偶函数f(x)在[0,)为减函数，则不等式f(x)f(2x1)的解集是。

例2.已知函数f(x)是定义在实数集R上的函数，若f(x)在区间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，切f(3)f(1)，则（）

A.f(1)f(3)B.f(0)f(1)C.f(1)f(1)D.f(3)f(5)，例3.函数f(x)axb121,1是定义在上的奇函数，且 f()2251x1，求f(x),g(x)x11）求f(x)的解析式

2）判断函数f(x)在1,1上的单调性 3）解不等式f(t1)f(t)0

第四篇：函数单调性

函数单调性概念教学的三个关键点 ──兼谈《函数单调性》的教学设计

北京教育学院宣武分院 彭 林

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。

关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么？

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。

就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。

第二阶段，形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。

第三阶段，抽象概括阶段（高中必修1），能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。

第四阶段，认识提升阶段（高中选修系列1、2），要求学生能初步认识导数与单调性的联系。

基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。

让学生分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．

关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？

对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。

所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？

从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考？如何进行数学的思考？

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：

（1）“x增大”如何用符号表示；同样，“f(x)增大”如何用符号表示。（2）“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战！

因此，在教学中可以提出如下问题2： 如何从解析式的角度说明

在上为增函数？

这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.对于问题2，学生错误的回答主要有两种：

①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为函数． ,所以

在上为增②可以用0，1，2，3，4，5验证： 在所以函数上是增函数。

对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的：自变量大时，函数值也大，才可以证明它是增函数，那么怎么办？如果有的学生提出：引入非负实数a，只要证明

就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答: 任意取在,有为增函数． ,即，所以这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识.在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。

教学中，教师引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.同时设计了一组判断题：

判断题：

①②若函数③若函数满足f(2)

和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．④因为函数减函数.在上都是减函数，所以在上是通过对判断题的讨论，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

从而加深学生对定义的理解

北京4中常规备课

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为

为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

①．

②若函数

③若函数 在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

在区间(1,3)上为增函

．

④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴

∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究：(1)证明：函数

在区间

上是增函数的充要条件是对任意的上是增函数．，且

有．

(2)研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据． 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．

第五篇：7函数的单调性函数的奇偶性反函数 教案

函数的单调性，函数的奇偶性，反函数

[本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。

(1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式；

(3)判断f(x1)-f(x2)的正、负；

(4)结论

理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。

(1)函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。

(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。

f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。

由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。

(3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。

(4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。

(5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。

(6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。

即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=

[f(x)+f(-x)]。

理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。

(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；

(2)由原函数y=f(x)反解出x=f-

1(y)；

(3)交换x，y改写成y=f-1(x)；

(4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。

[例题分析]

例1．证明函数f(x)=

在定义域上的单调性。

[分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。

函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1

任取x1

==

当-∞0。

∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。

当0≤x10。

>0。

∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。

例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。

[分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1

由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+

=[f(x1)-f(x2)]·[1-]

∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。

∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。

例3．证明函数f(x)=的奇偶性。

[分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。

由 函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。

∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)=

=-f(x)，∴ f(x)是奇函数。

例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明

f(x)的奇偶性。

[分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。

令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。

例5．已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。

(1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1)上的单调性。

[分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即

=-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。

∵ f(2)＜3，∴<3。将2b=a+1代入，∴ <3，解出-1

(2)f(x)==x+。任取0

f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)

∵ 01，1-<0，∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1)上的单调递减函数。

例6．证明函数f(x)=

(x≠)的图象关于直线y=x对称。

[分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。

∴ f(x)的值域为{y|y≠，y∈R}。

由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。

∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)=

(x≠)，显然f(x)与f-1(x)是同一函数，所求f(x)的图象关于直线y=x对称。

[参考练习]

1．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。

A、增函数且是奇函数

B、增函数且是偶函数

C、减函数且是奇函数

D、减函数且是偶函数

2．已知y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是（）。

A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2)

3．若点(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（）。

A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7

4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（）。

A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0

5．设f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数且是单调减函数，求解关于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

[参考答案]：

1.A 2.D 3.D 4.D

5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函数，∴ f(1-x)

{x|0