第一篇:对数函数的单调性、奇偶性的运用
对数函数的单调性、奇偶性的运用
张军丽
一、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以:①比较大小;②解不等式;③判断单调性;④求单调区间;⑤求值域和最值.要求同学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小:
(1)log23.4,log28.5
(2)log0.31.8,log0.32.7
(3)loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1)
思路点拨:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1:画出对数函数y=log2x的图象,横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方,所以,log23.4 解法2:由函数y=log2x在R+上是单调增函数,且3.4<8.5,所以log23.4 解法3:直接用计算器计算得:log23.4≈1.8,log28.5≈3.1,所以log23.4 (2)与第(1)小题类似,log0.3x在R+上是单调减函数,且1.8<2.7,所以log0.31.8>log0.32.7; (3)注:底数是常数,但要分类讨论a的范围,再由函数单调性判断大小.解法1:当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,且5.1<5.9,所以,loga5.1 当0loga5.9 解法2:转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小,令b1=loga5.1,则 所以,b1 所以,b1>b2,即举一反三: 【变式1】(2011 天津理 7)已知 A. 解析:另 B.,C.,则() D.,令b2=loga5.9,则 .当a>1时,y=ax在R上是增函数,且5.1<5.9 当0 又∵为单调递增函数,∴ 2.证明函数 故选C.上是增函数.思路点拨:此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明:设 举一反三: 【变式1】已知f(logax)=的单调性.解:设t=logax(x∈R+,t∈R).当a>1时,t=logax为增函数,若t1 则 又∵y=log2x在即f(x1) 上是增函数.上是增函数 ∴函数f(x)=log2(x2+1)在∵ 0 解:设t=-x2+2x+3,则t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4,∴ y≥ =-2,即函数的值域为[-2,+∞.(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即 再由:函数y=-1 二、函数的奇偶性 4.判断下列函数的奇偶性.(1) (2) .t(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为[1,3.(1)思路点拨:首先要注意定义域的考查,然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解:由 所以函数的定义域为:(-1,1)关于原点对称 又 所以函数 是奇函数; 总结升华:此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的恒等变形.(2)解:由 以函数的定义域为R关于原点对称 即f(-x)=-f(x);所以函数 所 又 .总结升华:此题定义域的确定可能稍有困难,函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,要求掌握.三、对数函数性质的综合应用 5.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.思路点拨:与求函数定义域、值域的常规问题相比,本题属非常规问题,关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R,即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的,因为这里要求f(x)取遍一切实数,即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数,考察此函数的图象的各种情况,如图,我们会发现: 使u能取遍一切正数的条件是 .的解集为R,解:(1)f(x)的定义域为R,即:关于x的不等式ax2+2x+1>0 当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R; 当a≠0时,有∴ a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R,即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a>1.a=0或 0≤a≤1,∴ a的取值范围为0≤a≤1.6.已知函数h(x)=2x(x∈R),它的反函数记作g(x),A、B、C三点在函数g(x)的图象上,它们的横坐标分别为a,a+4,a+8(a>1),记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式;(2)求函数f(a)的值域; (3)判断函数S=f(a)的单调性,并予以证明;(4)若S>2,求a的取值范围.解:(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4)),C(a+8,log2(a+8))(a>1),∴A,C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕 ∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).,又函数y=log2x 由于a>1时,a2+8a>9,∴1<1+在(0,+∞)上是增函数,∴ 0<2log2(1+)<2log2,即0 (1+)-(1+)=16(+8a2>0,)=16·+8a1>0,a1-a2<0,由a1>1,a2>1,且a2>a1,∴ a1+a2+8>0,∴ 1<1+ <1+,再由函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,于是可得f(a1)>f(a2) ∴ S=f(a)在(1,+∞)上是减函数.(4)由S>2,即得,1 函数性质 一、单调性 1.定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,若都有f(x1)f(x2),那么就说函数在..区间D上单调递增,若都有f(x1)f(x2),那么就说函数在区间D上单调递减。例1.证明fxx1在1,上单调递增 x 总结: 1)用定义证明单调性的步骤:取值----作差----变形-----定号-----判断 2)增+增=增 减+减=减 -增=减 1/增=减 3)一次函数ykxb的单调性 例1.判断函数y2.复合函数分析法 设yf(u),ug(x)x[a,b],u[m,n]都是单调函数,则yf[g(x)]在[a,b]上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减 1的增减性 x1性相同,复合函数为增函数,“里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。如下表: ug(x) yf(u) yf[g(x)] 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 例1.判断函数ylog2(x1)在定义域内的单调性 一、函数单调性的应用 1.比较大小 例1.若f(x)在R上单调递增,且f2a1f(a3),求a的取值范围 3例2.已知函数f(x)在0,上是减函数,试比较f()与f(a2a1)的大小 42.利用单调性求最值 1例1.求函数yx1的最小值 x x22xa1例2.已知函数f(x),x1,.当a时,求函数f(x)的最小值 x2 11例3.若函数f(x)的值域为,3,求函数g(x)f(x)的值域 2f(x) 练习:1)求函数yx21x在0,的最大值 112)若函数f(x)的值域为,3,求函数g(x)f(x)的值域 2f(x) 3.求复合函数的单调区间 1)求定义域 2)判断增减区间 3)求交集 12例1.求函数yx2x3的单调区间 2练习:求函数yx22x8的单调增区间 4.求参数取值范围 例1.函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调,求a的取值范围 二、奇偶性 1.判断奇偶性的前提条件:定义域关于原点对称 例1.奇函数f(x)定义域是(t,2t3),则t .2.奇函数的定义:对于函数f(x),其定义域D关于原点对称,如果xD,恒有f(x)f(x),那么函数f(x)为奇函数。 3.奇函数的性质: 1)图像关于原点对称 2)在圆点左右单调性相同 3)若0在定义域内,则必有f(0)0 1奇函数的例子:yx,yx3,yx,ysinx x4.偶函数的定义:对于函数f(x),其定义域D关于原点对称,如果xD,恒有f(x)f(x),那么函数f(x)为偶函数。 5.偶函数的性质: 1)图像关于y轴对称 2)在圆点左右单调性相反 偶函数的例子:yx2,yx,ycosx 6.结论:奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇 四、常见题型: 1.函数奇偶性的判定 4x2例1.判断函数f(x)的奇偶性 x22 例2.判断f(x)(x2) 2x的奇偶性 2x2.奇偶性的应用 例1.已知f(x)x5ax3bx8,f(2)10,则f(2)_______ 例2.已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)x(x2),求x0时,f(x)的解析式 例3.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)g(x) 3.函数单调性与奇偶性的综合应用 例1.设偶函数f(x)在[0,)为减函数,则不等式f(x)f(2x1)的解集是。 例2.已知函数f(x)是定义在实数集R上的函数,若f(x)在区间5,5上是奇函数,在区间0,5上是单调函数,切f(3)f(1),则() A.f(1)f(3)B.f(0)f(1)C.f(1)f(1)D.f(3)f(5),例3.函数f(x)axb121,1是定义在上的奇函数,且 f()2251x1,求f(x),g(x)x11)求f(x)的解析式 2)判断函数f(x)在1,1上的单调性 3)解不等式f(t1)f(t)0 奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数.案例探究 [例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0 (1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析:本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.技巧与方法:对于(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2),判定的范围是焦点.证明:(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.令0 ∵0 ∴x2-x1<1-x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0, 即f(x2) 结合0 本难点所涉及的问题及解决方法主要有: (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性.若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性.同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的“磁场”及“训练”认真体会,用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于:既把握复合过程,又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目,下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)下列函数中的奇函数是() A.f(x)=(x-1) B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2.(★★★★★)函数f(x)=的图象() A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称 二、填空题 3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数,则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0 5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+(a>1).(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1,+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足:(i)f(x1-x2)=;(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证: (1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数,且有一个周期是4a.8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-)=0,当x>-时,f(x)>0.(1)求证:f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.参考答案 难点磁场 (1)解:依题意,对一切x∈R,有f(x)=f(-x),即+aex.整理,得(a-)(ex-)=0.因此,有a-=0,即a2=1,又a>0,∴a=1 (2)证法一:设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)= 由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1-e<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数 证法二:由f(x)=ex+e-x,得f′(x)=ex-e-x=e-x·(e2x-1).当x∈(0,+∞)时,e-x>0,e2x-1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.歼灭难点训练 一、1.解析:f(-x)= =-f(x),故f(x)为奇函数.答案:C 2.解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称.答案:C 二、3.解析:令t=|x+1|,则t在(-∞,-1上递减,又y=f(x)在R上单调递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1上递减.答案:(-∞,-1 4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x,∴b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞单调递增,故a>0.又知0<x1<x,得x1+x2>0,∴b=-a(x1+x2)<0.答案:(-∞,0) 三、5.证明:(1)设-1<x1<x2<+∞,则x2-x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴>0,于是f(x2)-f(x1)=+ >0 ∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数.(2)证法一:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则且由0<<1得0<-<1,即<x0<2与x0<0矛盾,故f(x)=0没有负数根.证法二:设存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-1<x0<0,则<-2,<1,∴f(x0)<-1与f(x0)=0矛盾,若x0<-1,则>0, >0,∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.6.证明:∵x≠0,∴f(x)=,设1<x1<x2<+∞,则.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决) 7.证明:(1)不妨令x=x1-x2,则f(-x)=f(x2-x1)= =-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数.(2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f[x-(-a)]=.∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1)证明:设x1<x2,则x2-x1->-,由题意f(x2-x1-)>0,∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-)-1=f[(x2-x1)-]>0,∴f(x)是单调递增函数.(2)解:f(x)=2x+1.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识.●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,解不等式[flog2(x2+5x+4)]≥0. ●案例探究 [例1]已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,设不等式解集为A,B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目.知识依托:主要依据函数的性质去解决问题.错解分析:题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域.技巧与方法:借助奇偶性脱去“f”号,转化为xcos不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值.解:由且x≠0,故0 当0≤≤1时,即0≤m≤2时,g(m)=-+2m-2>0 4-2 综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m>4-2.●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: (1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于() A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 2.(★★★★)已知定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0,则a的取值范围是() A.(2,3) B.(3,) C.(2,4) D.(-2,3) 二、填空题 3.(★★★★)若f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f(x+2)=-f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函数,(1)求a的值; (2)求f(x)的反函数f-1(x); (3)对任意给定的k∈R+,解不等式f-1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(-∞,4]上的减函数f(x)满足f(m-sinx)≤f(-+cos2x)对任意x∈R都成立,求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式; (2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.参考答案 难点磁场 解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为f[log2(x2+5x+4)]≥f(2).又∵f(x)为偶函数,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0 ∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ① 或log2(x2+5x+4)≤-2 ② 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤-5或x≥0 ③ 由②得0<x2+5x+4≤得≤x<-4或-1<x≤ ④ 由③④得原不等式的解集为 {x|x≤-5或≤x≤-4或-1<x≤或x≥0} 歼灭难点训练 一、1.解析:f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)= f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案:B 2.解析:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0.∴f(a-3)<f(a2-9).∴ ∴a∈(2,3).答案:A 二、3.解析:由题意可知:xf(x)<0 ∴x∈(-3,0)∪(0,3) 答案:(-3,0)∪(0,3) 4.解析:∵f(x)为R上的奇函数 ∴f()=-f(-),f()=-f(-),f(1)=-f(-1),又f(x)在(-1,0)上是增函数且-> ->-1.∴f(-)>f(-)>f(-1),∴f()<f()<f(1).答案:f()<f()<f(1) 三、5.解:函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,设x1<x2<0,因为f(x)是偶函数,所以 f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又已知f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是有f(-x1)<f(-x2),即f(x1)<f(x2),由此可知,函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.6.解:(1)a=1.(2)f(x)=(x∈R)f--1(x)=log2(-1<x<1.(3)由log2>log2log2(1-x)<log2k,∴当0<k<2时,不等式解集为{x|1-k<x<1;当k≥2时,不等式解集为{x|-1<x<1.7.解:,对x∈R恒成立,∴m∈[,3]∪{}.8.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2,当且仅当x=时等号成立,于是2=2,∴a=b2,由f(1)<得<即<,∴2b2-5b+2<0,解得<b<2,又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)图象上,则 消去y0得x02-2x0-1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1-,-2)关于(1,0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识.●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0. ●案例探究 [例1]已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,设不等式解集为A,B=A∪{x|1≤x≤ },求函数g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目.知识依托:主要依据函数的性质去解决问题.错解分析:题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域.技巧与方法:借助奇偶性脱去“f”号,转化为xcos不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值.解:由 且x≠0,故0 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: (1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于()A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 2.(★★★★)已知定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0,则a的取值范围是()A.(2,3) B.(3,)C.(2,4) D.(-2,3) 二、填空题 3.(★★★★)若f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f(x+2)=-f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函数,(1)求a的值; (2)求f(x)的反函数f-1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f-1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(-∞,4]上的减函数f(x)满足f(m-sinx)≤f(- +cos2x)对任意x∈R都成立,求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式; (2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.参考答案 难点磁场 解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为f[log2(x2+5x+4)]≥f(2).又∵f(x)为偶函数,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0 ∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ① 或log2(x2+5x+4)≤-2 ② 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤-5或x≥0 ③ 由②得0<x2+5x+4≤ 得 ≤x<-4或-1<x≤ ④ 由③④得原不等式的解集为 {x|x≤-5或 ≤x≤-4或-1<x≤ 或x≥0} 歼灭难点训练 一、1.解析:f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)= f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案:B 2.解析:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0.∴f(a-3)<f(a2-9).∴ ∴a∈(2 ,3).答案:A 二、3.解析:由题意可知:xf(x)<0 ∴x∈(-3,0)∪(0,3)答案:(-3,0)∪(0,3)4.解析:∵f(x)为R上的奇函数 ∴f()=-f(-),f()=-f(-),f(1)=-f(-1),又f(x)在(-1,0)上是增函数且- > - >-1.∴f(-)>f(-)>f(-1),∴f()<f()<f(1).答案:f()<f()<f(1) 三、5.解:函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,设x1<x2<0,因为f(x)是偶函数,所以 f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又已知f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是有f(-x1)<f(-x2),即f(x1)<f(x2),由此可知,函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.6.解:(1)a=1.(2)f(x)=(x∈R)f--1(x)=log2(-1<x<1.(3)由log2 >log2 log2(1-x)<log2k,∴当0<k<2时,不等式解集为{x|1-k<x<1;当k≥2时,不等式解集为{x|-1<x<1.7.解:,对x∈R恒成立,∴m∈[ ,3]∪{ }.8.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2,当且仅当x= 时等号成立,于是2 =2,∴a=b2,由f(1)< 得 < 即 < ,∴2b2-5b+2<0,解得 <b<2,又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)图象上,则 消去y0得x02-2x0-1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2),(1- ,-2)关于(1,0)对称. 《对数函数单调性的习题课》教学设计 数学组 张明 教学目标:会用对数函数的单调性解决问题,培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、团结合作的精神和严谨的态度,以及喜欢数学的兴趣与情感,帮助学生树立学好数学的自信心。 教学重点:对数函数单调性的应用 教学难点:底数a对对数函数的影响(Ⅰ)设置情景 复习回顾 师:前面我们学习了对数函数的单调性,请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的? 生1:当a1时,对数函数ylogax在(0,)内是增函数; 当0a1时,对数函数ylogax在(0,)内是减函数 师:今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。(Ⅱ)探求与研究 问题1:(幻灯片1) 11已知0a1,b1且ab1,若mlogab,nloga,plogbbb则下列各式中成立的是()A.pmnB.mpnC.mnpD.pnm师:给大家一分钟的讨论时间,然后告诉我结果。 生2:首先观察m、n、p三个式子,可以判断出m0,n0,p10,然后再判断m与p的大小。p可以写成ploga11,此时m与p同底,然后比较b与的大小,因为aa1,因此mp,答案应为B。aa0,b0,ab1,所以b全体同学异口同声说:好!师:回答得非常好!那我们看,比较大小的实质就是“求同”,利用对数函数的单调性来比较。我们来看第二题 问题2:(幻灯片2) 求函数ylog0.2(x24x5)的单调区间生3:这是一个复合函数,首先要求定义域,我们可令ux24x5,则ylog0.2u在(0,)内是减函数,现在我们来求函数ux24x5的单调区间,易得u在(1,2)是增函数,u在(2,5)是减函数,所以,函数ylog0.2(x24x5)在(1,2]是减函数,在[2,5)是增函数。 师:看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好,应该注意的问题也注意到了。提醒大家一句在求函数的单调区间时,若题中没给定义域,要先求定义域。这道题也是对数函数单调性的一个简单应用。我们来看第三题。问题3:(幻灯片3) 若函数yloga21(x)在其定义域内是减函数,则a的取值范围是() A.|a|1B.|a|2C.|a|2D.1|a|2师:也给大家一分钟的讨论时间。 生4:我们可以把这个函数看作一个复合函数,令ux,则函数ux在(,0) 是减函数,若要使函数yloga21u在(,0)上是减函数,需满足a211,解之得|a|2。 师:他说的完全正确……,还没等我把话说完,一位同学站起来说:我还有一种解法,同学们都在注视着他。这位学生边板演边讲解 生5:我是从图像的角度考虑的。根据题意,我们可以画出函数yloga21(x)的草图,根据图像的对称性,可以画出函数ylog(a21)(x)关于y轴对称的函数ylog(a21)x的图像,知函数ylog(a21)x在(0,)是增函数,所以a211,即|a|2。 大家都为他的解法鼓起了掌 师:利用图像的对称性,运用的是数形结合的思想。妙! 我们回头看一下这三道题(比较两个数的大小,求复合函数的单调区间以及求参量的取值范围),最后都化归为对数函数的单调性问题来解决。 那么如何判断和证明以对数函数为载体的函数的单调性问题呢?先看第一道题。问题4:(幻灯片4) 。判断函数f(x)lg(x21x)(x0)的单调性并证明师:大家做完之后可以交流一下看法。 大约三分钟之后,一位同学站了起来,我示意他到前面来板演,边做边讲。生6:因为yx21在(,0)上是减函数,yx在(,0)上也是减函数,所以函数f(x)lg(x21x)在(,0)上是减函数。证明过程是这样的:根据函数单调性的定义,作差比较f(x1)-f(x2)与零的关系,转化成比较 x11x1x21x222与1的关系,利用不等式的基本性质可以得出 x11x1x21x222即f(x1)f(x2)0也就是f(x1)f(x2),1,因此函数f(x)lg(x21x)在(,0)上是减函数。另一位同学霍地站起来,我还有一种证明方法。 师:好!快说!我们都在期待你的方法。生7:因为ylgx在(0,)是增函数,所以我们可以比较真数的大小,即比较x11x1与x21x2的大小,利用不等式的基本性质可知x11x1因此lg(x11x1)lg(x21x2),即f(x1)22222x21x20,2f(x2),所以函数f(x)lg(x21x)在(,0)上是减函数。 哗……一阵热烈的掌声。这时又有一位同学站起来了,大家都很惊诧。生8:能否利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明这道题。师:具体一点.生9:首先求这个函数的反函数,再证明反函数的单调性。大家议论开了:这种方法比较麻烦,而且容易出错。师:大家能否评价一下这三种做法。生10:第一种是根据对数函数单调性的定义来证明的,第二种也是从函数单调性的定义出发,直接比较f(x1)与f(x2)中真数的大小。第三种则是利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明的。相对来说,第二种方法比较好一些。 师:他说的非常好!第一种方法大家都容易想到的就是利用定义,第二种方法也是利用定义,只不过比较对象变了;第三种方法是利用互反的两个函数的关系来做的,想法很好。但运算量较大,而且容易出错。三种方法各有特点,可根据自己的情况适当选择。一般情况下,证明函数的单调性就是要利用函数单调性的定义。我们再来看第二题。(Ⅲ)演练与反馈 问题5:(幻灯片5) 函数f(x)logaxb(b0,a0,且a1)xb(1)求函数f(x)的定义域(2)判断函数f(x)的单调性并证明师:这是一道判断含参的函数的单调性问题,大家可以互相交流看法。然后告诉我你们的解题思路。生11:根据对数式真数大于零,可得x(,b)(b,)。证明单调性的方法同第4题,只不过需要对参数进行分类讨论。师:大家同意他的看法吗? 学生齐声:同意。 师:我们再回头看一下判断和证明函数单调性的两道题,在证明函数单调性的时候,要事先在定义域中规定x1与x2的大小,无论我们用何种手段,只要能比较出f(x1)与f(x2)的大小,单调性就可判断。 总结:这5道题都是研究有关对数函数单调性的问题,我们处理的办法是从函数单调性的定义出发,这里对数函数只不过作为一个载体,最后都可归结为:以下三个结论,知其二,必知其一。 ①x1x2,②f(x1)()f(x2),③f(x)是增(减)函数 函数的单调性,函数的奇偶性,反函数 [本周教学重点] 掌握函数单调性的定义,会用定义法证明函数的单调性及其步骤。 (1)设x1,x2是定义域上的任意两个值,且x1 (2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式; (3)判断f(x1)-f(x2)的正、负; (4)结论 理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理,能判断、证明一些简单函数的奇偶性,会利用函数奇偶性求解有关函数问题。 (1)函数的定义域在数轴上关于原点对称,是函数具有奇偶性的必要条件。 (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。 f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。 由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性;而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性,两种定义形式各具不同优势。 (3)若f(x)是奇函数且允许x=0,则f(0)=0,即f(x)的图象过原点。 (4)若f(x)既是奇函数,又是偶函数,则f(x)=0。 (5)同为奇函数,同为偶函数的两个函数之积是偶函数;一奇一偶两个函数之积是奇函数。 (6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。 即f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)=[f(x)-f(-x)],h(x)= [f(x)+f(-x)]。 理解反函数的概念,掌握求反函数的方法步骤。 (1)由原函数y=f(x)求出它的值域; (2)由原函数y=f(x)反解出x=f- 1(y); (3)交换x,y改写成y=f-1(x); (4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。 [例题分析] 例1.证明函数f(x)= 在定义域上的单调性。 [分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞,-1][0,+∞)。 函数定义域不是一个连续的区间,应分别考查在每一个区间上的单调性,用定义法证明时,只需任取x1 任取x1 == 当-∞ ∴ f(x1)-f(x2)>0,∴ f(x)是(-∞,-1]上的单调递减函数。 当0≤x1 >0。 ∴ f(x1)-f(x2)<0,∴ f(x)是[0,+∞)上的单调递增函数。 例2.函数f(x)是[0,+∞)上的单调递减函数,f(x)≠0且f(2)=1,证明函数F(x)=f(x)+在[0,2]上的单调性。 [分析与解答]函数f(x)没有给出解析式,因此对F(x)的函数值作差后,需由f(x)的单调性,确定作差后的符号。任取0≤x1 由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+ =[f(x1)-f(x2)]·[1-] ∵ 0≤x1 ∴ f(x1)-f(x2)>0,f(x1)·f(x2)>1,<1,1->0,∴ F(x1)-F(x2)>0,F(x)是[0,2]上的单调递减函数。 例3.证明函数f(x)=的奇偶性。 [分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。 由 函数f(x)定义域为[-1,0)(0,1]。 ∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=,由f(-x)= =-f(x),∴ f(x)是奇函数。 例4.设f(x)是定义在R上的函数,对任意x1,x2∈R,恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)不恒为0,证明 f(x)的奇偶性。 [分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式,这就必须从定义域,法则,及f(x)不恒为0去分析,完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R,显然允许x=0,所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。 令x1=x2=0,由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0),整理得f(0)=0,对任意x∈R,由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0,∴ f(-x)=-f(x),∵ f(x)不恒为0,∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数,所以f(x)是R上的奇函数。 例5.已知函数f(x)=(a,b,c∈Z)是奇函数,且f(1)=2,f(2)<3。 (1)求a,b,c的值;(2)用定义法证明f(x)在(0,1)上的单调性。 [分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 =-,解出c=0,∴ f(x)=,∵ f(1)=2,∴ =2,∴ 2b=a+1。第二篇:单调性奇偶性教案
第三篇:奇偶性与单调性及典型例题
第四篇:对数函数单调性的习题课教学设计-----
第五篇:7函数的单调性函数的奇偶性反函数 教案